江蘇省蘇州市第四中學(xué) (215000) 甄 艷

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)之一，而最值問(wèn)題是熱點(diǎn)題型之一，最值問(wèn)題主要考查直線與橢圓的相交關(guān)系和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，這類問(wèn)題對(duì)考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力和綜合思維能力要求較高.以下對(duì)一道橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題進(jìn)行多解探究.

(2)思路1：設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由弦長(zhǎng)公式表示|MN|，再由點(diǎn)到直線距離公式表示點(diǎn)A到直線的距離，用k表示出△AMN的面積，對(duì)k分類討論，最終由基本不等式和不等式性質(zhì)可求出△AMN面積的最大值.

當(dāng)k>0時(shí)，S△AMN<4，當(dāng)k<0時(shí)，S△AMN=

思路3：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用已知條件表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用解法2中提到的三角形面積公式表示出△AMN的面積，再利用點(diǎn)M在橢圓上實(shí)現(xiàn)整體代換，利用均值不等式a2+b2≥-2ab和不等式性質(zhì)可求出△AMN的面積的最大值.

評(píng)析：解法1運(yùn)用了分類思想，運(yùn)算量比較大，如果考生的運(yùn)算和推理能力不強(qiáng)，很難得出最終結(jié)果，解法2運(yùn)用了參數(shù)方程法，運(yùn)算量明顯減少，問(wèn)題化歸為與三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題，解法3對(duì)綜合思維能力要求高，整體代換思想和均值不等式的應(yīng)用具有創(chuàng)新性，解法4利用伸縮變換“化扁為圓”，將問(wèn)題化成圓中考生比較熟悉的問(wèn)題，運(yùn)算量較少，但思維層次比較高，需要教師將教材中比較基礎(chǔ)的伸縮變換知識(shí)進(jìn)行拓展.