湖北省襄陽市第一中學 (441000) 葉德鳳 王 勇

2021年新高考數(shù)學Ⅱ卷落實《課程標準》的理念，穩(wěn)中求新，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔功能和育人導向作用.試題突出數(shù)學本質(zhì)，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則，科學把握數(shù)學題型的開放性與數(shù)學思維的開放性，全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求.

試卷有利于科學選拔人才，有利于深化課程改革，有利于促進社會公平，對培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神、實踐能力，落實“五育”并舉，提升考生核心素養(yǎng)有積極的導向作用.

一、對單項選擇題的評析

其中第4題、第8題有一定的難度，下面分別解析，供研讀.

例1 (第4題)北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.如圖1，在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的最短距離)，把地球看成一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點的緯度的最大值記為α，該衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積為S=2πr2(1-cosα)(單位km2)，則S占地球表面積的百分比約為( ).

圖1

A.26%B.34%C.42%D.50%

圖2

點評：本題以北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)為背景，考查解三角形在實際生活中的應(yīng)用，引導考生關(guān)注我國科技進步與發(fā)展，增強民族自豪感與自信心.

例2 (第8題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

解析：因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(-x+2)=f(x+2)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以f(x)=f(4-x).因為f(2x+1)為奇函數(shù)，所以f(-2x+1)=-f(2x+1)，則f(1)=0，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以f(-1)=-f(3)=-f(1)，故選B.

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、對稱性及周期性，求函數(shù)值等.考查的關(guān)鍵能力是邏輯思維能力、運算求解能力.考查的學科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學應(yīng)用、數(shù)學探索.

二、對多項選擇題的評析

考查目標第9題考查樣本的數(shù)字特征第10題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系第11題考查點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系第12題考查對新定義的理解及活用

其中第12題值得認真研讀和品味.

例3 (第12題)設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·21+a2·22+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0,1}(i=0,1,2,…,k)，記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n

點評：本題是一道信息遷移題，考查考生的閱讀理解能力及創(chuàng)新意識.抓住ω(n)表示n的二進制數(shù)各位上的數(shù)字和是求解問題的關(guān)鍵，對于B選項通過特例法作出判斷簡化了解題過程.

三、對填空題的評析

考查目標第13題考查雙曲線的幾何性質(zhì)第14題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用第15題考查平面向量的模與數(shù)量積運算第16題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的圖象及目標式取值范圍的界定等

其中第14題、第16題頗有研討價值，下面分別詳解，供研討.

例4 (第14題)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù).

解析：由②和③可知f(x)=x2符合要求，又f(x)=x2滿足f(x1x2)=f(x1)f(x2)，即具有性質(zhì)①，故f(x)=x2滿足題意.(本題答案不唯一，符合題意即可)

點評：本題是一道開放性試題，答案不唯一，求解方法多樣化，有利于考查考生思維的靈活性和發(fā)散性.本題是開放性填空題，是新高考題型改革創(chuàng)新的新動向.

解析：作出函數(shù)f(x)=|ex-1|的圖象如圖3所示，由題意知兩條切線的斜率存在且不為零.

圖3

當x∈(-∞,0)時，

f(x)=1-ex，f′(x)=-ex，在點A(x1,f(x1))處的切線斜率k1=f′(x1)=-ex1；當x∈(0,+∞)時，

f(x)=ex-1，f′(x)=ex，在點B(x2,f(x2))處的切線斜率k2=f′(x2)=ex2.因為兩條切線互相垂直，所以k1k2=-1，即(-ex1)ex2=-1，即ex1+x2=1，所以x1+x2=0.在點A(x1,1-ex1)處的切線方程為

四、對解答題的評析

1.數(shù)列題——中規(guī)中矩送大禮

本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).第(1)問利用已知條件及等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解出a1和d的值，即可求解；第(2)問在第(1)問的基礎(chǔ)上求出等差數(shù)列的前n項和Sn，再將Sn>an進行轉(zhuǎn)化，解不等式即可得解.本題與學生平時的訓練題極為相似，絕大多數(shù)考生當笑納“大禮”.

2.三角題——平平淡淡考功底

本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運算求解能力，考查劃歸與轉(zhuǎn)化思想.第(1)問利用正弦定理求出a,b,c的值，結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式即可求解；第(2)問根據(jù)已知條件得要存在滿足條件的正整數(shù)a，則角C為鈍角，利用余弦定理及三角形的三邊關(guān)系即可得解.

3.立體幾何題——難易適中合情理

本題考查面面垂直的證明及二面角余弦值的求解，考查空間想象能力、運算求解能力.第(1)問由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理的逆定理證明線面垂直，再由面面垂直的判定定理即可得證；第(2)問以E為坐標原點建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別求出平面BQD與平面DQA的一個法向量，利用空間向量的夾角公式即可得解.

4.解析幾何題——精打細算求真理

本題考查橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓、橢圓的位置關(guān)系等，考查運算求解能力、推理論證能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.第(1)問非常簡單，近乎“送分”；第(2)問運算量較大，細節(jié)問題要考慮周全，有一定的難度，具有較好的區(qū)分和選拔功能.

5.概率統(tǒng)計題——想說愛你不容易

本題考查數(shù)學期望、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、零點存在性定理等，考查閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理論證能力，考查的學科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學探索.第(1)問比較簡單，絕大多數(shù)考生志在必得；第(2)問難度較大，考查導數(shù)知識的靈活應(yīng)用；第(3)問在第(2)問的基礎(chǔ)上，只有真正領(lǐng)悟了問題的實質(zhì)方可圓滿解答.

例7 (第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=pi>0(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p=1，當E(X)>1時，p<1；(3)根據(jù)你的理解說明第(2)問結(jié)論的實際含義.

解題思路：(1)由數(shù)學期望公式即可求解；(2)對方程變形，構(gòu)造函數(shù)，并對其求導(二次求導)，分E(X)≤1和E(X)>1兩種情況討論即可得證；(3)根據(jù)第(2)問中的結(jié)論結(jié)合理性分析即可獲得其實際含義.

6.函數(shù)與導數(shù)題——結(jié)構(gòu)不良添新意

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的零點，考查運算求解能力、推理論證能力.第(1)問多數(shù)考生可順利求解；第(2)問是一道結(jié)構(gòu)不良問題，對考生的邏輯推理、數(shù)學抽象、直觀想象等素養(yǎng)有較深入的考查，體現(xiàn)了素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則.

注：如果選擇兩個條件分別解答，那么按第一個解答計分.

解題思路：(1)f(x)→f′(x)

總之，2021年新高考數(shù)學Ⅱ卷試題閃耀著理性思維的光芒，以問題情境設(shè)置為載體，考查核心價值和能力素養(yǎng).試題聚焦學科主干知識，突出學科關(guān)鍵能力，關(guān)注社會生活和實踐應(yīng)用，很好地體現(xiàn)了“一核四層四翼”的考查要求，很好地把握了穩(wěn)定、改革與創(chuàng)新之間的關(guān)系，彰顯了立德樹人價值引領(lǐng)與核心素養(yǎng)育人導向.