福建省莆田第二中學(xué) (351131) 黃少瑩

福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 (350025) 蔡海濤

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.作為幾何定量問題中的重要元素“角”，是常見的考查載體，并且往往與三角函數(shù)、平面向量、平面幾何等相關(guān)知識(shí)交匯考查.如何轉(zhuǎn)化這些已知或求解(證)的“角”的信息，尋找適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化途徑，是解決問題的關(guān)鍵.本文例析“角”轉(zhuǎn)化的常用策略.

一、利用斜率轉(zhuǎn)化

解：(1)易得e=2(過程略).

二、利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

圖1

三、利用平面幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化

圖2

(1)求p的值；(2)求直線l的方程.

解：(1)易得p=2(過程略).

評析：由∠OMA=∠OMB知OM為∠AMB的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)O到直線AM,BM的距離相等，從而得到k1k2=1，再將問題轉(zhuǎn)化至A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行解題.

四、利用平面向量轉(zhuǎn)化

評析：由已知∠F1PM=∠F2PM，選擇結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)利用向量的數(shù)量積求出cos∠F1PM與cos∠F2PM，由二者相等可以得到m與P點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，從而求出m的取值范圍.

五、利用解三角形結(jié)合定義轉(zhuǎn)化

(1)若|AB|=4,△ABF2的周長為16，求|AF2|；

評析：本題先利用橢圓定義確定△ABF2的三邊關(guān)系，再利用余弦定理解決問題.當(dāng)已知的角所在三角形與焦半徑有關(guān)時(shí)，可考慮聯(lián)系定義并結(jié)合解三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

六、結(jié)語

“角”是描述圓錐曲線形狀特征的一個(gè)重要元素，它的變化直接導(dǎo)致曲線類型和形狀的變化.求解圓錐曲線“角”的問題，往往綜合性較強(qiáng)，是圓錐曲線教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往未能結(jié)合圖形特征，合理找到對“角”轉(zhuǎn)化的切入點(diǎn)來進(jìn)行解題.教學(xué)中，教師可立足教材，聚焦高考試題，歸納通性通法，使學(xué)生感悟解決“角”問題的思想就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化的途徑即從數(shù)從形這兩個(gè)角度來突破，鼓勵(lì)學(xué)生敢于思考，勇于挑戰(zhàn)，反思感悟，從而提升直觀想象與邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).