廣東省梅州市虎山中學(xué) (514299) 張偉榮 江中偉

本文在導(dǎo)數(shù)視角下研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值問題、含參問題或相關(guān)綜合性問題的求解策略.

一、利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)性問題

例1 (2018年全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第10題)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是( ).

反思總結(jié)：由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減，則f′(x) ≤0.當(dāng)涉及到含參數(shù)的三角函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可求導(dǎo)后采用分離參數(shù)的方法.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的奇偶性問題

例4 若函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ) (0<θ<π)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)θ=.

三、利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的對(duì)稱性問題

反思總結(jié)：利用可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)(最值點(diǎn))處的導(dǎo)數(shù)為零求解.

四、利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的最值(極值)問題

例7 (2013年全國卷理科第12題改編)已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x,求f(x)的最大值.

反思總結(jié)：通過三角恒等變形后換元，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)(注意變量的取值范圍)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求最值(極值).

五、利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的零點(diǎn)問題

(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;

分析：(1)由已知條件易得f(x)=cos2x，g(x)=sinx(過程略).

反思總結(jié)：這道題充分體現(xiàn)了利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)零點(diǎn)的優(yōu)越性，第二問主要考查了等差數(shù)列、函數(shù)零點(diǎn)存在定理、導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.