高 宇，楊月麗，彭 千

（1.安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601；2.安徽農業(yè)大學 理學院，安徽 合肥 230036）

1 引言

卷積等價分布族是應用概率論中一類重要的分布族，同時該分布族由于其良好的性質現(xiàn)已廣泛應用于排隊論[1]和風險理論[2]等領域。對于卷積等價分布族的研究可見文獻[3-13],近期應用可見文獻[14-15]。然而，在卷積等價分布族的諸多研究中，最基本問題還是其在卷積運算下是否具有封閉性。Kluppelberg 和Villasenor 較早得到該分布族不滿足封閉性，并且給出了相應的反例[16]。因此，尋找在何時條件下卷積等價分布族關于卷積運算具有封閉性一直是應用概率統(tǒng)計學者關心的問題，但由于數(shù)學方法上的局限性，關于該問題的研究進展緩慢。直到2020 年，Leipus 才首次給出了卷積等價分布族關于卷積封閉的若干充要條件[17]。這顯然是一個非常重要的理論研究成果，在卷積等價分布族的理論研究中占有非常重要的地位。

然而，Leipus 等人給出的充要條件并不全面[17]，有些條件驗證起來也不方便。因此本文繼續(xù)擬尋找卷積等價分布族關于卷積封閉的其他充要條件。眾所周知，次指數(shù)分布族是卷積等價分布族的特例，而次指數(shù)分布族關于卷積運算的封閉性已有較成熟的結果。如文獻[18]給出次指數(shù)分布族也不滿足卷積封閉性，F(xiàn)OSS S 等人[18]給出關于卷積封閉的若干充要條件，GELUK J 等人給出在最值運算下的封閉性[19]。因此，受次指數(shù)分布族關于卷積運算封閉性的啟發(fā)，本文首先給出卷積等價分布族關于卷積封閉的若干充要條件。在此基礎上，設X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量，分別給出了max(X,Y)關于卷積等價分布族封閉的充要條件以及min(X,Y)關于卷積等價分布族封閉的充分條件，拓展了卷積等價分布族研究的理論成果。

本文以下若無特殊申明，均假設X,Y為兩個實值隨機變量，分布函數(shù)分別為F(x)=P(X≤x),G(y)=P(Y)≤y。記其尾分布為。且下文所有的極限過程均指x→∞。對于任意兩個正函數(shù)f(·)與g(·)滿足

若b=0，記作f(·)=o(g(·))；若a=b=1，記作f(·)～g(·)；若b<∞，記 作f(·)=O(g(·))。下文中I(A)={1or0,A 發(fā)生或不發(fā)生}，記X∨Y=max(X,Y)，X∧Y=max(X,Y)。

定義1稱分布F屬于卷積等價分布族，L(γ)(γ≥0)記作F∈L(γ)，若對任意固定y≥0，

定義2稱分布F屬于卷積等價分布族S(γ)(γ≥0)，記作F∈S(γ)，如果

其中F2*表示分布函數(shù)F關于自身的二重卷積。

注對兩個定義做以下說明：

首先，S(γ)?L(γ)。其次，當時γ=0，定義1中的分布是長尾分布族，即L(0)，且（1）式對y的緊區(qū)間一致成立。而此時定義2 中的分布就是次指數(shù)分布族，即S(0)。最后，當γ>0 時，由定義2易知L(γ)和S(γ)均是輕尾分布族，但是當γ=0 時對應的長尾分布族和次指數(shù)分布族均是重尾分布族，由此可見γ決定了兩個定義中的分布族的不同尾性質。

2 引理

引理1若F∈L(γ)(γ≥0)，則存在函數(shù)h(·)：[0,∞）?[0,∞)，滿足

且(ii)對|y|≤h(x)一致成立，此即

進而，如果h1(x)∈H(F)，h2(x)≤h1(x),x∈[0,∞),h2(x)→∞,則h2(x)∈H(F)。

證明由注知，當F∈L(γ)時，（1）式對y的緊區(qū)間一致成立。故對任意的對|y|≤h(x)一致成立。此即

故當a=1，ξ=1 時，存在x1，對任意x>x1滿足

依次類推，當a=n，ξ=時，存在xn，且xn>xn-1，對任意x>xn滿足

如此下去，找到了一列遞增的序列{xn}，易見n→∞時，xn→∞。故定義

由（3）式容易驗證函數(shù)h(·)，滿足條件(i)。而對任意的x，必存在n，使得x∈(xn,xn+1]，又因函數(shù)h(x)非降，易有h(x)≤h(xn+1)。故

結合（2）和（4）式證明了條件(ii)成立。證畢。

引理2若G∈L(γ)(γ≥0)，則對任意滿足<∞的分布F以及任意的函數(shù)h(x)∈H(G)，有

證明因 為G∈L(γ)，則對任意的函數(shù)h(x)∈H(G)，簡單計算可得

先處理I1，由于關于y遞增，故有下式成立

最后處理I2，又由引理1 知對|y|≤h(x)一致成立，故整體可用控制收斂定理得到下式

證畢。

引理 3[20]F∈S(γ)(γ≥0)的充要條件為F+∈S(γ)，其中F+為X∨0的分布函數(shù)。

引理 4[17]對于任意分布F，若<∞(γ≥0)，則F∈S(γ)當且僅當F∈L(γ)，

引理5[17]若F,G∈L(γ)(γ≥0)，那么下列敘述定義是等價的：

(i)F*G∈S(γ),

(ii)FG∈S(γ),

(iii)對任意p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ),

(iv)存在p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ)。

且上面的任意一種敘述都可推出

以下記F*G為分布F,G的卷積分布。

引理6[17]若F,G∈S(γ)(γ≥0)，則引理5的(i)到(iv)和（7）式等價。

3 主要結果及其證明

定理1若F,G∈S(γ)(γ≥0)，那么下列說法是等價的：

(i)F*G∈S(γ),

(ii)FG∈S(γ)，

(iv)對任意p∈(0,1),pF+(1+p)G∈S(γ),

(v)存在p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ),

(iv)對任意函數(shù)h(x)，滿足當x→∞時，h(x)→∞，則

(vii)存在函數(shù)h(x)，滿足當x→∞時，h(x)→∞，則

其中ξ,η是兩個相互獨立的實值隨機變量，分布分別為F,G。

證明(i)到(v)的等價證明可見引理5 和引理6，故下面先證(iii)?(vi)，進而得到前六個說法等價，最后證明后兩個說法的等價，從而完整證明該定理。

如果對任意函數(shù)h(x)，當x→∞時，h(x)→∞，則

方便起見記

最后的等式成立事實上是因為

綜上，若(iii)成立必有(vi)成立，反之亦然，故(iii)?(vi)。

下證。顯然，另一方面，假設存在函數(shù)，由（9）式可有

那么對任意h(x)→∞，總會有～h(x)

結合（11）和（12）式可得（8）式成立。證畢。

定理2設X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量，分布分別為F,G。若X,Y∈S(γ)(γ≥0)，則X+Y∈S(γ)充要條件為X∨Y∈S(γ)。

證明顯然X+Y～F*G，而簡單計算可得X∨Y∈FG，故由定理1 知X+Y∈S(γ)充要條件為X∨Y∈S(γ)。證畢。

定理3設X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量，分布分別為F,G。若X∈S(γ1),Y∈S(γ2),(γi≥0,i=1,2)且則X∧Y∈S(γ1+γ2)。

證明首先由引理3可知X∈S(γ)?X+∈S(γ)，所以不失一般性,以下證明均對非負隨機變量討論。

由引理4知要證H∈S(γ1+γ2)，則只需證H∈L(γ1+γ2)以及

注意到

故對任意固定的y≥0，由（14）式簡單計算可得

即證H∈L(γ1+γ2)。

而又有

必存在常數(shù)c>0，使得對任意x>0 有

事實上，設Y1,Y2是兩個相互獨立同分布的實值隨機變量，且 服從分布G∈S(γ1)，則對任意y∈(0,x)有

故可找到常數(shù)c>0，（16）式對y∈(0,x)一致成立，進而

又因F∈S(γ1)，可根據(jù)引理4 有

同理討論I2(x,v)，再結合（17）和（18）式可得

綜上由（19）和（13），即證H∈S(γ1+γ2)。證畢。

小結

本文首先得到卷積等價分布族關于卷積封閉的若干充要條件。最后總結了最值關于卷積等價分布族封閉的條件。