黃婷薇，張 閃

(1.四川工商學院 計算機學院，四川 成都 611745；2.南京財經大學 應用數學學院，江蘇 南京 210023）

生態(tài)數學中，如下的非線性橢圓方程組

常被用來描述固定區(qū)域中處于競爭狀態(tài)種群的動力學行為,其中u,v表示競爭種群的密度；Ω ?Rn為Rn中具光滑邊界的有界區(qū)域；函數f,g表示種群的自然增長率；k為描述種群間競爭強度的一個正參數。

1994 年，Dancer 和Du 研究了k→∞時,方程組(1)解的漸近行為[1],證明了系統(tǒng)(1)的解(uk,vk)在H1弱意義下收斂到向量值函數()u,v，且對于a.e.x∈Ω,u,v=0。這就表明奇異極限u,v在Ω 中的支集相互分離。注意到奇異極限的零點集

是一個自由邊界。因為和是未知函數，Γ(u,v)預先不確定，隨著解的變化而改變。

此后這一相分離現(xiàn)象，被眾多的學者所關注。Conti，Terracini 和Verzini[2],Caffarelli，Kara-Khanyan 和Lin[3]，Tavares 和Terracini[4]研究了多種群競爭系統(tǒng)在強競爭下解的漸近行為，證明了解關于競爭參數的一致界估計，奇異極限的Lipschitz 正則性以及自由邊界的正則性。Dancer，Wang 和Zhang[5,6,7]將上述結果推廣到了相應的拋物情形。

在系統(tǒng)(1)以及前面提到的文獻中，總假定種群所處的環(huán)境是均勻的，且種群的擴散是生物學意義上的隨機游走。然而，當種群處于某個特定的非均質環(huán)境中，種群不能完全忽視周圍的環(huán)境。事實上，種群會感知所處環(huán)境，諸如氣候，食物和捕食者等。它們會通過趨向性運動遷徙到較為適宜的生存環(huán)境。換句話說，種群的擴散由是隨機游走和有趨向的遷徙兩部分構成。為了研究趨向運動對種群空間行為的影響，文獻[8]考慮了如下的反應擴散對流方程組：

其中常數b,c>0，Q=Ω×(0,+∞)，m=m(x)為種群在x處的局部增長率。在某種意義上，m(x)能夠反映出空間位置x處資源的性質。一般來說區(qū)域{x∈Ω:m(x)>0}表示優(yōu)勢資源區(qū)域，而表示資源匱乏區(qū)域[8]。μ1和μ2為隨機擴散系數，λ1u?m和λ2v?m為對流項，非負常數λ1和λ2衡量了兩個物種沿著m(x)梯度方向運動的趨勢。另外t>0 時我們一般加上齊次的Dirichlet 或者Neumann 邊值條件(從而對初值也要求相應的相容性條件)。

文獻[9]研究了k→∞時，方程組(2)解的漸近行為。他們證明了系統(tǒng)解關于競爭參數的一致界估計，并證明了奇異極限的支集相互分離。即對于方程組(2)的一列非負解{(uk,vk)}，存在函數(u,v)∈Ca(Q)(0

本文將在這一工作的基礎上繼續(xù)研究若干未解決的問題?？紤]如下M≥3 個物種競爭的穩(wěn)態(tài)模型：

其中ai≥0,i=1,2,…M；為給定的已知函數。我們用表示(3)的非負古典解，那么利用文獻[2]中的blow-up 方法，可以證明方程組(3)解關于參數k的一致界估計[9]。因此，存在U=(u1,u2,…,uM)∈(Ca(Ω))M，使得在子列意義下，

本文將進一步導出奇異極限U滿足的方程，并刻畫零點集Γ(U)={(x)∈Ω|U(x)=0}的相關性質，從而將文獻[4]的結果推廣到帶對流項的情形。最后，需要說明的是，相分離問題的研究不僅可以對競爭種群的空間行為做出科學的解釋，也有助于理解凝聚態(tài)物理中Bose-Einstein 凝聚態(tài)的相位分離現(xiàn)象，參見文獻[10-12]等。近年來，眾多學者對相分離問題的研究進行了推廣，參見文獻[13,14]等。

1 奇異極限問題

為進一步研究奇異極限U=(u1,u2,…,uM)的性質，并導出奇異極限滿足的方程，需要建立如下強收斂結果。

引理1若{Uk} 是(3)的一列非負解，那么存在使得：

(ii)在Ω 中,uiuj≡0,?i≠j。

證明引理1的證明將分為以下幾步。

第一步：存在與k無關的常數C>0，使得

第二步：存在與k無關的常數C>0，使得

考慮如下輔助問題

這樣就完成了(5)式的證明。

第三步：存在與k無關的常數C>0，使得

由(4)我們知存在{Uk}的子列，不妨仍記為{Uk}，使得

且由(9)以及{Uk}的一致有界性可知，在Ω 中

這樣我們就完成了引理中(ii)的證明。

只需證明i=1的情形，其他情況可類似證明。事實上，對的方程兩邊同時乘以極限u1(i≠j)，并在Ω 上積分可得

由(10)式可知

?ui??uj=0,ui??uj=0,?i≠j。

這就使得

注意到由(12)

那么對(13)式取極限可得

取極限

定理1令U=(u1,u2,…,uM)是引理1 中的奇異極限，那么在弱意義下，U滿足下面微分不等式：

證明首先注意到，

進一步地，直接計算可得

取檢驗函數φ∈，分別對(14)與(15)兩邊乘以φ并在Ω 上積分可得

接下來由引理1 中的收斂性，可以對上面兩個不等式取極限，得到在弱意義下，奇異極限U滿足

定理1 證畢。

2 零點集的幾何性質

在前一節(jié)的基礎上，我們進一步刻畫零點集Γ(U)={x∈Ω|U(x)=0}的幾何性質。

定理2假定U=(u1,u2,…,uM)為方程組(3)的奇異極限，那么存在Γ(U)的相對開集∑(U)使得：

(i)Hdim(Γ(U))≤n-1；

(ii)任意的0

(iii)Hdim(Γ(U))∑(U)≤n-2，且

特別地，當n=2 時,Γ(U)∑(U)為局部有限點集。

證明為了簡化記號，假定λ1=λ2=…λM=1.構造非線性變換：

那么由引理1 知

且類似于定理1的證明，W=(w1,w2,…,wM)在弱意義滿足如下的微分不等式

Γ(W)={x∈Ω|W(x)=0}，

那么由W的定義，Γ(U)=Γ(W)。注意到fi(x,0)=0，由(18)式以及文[14]中的推論8.5 知，Hdim(Γ(U))=Hdim(Γ(W))≤n-1；進一步地，存在Γ(W)中的相對開集的相對開集∑(W) 使得Hdim(Γ(W)∑(W))≤n-2；且任意的0

以及?x0∈Γ(U)∑(U),

特別地，當n=2 時,Γ(W)∑(W)為局部有限點集。

令∑(U):=∑(W)，為了完成定理2的證明，僅需證明(16) 與(17) 式成立。注意到?wi=?(e-m/2ui)=ui?e-m/2+e-m/2?ui，那么

3 小結

本文研究了一類來源于非均質環(huán)境中描述種群競爭的反應擴散對流方程組解的漸近性質，證明了在競爭參數趨于正無窮的奇異極限中，各物種在空間上相互分離并且它們滿足一個奇特的微分不等式系統(tǒng)；并在此基礎上，刻畫了奇異極限零點集的幾何性質。本文的工作是對文獻[9]的進一步延伸與拓展，同時也將文獻[3，4]的主要結果推廣到了帶對流項的情形。