孫云霞

(阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

1 引言

過去一段時間，關(guān)于Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]（簡稱CGNNs）的研究眾多，一些實際系統(tǒng)不可避免地受到時間滯后[2-3]，噪聲[4-5]和脈沖擾動[6-7]以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨機改變[8-10]的影響，這可能引起系統(tǒng)的振蕩和不穩(wěn)定性。因此，在CGNNs 系統(tǒng)中必須考慮這幾種因素對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響。值得注意的是，現(xiàn)有的大多數(shù)文獻主要研究了脈沖隨機CGNNs的Lyapunov 穩(wěn)定性。Lyapunov 穩(wěn)定性通常通過在無限時間間隔內(nèi)應(yīng)用控制動力學(xué)的穩(wěn)態(tài)行為來處理系統(tǒng)軌跡的漸近模式。而有限時間穩(wěn)定性常應(yīng)用于通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，導(dǎo)彈系統(tǒng)和機器人控制系統(tǒng)等實際系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，具有很好的實際意義。目前，一些文獻已經(jīng)研究了隨機系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性[11-14]。但是，上述文獻中考慮受幾種因素同時影響的研究卻不多，本文在具有Markov 跳和時滯的前提下，考慮了兩種不同的脈沖，通過重構(gòu)Lyapunov-Krasovskii 泛函，研究了脈沖強度和脈沖間隔對隨機CGNNs 有限時間穩(wěn)定性的影響。

2 準(zhǔn)備知識

考慮帶有Markov 跳和時滯的脈沖隨機CGNNs

對t≥0,其中,x(t)=[x1(t),x2(x),…,xn(t)]T為神經(jīng)元狀態(tài)向量,a(x(t),r(t))=diag(a1(x1(t),r(t)),a2(x2(t),r(t))…,an(xn(t),r(t)))為神經(jīng)元放大函數(shù),b(x(t))=[b1(x1(t)),…,bn(xn(t))]T為神經(jīng)元行為函數(shù),矩陣A(r(t))，B(r(t))分別表示為連接權(quán)矩陣和時滯連接權(quán)矩陣,gj(x(t))=[gj1(x1(t)),gj2(x2(t))…,gjn(xn(t))]T(j=1,2) 為 神經(jīng)元激活函數(shù)，噪聲擾動σ：?n×?n×S→?n×m為Borel可測函數(shù)。時滯τ(t)滿足0≤τ(t)≤τ,≤δ,其中,τ,δ為 常數(shù)，w(t)=(w1(t),w2(t),…wn(t))為定義于該空間上的m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。中的Ck表示為脈沖增益矩陣。而tk滿足0 ≤t0

令r(t),t≥0 為定義在概率空間上取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}的右連續(xù)Markov 鏈,滿足P{r(t+Δ)=j|r(t)=i}=其中,Δ>0,o(Δ),為無窮小量,γii=表示從i到j(luò)的轉(zhuǎn)移概率。記Γ=(γij)N×N,Γ 是一個N×N的常數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣。

為了簡便，記r(t)=i,i∈S，本文中總假設(shè)以下條件成立。

假設(shè)1存在正常數(shù)，使得：，?x∈?,l=1,2,…,n。

假設(shè) 2存在正常數(shù)βil，使得：，?x∈?,l=1,2,…,n。

假設(shè) 3 存在對角矩陣Gj，使得：|gj(x)|≤|Gj·x|，?x∈?,j=1,2。

假設(shè)4 存在對稱正定矩陣Mil，Mi2，使得：

設(shè)x(t,φ)表示從初始數(shù)據(jù)x(t0+θ)=φ(θ)∈得到的狀態(tài)軌跡。由g1(0)=0,g2(0)=0，σ(0,0,i)=0知系統(tǒng)(1)有平凡解x(t,0)≡0。為了簡便，記x(t,φ)=x(t)。

定義1[15]若對于給定正常數(shù)c1,c2,T,c1

則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時間穩(wěn)定。

3 主要結(jié)果

3.1 不穩(wěn)定脈沖情形

定理1對于系統(tǒng)(1)，若存在正常數(shù)，α，μ≥1，對稱正定矩陣Pi，Q及正定對角矩陣Q1，Q2使得以下不等式成立：

其中：

則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時間穩(wěn)定

證定義Lyapunov-Krasovskii 泛函

系統(tǒng)(1)軌跡上的Kolmogorov算子為

其中，

由式(2)可得

對式(8)兩邊從tk到t積分再取期望，結(jié)合Gronwall 不等式得

根據(jù)文獻[16]中的引理3.1，結(jié)合不等式(3)推導(dǎo)出

由式(10)，對式(9)進行迭代運算可以得到

由文獻[17]中的定義2 和式(5-6)可得

另一方面，通過式(5)可得

因此，由定義1 知，則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時間穩(wěn)定。證畢。

注1：在文中，時滯τ(t)導(dǎo)數(shù)的上限δ考慮了δ≤1、δ>1 兩種情形，而文獻[18，19]中導(dǎo)數(shù)上限僅研究一種情形(<1)。因此，本文的結(jié)果可以應(yīng)用于更一般的系統(tǒng)。

3.2 穩(wěn)定脈沖情形

定理2對于系統(tǒng)(1)，若存在正常數(shù)，v，α，μ<1，對稱正定矩陣Pi，Q及正定對角矩陣Q1，Q2使得以下不等式成立：

其中：Ω11，Ω22如定理1 所示。

則系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時間穩(wěn)定。

證定義Lyapunov-Krasovskii 泛函如(7)所示，由不等式(13)，根據(jù)定理1 證明的方法可得式(8-9)成立。

根據(jù)文獻[16]中的引理3.2，通過不等式(14-15)推導(dǎo)出

結(jié)合式(20)，對式(9)進行迭代運算可以得到

結(jié)合式(16，21)可得

由式(18-19，22)推出

根據(jù)式(18，23)可得

因此，由定義1 知，系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時間穩(wěn)定。證畢。

注2：值得注意的是，在文獻[20]中，作者也研究了隨機CGNNs的有限時間穩(wěn)定性。但是，作者沒有考慮系統(tǒng)受脈沖擾動的影響。因此，本文的研究更接近于實際的情形。

推論1對于系統(tǒng)(1)，若存在正常數(shù)，v，α，μ<1，對稱正定矩陣Pi，Q及正定對角矩陣Q1，Q2使得不等式(13-16，18)及以下不等式成立：

則系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時間穩(wěn)定。

4 數(shù)值例子

考慮系統(tǒng)(1)，其中

令α=0.2，μ=1.1，c1=0.1，c2=10，T=1，N0=3。利用MATLAB 工具箱求解可得滿足線性矩陣不等式(2-6)的可行解：

ρ>0.0277，本文設(shè)ρ=0.03>0.0277，由定理1 可知，系統(tǒng)(1)關(guān)于(0.1,10,1)有限時間穩(wěn)定。

5 結(jié)論

本文研究了具有Markov 跳和脈沖時滯的隨機CGNNs的有限時間穩(wěn)定性問題，并考慮了μ≥1和μ<1兩種脈沖情形，對于每種情形分別獲得了有限時間穩(wěn)定的充分條件。然后通過一個數(shù)值例子說明了隨機Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間穩(wěn)定的判定依據(jù)是有效的。