王翠翠，孫 麗，鄒 斌

（1.安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230601；2.阜陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 阜陽(yáng) 236031；3.安徽開(kāi)放大學(xué) 文法與教育學(xué)院，安徽 合肥 230022）

2011 年Zadeh[1]提出了Z-number 后，許多學(xué)者對(duì)Z-number 展開(kāi)了研究，Aliev 等[2-3]在模糊集截集的概念上，給出了Z-number 的基本算術(shù)運(yùn)算以及Z-number 最大、最小、平方、平方根的代數(shù)運(yùn)算，并基于線性規(guī)劃和簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問(wèn)題提出了一種權(quán)衡計(jì)算復(fù)雜度和精度的計(jì)算方法，為Znumber 的拓展提供了良好的環(huán)境。隨后，Wang等[4]提出了語(yǔ)言Z-number 概念，并用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)來(lái)描述Z-number 的兩個(gè)分量，拓展了Z-number 的應(yīng)用范圍。一般來(lái)說(shuō)，定義運(yùn)算法是提出加權(quán)平均算子的基礎(chǔ)，方春[5]定義有序加權(quán)平均算子（Ordered Weighted Average）并應(yīng)用于UML 類圖的度量問(wèn)題。類似地，Pirmuhammadi 等[6]基于Z-number 的算術(shù)運(yùn)算法則定義了廣義的Hukuhara 積分和廣義積分以及Z-numbr 的距離，并證明了Znumber 初值問(wèn)題的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)Z-number 的基本運(yùn)算進(jìn)行了補(bǔ)充。Peng 等[7]提出了離散Z-number的優(yōu)序關(guān)系并定義了離散Z-number 優(yōu)勢(shì)度的概念，通過(guò)ELECTRE III 方法中的偏好、無(wú)差異、否定三個(gè)閾值解決準(zhǔn)則之間的不可補(bǔ)償性，并將其與QUALIFLEX 方法結(jié)合發(fā)展出一種新的決策方法，將Z-number 與傳統(tǒng)的決策方法結(jié)合，將Znumber 理論應(yīng)用到了實(shí)際的決策問(wèn)題中。盧亞楠等[8]將語(yǔ)言型Z-number 的云模型轉(zhuǎn)化為正態(tài)Z+值，并提出了基于ELECTER 的正態(tài)Z+值多屬性決策方法。另外，部分學(xué)者還在Z-number 中定義了一些常用的特征變量，如相似度和距離[9]、頻譜函數(shù)[10]、效用函數(shù)[11]和T 模[12]。Kang 等[13]認(rèn)為Znumber 是一對(duì)經(jīng)典的模糊數(shù)，提出了一種將Znumber 轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊數(shù)的方法，而謝小軍等[14]基于二元區(qū)間模糊數(shù)構(gòu)建包含ARIMA 模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型，這些經(jīng)典模糊環(huán)境下的決策方法都可以應(yīng)用到Z-number 環(huán)境中。對(duì)于Z-number 潛藏概率的求解問(wèn)題，Yang 等[15]將差異最大化引入限制條件之中，并以此為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建Z-number 潛藏概率求解的線性規(guī)劃模型。Qiao 等[16]則是以隱藏概率熵的極大化為目標(biāo)求解潛藏概率。張曉珍等[17]構(gòu)建兩個(gè)非線性模型計(jì)算Z-number 的潛藏概率，并提出了Z-number 的PROMETHEE 多屬性決策方法。

TODIM 方法是多準(zhǔn)則決策中常用的一種決策方法。樊治平等[18]提出了區(qū)間數(shù)信息環(huán)境下的TODIM 決策方法，基于各屬性下評(píng)價(jià)值的距離來(lái)計(jì)算收益或者損失，從而計(jì)算優(yōu)勢(shì)度值對(duì)各方案進(jìn)行排序。王堅(jiān)強(qiáng)等[19]將TODIM 方法拓展到多值中智集環(huán)境中提出一種基于多值中智集的多準(zhǔn)則決策方法。上面兩篇文章對(duì)于其他環(huán)境下TODIM 方法的發(fā)展具有借鑒意義。姜艷萍等[20]考慮到?jīng)Q策者具有參照依賴和損失規(guī)避行為，提出一種不完全信息的TODIM 決策方法，使得TODIM在信息更加貧乏的情況下依然能夠正常決策。目前將TODIM 與Z-number 結(jié)合的研究還比較少。因此，本文將針對(duì)Z+-number 環(huán)境下的決策問(wèn)題，拓展出Z+-number 環(huán)境中的TODIM 方法。

1 基本概念

本節(jié)將介紹離散Z-number 集、離散Z+-number 集等概念，并定義離散Z+-number 集海明距離。

定義1[1]（離散Z-number 集）設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，A和B分別是定義在X上和[0,1]上的兩個(gè)離散的模糊數(shù)，A的隸屬度值μA:x1,x2,…xn→[0,1],B的隸屬度μb:b1,b2,…,bn→[0,1]。定義在X上的離散Z-number 記作Z=(A,B)，這里A是X的模糊限制，B是模糊限制A的概率測(cè)度。

定義2[2]（離散Z+-number 集）設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，A是定義在X上的離散的模糊數(shù)，這里A是對(duì)X的模糊限制，R是X的概率分布p(x)，

其中μi/xi,i=1,2,…,n代表X=xi的可能性，pi/xi,i=1,2,…,n代表X=xi的概率，則稱其為離散Z+-number，記作Z+=(A,B)。

定義3設(shè)=(A1,R1)，=(A2,R2)為X上的兩個(gè)Z+-number 集，它們的概率分布分別為

將x11,x12,…,x1m,x21,x22,…,x2n中相同的元素進(jìn)行合并，然后重新進(jìn)行排列，記作x1,x2,…,xl，其中xi對(duì)應(yīng)的Z1和Z2中的概率分別記為P1i和P2i，在Z1或Z2中未出現(xiàn)的xi在Z1或Z2中對(duì)應(yīng)的概率設(shè)為零，則Z+-number 的海明距離可表示為

2 基于多目標(biāo)的潛藏概率求解模型

Z-number 潛藏概率的求解是Z-number 研究的一個(gè)重要問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]將差異最大化引入限制條件之中，并以此為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建Z-number 潛藏概率求解的線性規(guī)劃模型，但該方法對(duì)概率測(cè)度B的信息利用不夠充分，可能會(huì)造成很多信息損失。文獻(xiàn)[16]以隱藏概率熵的極大化為目標(biāo)求解潛藏概率，該方法得出的潛藏概率矩陣能夠表達(dá)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)語(yǔ)意漸進(jìn)的過(guò)程，但當(dāng)可靠性較小時(shí)所得出的潛藏概率不能令人信服。為了克服這些方法的不足，本文基于文獻(xiàn)[16]，引入概率和隸屬度的一致性作為求解潛藏概率的目標(biāo)，并且對(duì)B中的每個(gè)概率值都給出對(duì)應(yīng)的潛藏概率，然后進(jìn)行集成以得到最終的綜合潛藏概率值。因此，可以得出如下的潛藏概率求解模型。

Z=(A,B)是定義在X上的離散Z-number，A的隸屬度值μA:x1,x2,…,xn→[0,1]，B的隸屬度值為μB:b1,b2,…,bn→[0,1]，pX:p1,p2,…,pn→[0,1] 為X上對(duì)應(yīng)元素的潛藏概率，則對(duì)它求解的線性規(guī)劃模型如下：

其中α是懲罰函數(shù)，當(dāng)μA(xi+1)-μA(xi)(pi+1-pi)≥0時(shí)，α=0；當(dāng)μA(xi+1)-μA(xi)(pi+1-pi)＜0 時(shí)，α取一個(gè)很大的正數(shù)，例如α=100 0。

例如，設(shè)Z=(A,B)，A和B的隸屬度如下：

計(jì)算得出Z的潛藏概率分布矩陣如表1。

表1 Z 的潛藏概率分布

最終綜合潛藏概率可以利用可靠性度量的隸屬程度進(jìn)行集成，記μB中隸屬度值組成的向量為mB,mB=[μB(bi)]1×n，記潛藏概率分布矩陣為E，綜合潛藏概率向量的求解公式為：

因此，求得Z的綜合潛藏概率向量為P=[0.062 9,0.174 2,0.525 8,0.174 2,0.062 9]。

3 改進(jìn)的TODIM 方法

對(duì)離散Z+-number 環(huán)境下的多屬性決策問(wèn)題，假設(shè)有m個(gè)備選方案A={A1,A1,…,Am}，n個(gè)決策屬性a={a1,a1,…,an}，其權(quán)向量ω={ω1,ω2,…,ωn},wj∈[0,1]且=1。aj下的值為Z-number 值，其中模糊限制記為si,i∈{0,1,2,…,2s}，可靠性度量記為s′i,i∈{0,1,2,…,2t}，構(gòu)成的決策矩陣為R=[rij]m×n。

基于離散Z+-number 的改進(jìn)的TODIM 方法具體步驟如下：

Step 1：對(duì)決策信息進(jìn)行規(guī)范化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣～R=[rij]m×n。對(duì)于效益型屬性，對(duì)應(yīng)的決策信息不用改動(dòng)。對(duì)成本型屬性，取決策信息的補(bǔ)集，即Z=(si,s′j),ZC=(s2s-i,s′2t-j)。

Step 2：求出各評(píng)價(jià)值的潛藏概率，確定評(píng)價(jià)信息的Z+-number 矩陣，記為R+=

Step 3：選取參照標(biāo)準(zhǔn)ak，一般選權(quán)重最高的準(zhǔn)則為參照標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)一個(gè)Z-numberZ=(A,B)是定義在X上的離散Z-number，令hA=maix [μA(xi)]，hB=，記Z的中心值為H，且H可通過(guò)公式H(Z)=hA×hB求得。

Step 4：計(jì)算方案間的優(yōu)先程度，假設(shè)方案Ai優(yōu)于Aj的程度δ(Ai,Aj)，

公式（4）中的價(jià)值函數(shù)φl(shuí)(Ai,Aj)表示在準(zhǔn)則al(l=1,2,…,n)下方案Ai優(yōu)于Aj的程度；參數(shù)θ表示損失的衰減系數(shù)，可以根據(jù)決策者進(jìn)行調(diào)整，若θ＜1，則損失的影響會(huì)增大，若θ＞1，則損失的影響將減小，θ=1 是最常用的；表示準(zhǔn)則al的權(quán)重除以參考準(zhǔn)則ak的權(quán)重ωk；Hil和Hjl分別表示Z+-number和的中心值；表示兩個(gè)表示Z+-number和的距離。

Step 5：計(jì)算方案Ai的綜合排序值ξi，即

Step 6：根據(jù)綜合排序值ξi進(jìn)行排序，ξi的值越大，方案Ai越優(yōu)先。

4 實(shí)例分析

某投資公司面對(duì)四個(gè)待選的高新技術(shù)投資方案：移動(dòng)通信(x1)、新能源技術(shù)(x2)、生物醫(yī)藥(x3)、低碳減排技術(shù)(x4)，選擇最優(yōu)方案進(jìn)行投資，邀請(qǐng)專家分別從收益率(a1)、技術(shù)成熟度(a2)、發(fā)展前景(a3)、潛在風(fēng)險(xiǎn)(a4)四個(gè)方面進(jìn)行評(píng)價(jià)，四個(gè)屬性權(quán)重向量為ω=[0.25,0.20,0.25,0.30]，且四個(gè)屬性均為效益型。模糊限制和可靠性度量的語(yǔ)言尺度見(jiàn)表2 和表3，專家評(píng)估結(jié)果如表4 所示。

表2 模糊限制對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言尺度

表3 可靠性度量對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言尺度

表4 專家評(píng)估結(jié)果

Step 1：由于各屬性均為效益型屬性，因此相應(yīng)的決策信息無(wú)需變動(dòng)。

Step 2：計(jì)算各Z-number 評(píng)價(jià)結(jié)果的潛藏概率，并求出評(píng)價(jià)信息的Z+-number 矩陣，其中

Step3：依照屬性權(quán)重選取參照標(biāo)準(zhǔn)，選為a4。

Step 4：假設(shè)取衰減系數(shù)θ=1，計(jì)算方案間的優(yōu)先的程度，結(jié)果如表5。

表5 方案間的優(yōu)先程度

Step 5：根據(jù)公式（5）計(jì)算方案Ai的綜合排序值ξi，得ξ1=0，ξ2=0.698 4，ξ3=0.355 0，ξ4=1。

Step 6：對(duì)綜合排序值進(jìn)行比較，可得方案最終排序?yàn)锳4?A2?A3?A1。

由于不同衰減系數(shù)θ的取值可能會(huì)對(duì)最終排序結(jié)果產(chǎn)生一定影響，下面對(duì)排序結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)健性分析，選取不同的θ值對(duì)方案進(jìn)行排序，結(jié)果見(jiàn)表6 所示。不難發(fā)現(xiàn)，取四個(gè)不同的θ值時(shí)方案的排序完全一致，均為A4?A2?A3?A1，由此驗(yàn)證了本方法具有較好的穩(wěn)健性。

表6 排序結(jié)果穩(wěn)健性分析

5 小結(jié)

本文定義了Z+-number 的海明距離，提出了新的Z-number 潛藏概率求解方法，并將Z+-number環(huán)境與TODIM 方法相結(jié)合擴(kuò)展出了基于Z+-number 的TODIM 方法，并針對(duì)衰減系數(shù)作了穩(wěn)健性分析。結(jié)果檢驗(yàn)了本文方法的穩(wěn)健性，為Znumber 環(huán)境下的決策研究提供了一種新的解決方式。在進(jìn)一步的研究中，將會(huì)對(duì)Z+-number 的熵進(jìn)行研究，并探索如何對(duì)屬性權(quán)重進(jìn)行客觀定權(quán)。