馬晴晴，張志明

(阜陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

攝動(dòng)方法隨著內(nèi)層問(wèn)題的深入研究而不斷發(fā)展，內(nèi)層與邊界層不同之處在于，有許多實(shí)際問(wèn)題其中急劇的變化發(fā)生在感興趣區(qū)域的內(nèi)部。例如從流體力學(xué)、固體力學(xué)和氣體動(dòng)力學(xué)等物理問(wèn)題中建立的模型壓縮流以及從混合燃燒、催化反應(yīng)和穩(wěn)態(tài)濃度等化學(xué)問(wèn)題中導(dǎo)出的化學(xué)反應(yīng)流，往往會(huì)出現(xiàn)激波層等性態(tài)，這里考慮兩種具有激波層性態(tài)的邊值問(wèn)題，對(duì)論文[1]的結(jié)果進(jìn)行了推廣。

考慮一般的二階奇攝動(dòng)Dirichlit 問(wèn)題

其中：ε是任意小的正數(shù),A、B是任意給定的常數(shù)。

假設(shè)uL(t)和uR(t)分別為退化問(wèn)題

在[a,b]的解，把解uL(t)和uR(t)分別稱為退化問(wèn)題的左解和右解。若問(wèn)題(1)和(2)的解在t0∈(a,b)具有內(nèi)層性質(zhì)或者說(shuō)呈內(nèi)層性態(tài)，則根據(jù)左、右解及其左、右導(dǎo)數(shù)在t0的取值情形分類如下

銜接法主要用于uL(t0)≠uR(t0)的情形。相應(yīng)的內(nèi)層分別稱為激波層和非單調(diào)過(guò)渡層，本文主要考慮第一種性態(tài)即激波層性態(tài)，給出如下定義。

定義1[1]若問(wèn)題(1)，(2)在[a,b]上的一個(gè)解x=x(t,ε)滿足

其中：uL(t0)≠uR(t0)，且s介于uL(t0)與uR(t0)之間，則稱解x(t,ε)在t=t0處呈激波層性態(tài)。

uL(0)≠uR(0)，且s介于uL(0)與uR(0)之間。

2 一類擬線性邊值問(wèn)題

Cole[1]較早研究如下擬線性的邊值問(wèn)題

其中：B,C是已知常數(shù)。當(dāng)邊界值B和C產(chǎn)生變化時(shí)，此邊值問(wèn)題除了在端點(diǎn)t=0(或t=1)處出現(xiàn)邊界層之外，當(dāng)其滿足以下條件：

時(shí)，激波層性態(tài)在內(nèi)點(diǎn)t0=(1-B-C)∈(0,1)處就會(huì)出現(xiàn)。當(dāng)然，這個(gè)有趣的問(wèn)題引起大部分學(xué)者的[2-6]的興趣，莫嘉琪等[7-12]做了如下羅賓問(wèn)題

詳細(xì)討論了可能的激波位置，給出了激波解[13-18]的漸近表達(dá)式。

考慮一類更加一般的擬線性邊值問(wèn)題

其中：g(t,x) 在[0,1] ×R上連續(xù)，且存在函數(shù)uL(t),uR(t)∈C2[0,1],分別滿足退化問(wèn)題

使得uL(t)+uR(t) 為[0,1] 上的單調(diào)函數(shù)，uL(t)≠uR(t)。

由于uL(t)≠uR(t)，由于問(wèn)題的解(如果存在)存在邊界層或內(nèi)層現(xiàn)象，這里分析了該問(wèn)題的解在t0∈(0,1)處如果呈現(xiàn)激波層狀態(tài)，那么它的條件是什么,最后通過(guò)匹配漸近展開(kāi)法[19-20]在表面構(gòu)造出在[0,1]上具有一直有效性的激波層漸近解。

將外展開(kāi)式x0=代入(3)和x(0,ε)=-B或x(1,ε)=C,令ε0的系數(shù)相等即可得

可知它們對(duì)應(yīng)的是退化問(wèn)題(5)和退化問(wèn)題(6)，由假設(shè)可知，其解x0=uL(t)和x0=uR(t)表示為

現(xiàn)假設(shè)激波層在內(nèi)點(diǎn)t0∈(0,1)出現(xiàn)，那么對(duì)t0處引入伸展變換

將(7)代入(3)得到

由此可知特異極限會(huì)在λ=1 時(shí)出現(xiàn),該方程寫(xiě)為

設(shè)內(nèi)展開(kāi)式形式為

將它代入(8)，并令ε0的系數(shù)相等可得

從(9)解出

另外，我們也可以通過(guò)劉姥姥與賈雨村形成對(duì)比，我們知道他們都相當(dāng)于打秋風(fēng)的人，但是兩個(gè)人對(duì)恩人的表現(xiàn)卻十分不同，賈雨村盡管有時(shí)會(huì)在利益的誘惑下幫助恩人，但大多是助紂為虐，而最終在沒(méi)有利益的時(shí)候，在要付出巨大的代價(jià)的時(shí)候，賈雨村選擇了背叛恩人，還落井下石，讓我們看到了人性丑惡的一面，而劉姥姥卻不一樣，她用自己的一切選擇了幫助恩人，盡管恩人當(dāng)時(shí)已經(jīng)不能再給她任何好處了，而且劉姥姥還要付出巨大的代價(jià)，所以人性的善惡通過(guò)這兩個(gè)人我們就可以清晰地看到，此外，這兩個(gè)人的安排也十分巧妙，都是從頭到尾的線索人物，讓我們看到了曹雪芹寫(xiě)作技巧的高超。

k,c為積分常數(shù)并且k≠0，不失一般性，取k＞0，根據(jù)匹配原則，應(yīng)有

由此定出

可發(fā)現(xiàn)假設(shè)在t=t0(即ξ=0)處有激波層，得出X0(0)=0。因此從(12)給出c=1，有

綜合上面的討論，得到復(fù)合展開(kāi)式

其中k和t0的值由(14)，(15)確定。

3 一類兩次邊值問(wèn)題

考慮如下形式的二次問(wèn)題

其 中0 ＜ε＜＜1,a,b(a＜0 ＜b) 。討論 了 當(dāng)t=0 是f(t)的高階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的問(wèn)題(17),(18)并分析了它們?cè)趖=0 處存在激波解的條件，利用合成展開(kāi)法把這個(gè)問(wèn)題的形式漸近解構(gòu)造出來(lái)，再應(yīng)用微分不等式理論來(lái)證明當(dāng)ε→0 時(shí)解的漸近性質(zhì)和激波解的存在性，假設(shè)

H1：存在函數(shù)uL(t),uR(t)∈C2[a,b]分別滿足退化問(wèn)題

H2：f(t)∈Cn[a,b](n≥3) 使f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 且f(n)(0)≠0，即t=0 為f(t)的n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)。

H3：g(t,x)∈C1([ ]a,b×R)，且存在常數(shù)l＞0，使gx(0,x)≥l。

使用合成展開(kāi)法來(lái)簡(jiǎn)單地構(gòu)造問(wèn)題(17)和(18)的零次形式近似，這里先將外部解

代入(17)和u(a,ε)=A或(u(b,ε)=B)。因此可知道外部解的零次近似u0=uL(t)和uo=uR(t)，它們分別是退化問(wèn)題(19)和(20)在[a,b]上的解。

因?yàn)閡L(0)≠uR(0)，需要在t=0 附近構(gòu)造激波層校正項(xiàng)

其中ε=為伸展變量，將U(t,ε)+V(ξ,ε)代人(3)得到

其中：g(ξε,U)和g(ξε,U+V)分別表示為

其中：0 ＜θi＜1(i=1,2)；η介于u0(0)與U之間；ξ介于u0(0)+v0與U+V之間；u0(0)=uL(0)或uR(0)。在(21)中令ε0的系數(shù)相等可得

當(dāng)取u0(0)=uL(0)時(shí)，相應(yīng)的v0(ξ)記作vL(ξ)，考慮到vL(ξ)作為激波層在(]-∞,0 上的主要校正項(xiàng)，應(yīng)滿足vL(-∞)=0，v˙L(-∞)=0，故從(22)推出

類似地，當(dāng)取u0(0)=uR(0)時(shí)，vR(ξ)(ξ∈[0,+∞))應(yīng)滿足vR(+∞)=0,v˙R(+∞)=0,

從而有

其中

下面討論uR(0)＞uL(0)的情況(類似地可以討論uR(0)＜uL(0)的情況)，仍可由激波層校正項(xiàng)的性質(zhì)得到v˙0(ξ)＞0(v0=vL或vR)，故從(23)和(24)推出

且vL(ξ)和vR(ξ)可分別表示為

用銜接法，若令

就有

而(25)可改寫(xiě)為

于是得到問(wèn)題(17)，(18)的解

再利用微分不等式的理論，從而去證明當(dāng)ε→0 時(shí)解的漸近性質(zhì)及激波解的存在性。

定理1在H1～H3下，并假設(shè)

H4：uR(0)＞uL(0)，且條件(29)和不等式(29)，(30)成立，那么存在充分小的正數(shù)ε0，使對(duì)于每個(gè)0 ＜ε≤ε0，在問(wèn)題(17)，(18 的區(qū)間[a,b]中，在t=0時(shí)有激波層性態(tài)的一個(gè)解x(t,ε)，并且在[a,b]上一致有x(t,ε)=x0(t,ε)+O(ε)。

證明先說(shuō)明由(26)所確定的vL(ξ)當(dāng)ξ→-∞時(shí)為指數(shù)型小項(xiàng)(記為EST），事實(shí)上，由假設(shè)H3知對(duì)任意z∈(0,vL(0))，g(0,uL(0)+z)-g(0,uL(0))≥lz,

隨之有

因此vL≤vL(0)exp(kξ)。

所以

當(dāng)ξ＞0 時(shí)，vR(ξ)∈(vR(0),0)，類似討論得到

其中τ介于u0(0)+v0與u0+v0-rε之間，于是可取r≥，這里K＞0 使|O(ε) |≤Kε，

由假設(shè)H3推出

類似可得

又顯然在[a,b] 上a(t,ε)≤β(t,ε)，且由(31)，(32)可知，只要保證ε充分小，就可得α(a,ε)≤A≤β(a,ε)和α(b,ε)≤B≤β(b,ε)。

應(yīng)用微分不等式理論，推出問(wèn)題(17)、(18)在區(qū)間[a,b] 上存在一個(gè)解x(t,ε)，并且滿足

故當(dāng)ε→0 時(shí)在區(qū)間[a,b] 上一致地有

且uL(0)≠uR(0),s=[uL(0)+uR(0)] 是在uL與uR(0)之間的，所以解x(t,ε)在t=0 處呈現(xiàn)激波層性態(tài)。定理證畢。

3 小結(jié)

在研究奇攝動(dòng)的內(nèi)層問(wèn)題時(shí)，提出了一種構(gòu)造方法，稱為銜接法:即通過(guò)分別構(gòu)造內(nèi)層兩邊解的近似，然后平滑地連接相應(yīng)的曲線，形成整個(gè)區(qū)間上解的近似表達(dá)式。本文用它研究了兩種奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題中的激波層性態(tài)，進(jìn)一步可考慮非單調(diào)過(guò)渡層的奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題。