施國興，尚 騰，王 聰，李學(xué)鋒

（北京航天自動控制研究所，北京，100854）

0 引 言

深空探測是指對月球以遠的地外天體、太陽系空間和宇宙空間的活動天體或空間環(huán)境開展的探測活動，主要包括對月球、行星系統(tǒng)、小天體、太陽及日球?qū)右赃h等天體進行探測[1,2]。進入21世紀后，美國提出了重返月球計劃[3]及火星登陸計劃[4]、日本開展了小行星探測任務(wù)[5]、印度提出了月球計劃[6]，相應(yīng)的中國也提出并開展了探月工程三步走任務(wù)[7]和行星探測任務(wù)[8]。2020年是火星探測的發(fā)射窗口，阿聯(lián)酋希望號、中國天問一號、美國火星 2020相繼發(fā)射成功[9]。

運載火箭作為行星探測任務(wù)的第1步，其運載能力大小直接制約了有效載荷能夠攜帶的科研儀器質(zhì)量，從而限制探測器執(zhí)行深空探測任務(wù)的能力。復(fù)雜的深空探測任務(wù)對運載火箭提出了更高要求。更強運載能力的大型運載火箭能具備將探測器直接送出地球引力場能力，更有利于探測計劃的實施。長征五號運載火箭作為中國目前運載能力最強的運載火箭[10]。2020年7月23日將5 t的天問一號探測器直接送入地火轉(zhuǎn)移軌道，火箭分離時刻速度超地球第二宇宙速度，通過一次發(fā)射任務(wù)實現(xiàn)了火星環(huán)繞、著陸和巡視。

中國首次火星探測任務(wù)的星箭分離時刻速度為11.2 km/s，超過了第二宇宙速度（11.18 km/s），能夠脫離地球引力場的束縛，以雙曲線軌道的樣式飛向火星。探火任務(wù)的目標(biāo)軌道如圖1所示。

圖1 探火任務(wù)軌道示意Fig.1 Schematic Diagram of EMTO

運載火箭在地火轉(zhuǎn)移軌道（雙曲線軌道）的近地點附近與有效載荷分離，分離時刻速度很大，地火轉(zhuǎn)移軌道的偏心率大于1，如在入軌點處存在著較小的軌道偏差，隨著載荷飛向目標(biāo)行星的過程中會逐漸放大。因此考慮到深空探測器的軌道中途修正能力的限制，需要運載火箭提供較高的入軌精度。然而，大型運載火箭的發(fā)動機推力更大、相應(yīng)的推力偏差及關(guān)機后效偏差也會更大，不利于運載火箭控制入軌精度。

本文結(jié)合長征五號運載火箭執(zhí)行深空探測任務(wù)的特點，提出了一種大運載火箭適應(yīng)深空探測軌道的高精度制導(dǎo)技術(shù)。通過分析探火軌道的特點和特征能量C3的單調(diào)性，給出了一套高精度制導(dǎo)方案，并進行相應(yīng)的仿真及模擬打靶分析，最后利用飛行試驗結(jié)果來評估該方法的入軌精度。

1 問題描述

1.1 雙曲線軌道

探火軌道形狀為雙曲線軌道，如式（1）：

式中a為半長軸；b為半短軸。

表1給出了雙曲線軌道的值域。

表1 雙曲線軌道的值域Tab.1 Range of Hyperbolic Orbit

表1顯示，雙曲線軌道中的半長軸雖然沒有明確的物理意義，但仍有數(shù)學(xué)意義上的計算值。從數(shù)學(xué)值域上分析，雙曲線軌道的半長軸的值域為（-∞，0），較傳統(tǒng)橢圓軌道發(fā)生了極性變化。在本次長征五號火箭進入雙曲線軌道過程中，隨著火箭能量不斷增加，火箭密切軌道經(jīng)歷了從亞軌道、圓軌道、橢圓軌道向雙曲線軌道的變化。具體的雙曲線軌道如圖2所示。

圖2 雙曲線軌道Fig.2 Hyperbolic Orbit

圖2可以直觀顯示，探火的雙曲線軌道仍存在近地點，但遠地點無物理意義。

對于深空探測任務(wù)而言，其軌道的相關(guān)參數(shù)[11]可用下式得到：

式中μ為地球引力常數(shù)，單位m3/s2；r為地心矢徑，單位m；v為絕對速度，單位m/s。

通過上述公式可計算得到星箭分離時刻火箭的入軌速度須超過11.18 km/s，

由于存在超高的入軌速度，入軌時刻的關(guān)機時間偏差及后效偏差均會導(dǎo)致入軌精度變差，經(jīng)計算，對于地火轉(zhuǎn)移軌道而言，20 ms的關(guān)機時間偏差會導(dǎo)致約10.6%的入軌特征能量偏差，因此運載火箭圓滿完成發(fā)射火星探測器任務(wù)，則須在超過第二宇宙速度的情況下采用高精度制導(dǎo)方法來實現(xiàn)探火載荷的可靠入軌。

1.2 特征能量C3描述

由式（4）半長軸可定義如下：

由于地火轉(zhuǎn)移軌道是雙曲線軌道，其偏心率e必大于1。半長軸a與偏心率e有關(guān)的表達式為

式中aR為地球半徑；Hp為近地點高度。

運載火箭將探火載荷送入地火轉(zhuǎn)移軌道，肯定會出現(xiàn)穿越偏心率為1的情況。

由式（6）可知：半長軸必定會在穿越點（偏心率為1）處存在一個奇點，如圖3所示，因此半長軸作為關(guān)機量的傳統(tǒng)使用方式在探火任務(wù)中不再適用。

圖3 半長軸變化曲線Fig.3 Semi-major Axis Change Process

為保證關(guān)機量隨飛行狀態(tài)單調(diào)變化，在發(fā)射探測器進入地火轉(zhuǎn)移軌道的任務(wù)中引入特征能量C3作為控制系統(tǒng)的發(fā)動機關(guān)機量。

特征能量C3[12]可表示為

由式（5）、式（7）可得：

C3等于0時，表示飛行器到達地球引力影響球邊緣時的速度；C3大于0時，表示飛行器具備飛出地球引力影響球的能力；C3小于0時，表示飛行器無法到達地球引力影響球邊緣，只能形成繞地球飛行的橢圓軌道。

針對特征能量C3而言，其偏導(dǎo)數(shù)如下：

式中g(shù)為重力加速度。

根據(jù)地球物理常數(shù)可得：

由式（9）可知C3的斜率大于零，這說明其變化是單調(diào)遞增的，可以作為控制系統(tǒng)的發(fā)動機關(guān)機量使用。圖4給出了關(guān)機特征能量C3隨飛行時間的變化曲線。

圖4 C3的變化曲線Fig.4 C3 Change Process

2 高精度制導(dǎo)技術(shù)方案

針對探火任務(wù)，制導(dǎo)系統(tǒng)提出了基于“入軌級的強適應(yīng)制導(dǎo)”+“末修級的基于后效估計制導(dǎo)技術(shù)”的高精度制導(dǎo)方案（見圖5）。

圖5 高精度制導(dǎo)方案Fig.5 Principle Block Diagram of Guidance

2.1 強適應(yīng)制導(dǎo)技術(shù)

基于探火軌道的強適應(yīng)制導(dǎo)技術(shù)主要是適應(yīng)大干擾（比如推力下降干擾）的入軌級的高精度制導(dǎo)技術(shù)。該技術(shù)不但可以適應(yīng)一定的推力下降故障，還能保證足夠高的入軌精度。該技術(shù)是隨著現(xiàn)代計算機技術(shù)和最優(yōu)控制理論的發(fā)展而出現(xiàn)的一種制導(dǎo)技術(shù)，飛行中利用火箭實時狀態(tài)和終端約束條件計算出一條滿足最佳性能指標(biāo)的彈道用于控制，由于終端條件是根據(jù)軌道要素實時計算的，因此具有更高的制導(dǎo)精度[13]。

其展開形式為

由上式可知：制導(dǎo)系統(tǒng)通過改變箭體縱軸方向?qū)崿F(xiàn)對火箭質(zhì)心運動的控制，強適應(yīng)制導(dǎo)控制的程序角通常表現(xiàn)為線性形式[13]：

式中κ～,ψ～為平均程序角；為交變分量。

根據(jù)極大值原理構(gòu)建哈密爾頓函數(shù)方程，求解極值條件，可得到制導(dǎo)方程的最優(yōu)解，即可得到平均值,κ～ψ～，從而保證的速度約束。然后根據(jù)位置約束條件，得到交變分量(-k1+k2?t)，(-k3+k4?t)。至此，計算得到實時控制姿態(tài)角κ*(t),ψ*(t)。

探火任務(wù)中的入軌段常用C3關(guān)機量進行關(guān)機，通過C3關(guān)機量與速度增量建立聯(lián)系，因此可以利用傳統(tǒng)的計算速度增量的方法來確定入軌段的剩余飛行時間kT，即可以根據(jù)速度增量進行剩余飛行時間的估計，如式（13）所示：

式中kT，U分別為剩余燃燒時間和比沖；ΔV為視速度增量，為當(dāng)前段的質(zhì)量和秒流量。設(shè)kT′為kT預(yù)測時間的上一拍，其中，

2.2 后效段末修制導(dǎo)技術(shù)

長征五號運載火箭的二級入軌過載達到1.3g以上，要高于目前傳統(tǒng)的高軌火箭。即使實施了高精度C3關(guān)機，但由于關(guān)機后效及時延的存在，會產(chǎn)生比較大的非制導(dǎo)誤差，因此須在后效段對關(guān)機后效推力進行準(zhǔn)確估計，在末修段采用后效估計制導(dǎo)技術(shù)來降低關(guān)機后效引起的非制導(dǎo)誤差。

后效段飛行過程中，通過慣性器件實時敏感發(fā)動機后效推力的視加速度分量時間系列來實時得到后效沖量P：

式中hT為后效段工作時間；m為當(dāng)前實時質(zhì)量。

通過式（14），可計算得到總的后效偏差ΔP：

式中Pnom為理論后效總沖量。

根據(jù)末修發(fā)動機的平均推力Fm和理論關(guān)機時間tnom可以得到預(yù)測關(guān)機時間Tmk：

可以通過實時對末修段的飛行過載估算來修正末修發(fā)動機的推力，具體如下：

式中mm，tm分別為末修段的實時質(zhì)量和飛行時刻，因此可以得到如下公式：

通過利用預(yù)測的關(guān)機信息配合末修關(guān)機量動態(tài)實時精確關(guān)機。同時利用速度約束方程，通過預(yù)測的關(guān)機時間可以得到末修段的飛行程序角進行制導(dǎo)控制，具體公式如下：

式中Vζk,Vηk為入軌時刻的軌道坐標(biāo)系的速度分量；Vζ0,Vη0為當(dāng)前時刻的軌道坐標(biāo)系的速度分量。

3 仿真分析

3.1 高精度制導(dǎo)方法的適應(yīng)性仿真

以長征五號運載火箭為例進行六自由度數(shù)學(xué)仿真分析，并對制導(dǎo)技術(shù)的入軌性能加以驗證，目標(biāo)軌道為地火轉(zhuǎn)移軌道，其入軌精度的評估值采用與工程任務(wù)指標(biāo)要求的百分比來表示，如表2所示。

表2 六自由度數(shù)學(xué)仿真結(jié)果Tab.2 Six Freedom Degrees of Simulation Results

從表2可見，本次高精度制導(dǎo)方法的近地點高度指標(biāo)相對于傳統(tǒng)制導(dǎo)方法要更優(yōu)一點，其精度接近于百分之一。

3.2 模擬打靶分析

在六自由度仿真程序中，將發(fā)動機秒流量偏差、比沖偏差、推力線偏斜等方法誤差模型、捷聯(lián)慣組和衛(wèi)星導(dǎo)航等工具誤差模型按照正態(tài)分布的隨機數(shù)加入其中，進行模擬打靶仿真分析，其中每條模擬打靶彈道的隨機數(shù)序列均滿足正態(tài)分布N(0,1/3)，設(shè)定打靶數(shù)量為3000條。

其打靶仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，ΔC3，ΔHp，Δi的入軌精度相當(dāng)傳統(tǒng)火箭的制導(dǎo)方法提升一個數(shù)量級。其指標(biāo)只有相對于工程任務(wù)指標(biāo)的3%，遠小于工程任務(wù)要求的100%。

圖6 ΔC3，ΔHp，Δi的靶點三維圖Fig.6 Target 3D of ΔC3，ΔHp andΔi

3.3 飛行試驗評估

飛行試驗圓滿成功的判據(jù)之一就是入軌精度只需滿足工程任務(wù)總體指標(biāo)要求即可。對于此次長征五號運載火箭發(fā)射天問一號火星探測器而言，為了更好地評估其入軌精度，采用與工程任務(wù)總體指標(biāo)要求的百分比來進行評估，具體評估值如表3所示。

表3 探火任務(wù)入軌精度百分比值Tab.3 Orbital Accuracy of Mars Mission

由表3可知：此次天問一號探測器的入軌精度比任務(wù)指標(biāo)要求少了近2個數(shù)量級，這表明其入軌指標(biāo)達到了非常高的入軌精度。

4 結(jié)束語

本文針對長征五號運載火箭執(zhí)行深空探測任務(wù)特點，詳細分析雙曲線探火軌道的特點和特征能量C3關(guān)機的單調(diào)性，提出了一種大推力運載火箭探火軌道的高精度制導(dǎo)技術(shù)，進行了相應(yīng)的仿真及飛行試驗評估。采用了高精度制導(dǎo)控制技術(shù)的長征五號運載火箭成功發(fā)射了天問一號探測器，并在第二宇宙速度的前提下實現(xiàn)超高精度入軌，為后續(xù)行星探測任務(wù)的實施奠定了堅實基礎(chǔ)。