張博戎，王建明，李靜琳，韓雪穎，周 敬

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 北京控制工程研究所，北京，100190）

0 引 言

對于需要進入地球雙曲線軌道的發(fā)射任務，軌道全局設計與優(yōu)化是其中的首要問題[1]。在這一類任務規(guī)劃問題中，發(fā)射窗口和運載能力是關鍵的設計指標。

針對發(fā)射窗口選擇問題，目前基于蘭伯特（Lambert）問題快速求解算法，已經(jīng)能夠?qū)Χ嗝}沖軌道轉(zhuǎn)移問題進行建模，并結(jié)合多種優(yōu)化方法尋優(yōu)。特別是在簡單的雙脈沖直接轉(zhuǎn)移問題中，利用Pork-Chop圖方法能夠直觀展現(xiàn)發(fā)射窗口與速度增量之間的關系，以便任務規(guī)劃選擇[2]。

針對運載能力計算問題，目前主要研究方法是將速度機動轉(zhuǎn)換為燃料質(zhì)量消耗，從而將這一指標納入全局優(yōu)化。有學者在軌道優(yōu)化中加入干重指標，為全局優(yōu)化開辟了新的角度[3]。此外，也有學者基于火箭發(fā)射軌道特征，在不同發(fā)射射向和偏航情況下，定性分析了火箭有效載荷初始入軌質(zhì)量變化規(guī)律[4]，值得進一步研究其與出發(fā)軌道的匹配關系。

在選擇發(fā)射窗口和計算運載能力過程中，應注意各項工程約束對于任務指標的影響。諸如火箭發(fā)射場大多處于固定地理位置，因此對于入軌停泊軌道的傾角范圍具有限制。有學者在軌道全局優(yōu)化中限定了赤緯（即地球赤道坐標系中一個點的緯度值，可理解為緯度在天球上的投影）或停泊軌道傾角范圍[5～7]，但單純施加這一約束過于絕對，仍與實際發(fā)射情況有差異。再者，大多運載火箭末級可在停泊軌道上滑行的時間范圍小，因此對入軌點存在約束。在此基礎上，有學者研究了考慮射向和滑行時間約束的發(fā)射軌道匹配方法，并利用“赤緯-發(fā)射能量”圖判斷發(fā)射可行性[8]，獲得了更符合火箭實際發(fā)射能力的匹配規(guī)律，但是沒有分析運載能力變化。

總的來講，目前有關進入雙曲線軌道的運載能力計算與發(fā)射窗口選擇相結(jié)合的研究較少，而事實上這兩部分指標是緊密相關的。發(fā)射能量較優(yōu)的窗口未必能夠?qū)崿F(xiàn)最大運載能力，而若追求有效載荷質(zhì)量盡可能增加，則有可能犧牲原窗口的優(yōu)化指標。美國2018年利用宇宙神V運載火箭發(fā)射洞察號探測器，以北射向損失運載能力為代價，獲得了更好的發(fā)射機會[9]。今后，隨著進入雙曲線軌道的任務逐步增多，將運載能力計算與發(fā)射窗口選擇相結(jié)合具有理論上和工程上的研究價值。

進一步具體分析運載火箭發(fā)射中的各項約束條件，其中發(fā)射場緯度、射向、末級滑行時間3個參數(shù)有可能顯著影響發(fā)射軌道與出發(fā)條件的拼接結(jié)果以及具體實現(xiàn)的運載能力大小[8,10]。如果發(fā)射場位置確定，則這一問題轉(zhuǎn)化為基于射向與滑行時間約束下的雙曲線軌道發(fā)射運載能力計算。本文將基于“赤緯-發(fā)射能量”圖方法，對考慮火箭射向和滑行時間約束的發(fā)射軌道運載能力計算進行研究，提出一種基于射向約束表達的無量綱運載能力折算方法，并通過算例進行說明和分析。

1 軌道模型與運載能力折算方法

1.1 雙曲線軌道發(fā)射速度計算

目前，雙曲線發(fā)射軌道初步計算主要基于引力影響球模型，即以雙脈沖直接轉(zhuǎn)移為例，首先確定出發(fā)時間歷元1t和到達時間歷元2t，通過星歷計算得到出發(fā)時刻位置矢量1x和到達時刻位置矢量x2。本文中，統(tǒng)一使用開源的DE405模型。獲得位置信息后，迭代蘭伯特問題求解函數(shù)Lambert，根據(jù)首末狀態(tài)位置矢量和轉(zhuǎn)移時間，即可獲得雙曲線出發(fā)速度vdpt[11]：

式中vdpt為出發(fā)速度矢量。

根據(jù)出發(fā)時刻地球在日心系下速度矢量Ev，可將雙曲線出發(fā)速度vdpt轉(zhuǎn)化為地心系表達，即為在地心系中的逃逸速度vesc：

vesc的平方也被稱為發(fā)射能量（C3），其可用于描述運載火箭發(fā)射能力大?。?/p>

通過式（1）～（3）可知，對于不同出發(fā)和到達時間的雙曲線軌道，其需要的出發(fā)速度是不同的，運載火箭要根據(jù)逃逸速度需求去匹配適當?shù)陌l(fā)射參數(shù)，以滿足軌道拼接要求。

1.2 發(fā)射軌道拼接可行域分析

已知需要的逃逸速度vesc后，需要進一步匹配滿足工程約束的運載火箭發(fā)射軌道。一般來講，運載火箭發(fā)射雙曲線軌道需要通過近地停泊軌道進行過渡，以保證發(fā)射軌道和逃逸軌道拼接具有更大自由度。如圖1所示，火箭末級和有效載荷組合體在近地停泊軌道上滑行至P點后進行逃逸加速，經(jīng)由雙曲線軌道飛出地球引力影響球。如要保證逃逸速度大小和方向相同，則所有可拼接的停泊軌道均必經(jīng)過公共點M，即可繞vesc的地心矢量軸旋轉(zhuǎn)。

圖1 雙曲線發(fā)射軌道與停泊軌道拼接示意Fig.1 Hyperbolic Launch Orbit and Parking Orbit Splicing

在確定發(fā)射場地理位置和停泊軌道圓半徑前提下，如果火箭末級和有效載荷組合體只采取1次切向脈沖加速逃逸，則雙曲線出發(fā)軌道與運載火箭發(fā)射彈道拼接只具有1個自由度，這一自由度表示為停泊軌道圓繞逃逸速度地心矢量軸的轉(zhuǎn)角。

發(fā)射場緯度、射向、末級滑行時間3個參數(shù)會在這一自由度上產(chǎn)生約束，且相互影響。令發(fā)射場緯度為B，極性定義北緯為正，南緯為負。令火箭發(fā)射射向為A。則利用式（4），可以計算射向約束下的雙曲線發(fā)射停泊軌道公共點M的赤緯δ范圍。

式中δ為赤緯；A為火箭發(fā)射射向；B為發(fā)射場緯度。

進一步假定運載火箭末級滑行時間約束對應停泊軌道上的地心角為φp，由發(fā)射點進入停泊軌道射程對應地心角為φL，經(jīng)過停泊軌道公共點M后的逃逸段滑行地心角為φMP，則根據(jù)式（5），可計算在滑行時間約束下的停泊軌道公共點M的赤緯范圍：

式中φp為滑行段地心角；φL為發(fā)射點進入停泊軌道段地心角；φMP為逃逸段地心角。

式（5）中，火箭由發(fā)射點進入停泊軌道入軌點的射程地心角φL在初步分析中可認為是定值，并由火箭射程計算，本文計算中取為0.31 rad?；鸺袝r間地心角φp可以根據(jù)滑行時間約束tp、停泊軌道半徑Rp、地球引力常數(shù)μ計算：

式中tp為滑行時間約束；Rp為停泊軌道半徑；μ為地球引力常數(shù)。

經(jīng)過停泊軌道公共點后的逃逸段滑行地心角為φMP與停泊軌道半徑Rp和逃逸速度vesc大小有關，如式（7）所示。

式（7）中，vesc可由式（2）計算得到。至此，根據(jù)雙曲線出發(fā)速度，已能求解確定滿足射向與滑行時間約束的發(fā)射可行域范圍。在發(fā)射場緯度、停泊軌道半徑、射向和滑行時間確定的情況下，這一約束表示為逃逸速度赤緯與發(fā)射能量集合的交集。

1.3 不同射向運載能力折算方法

在雙曲線發(fā)射軌道滿足發(fā)射約束基礎上，可進一步計算火箭實現(xiàn)的運載能力大小。一般來講，末級滑行時間對運載能力影響微小，初步分析中可認為不變。發(fā)射射向?qū)\載能力影響較大，90°正東發(fā)射時，火箭能最大程度利用地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的初始速度，因此同一型火箭按相同程序飛行時，正東發(fā)射能夠?qū)崿F(xiàn)最大運載能力，隨著射向逐步偏離正東，運載能力逐步減小，直到射向為正西270°時，運載能力最低。

初步分析中，可用式（8）估算某射向A下有可能達到的最大無量綱運載能力m，其中k為射向變化帶來的運載能力損失系數(shù)，初步分析中可取為0.2，即正東發(fā)射實現(xiàn)最大無量綱運載能力，此時m為1，隨著射向逐步由正東變化至正西，m減小至0.8。

在此基礎上，針對特定射向范圍的發(fā)射軌道，出于航落區(qū)限制，會調(diào)整加注量和俯仰飛行程序角等參數(shù)，以保證航落區(qū)安全。因此，特定射向下實現(xiàn)的上升段飛行軌跡未必是運載能力最優(yōu)。此類約束只針對特定射向，所以可在式（8）基礎上，減去特定射向范圍內(nèi)的方波函數(shù)以擬合實際軌道設計結(jié)果，如式（9）。

式中η為方波函數(shù)特征寬度；τ為運載能力折損幅度特征量。

式（9）中，F(xiàn)i（A，Ai，η，τ）為射向Ai下的運載能力折損函數(shù)，其中η為方波函數(shù)寬度，即產(chǎn)生運載能力折損的射向區(qū)間大小，τ為運載能力折損幅度。Fi一般表達式為

假設射向Ai取97.5°附近時，出于航落區(qū)安全考慮，會產(chǎn)生運載能力損失，此約束下方波函數(shù)寬度取為15 °，即90～105 °射向范圍都會受到損失，折損系數(shù)τ取1%，則在考慮這一特定射向折損情況下的運載能力函數(shù)示意見圖2。

圖2 考慮特定射向損失的運載能力折算函數(shù)Fig.2 Carrying Capacity Conversion Function Considering Loss of Specific Launch Azimuth

在考慮多射向約束的運載能力分析計算中，可設置多個Fi函數(shù)疊加，從而使得總的運載能力折算函數(shù)接近真實設計狀態(tài)。根據(jù)本章以上內(nèi)容，可用圖3中的計算流程圖表示深空發(fā)射運載能力計算過程。

圖3 深空發(fā)射運載能力計算流程Fig.3 Calculation Flowchart of Carrying Capacity in Deep Space Launch

2 滿足發(fā)射約束的運載能力計算與分析

考慮某發(fā)射場位于北緯20°位置，發(fā)射射向約束為90～130°，運載火箭末級滑行時間約束為950 s內(nèi)，通過式（4）～（7），能夠得出滿足發(fā)射約束的雙曲線軌道“赤緯-發(fā)射能量”可行域（見圖4）。

圖4 “赤緯-發(fā)射能量”可行域范圍Fig.4 Feasible Range of Declination-launch Energy

圖4中，射向可行域為兩條垂直線之間，關于0°對稱分布，與發(fā)射能量無關。滑行時間約束為兩條曲線之間，關于發(fā)射場緯度對稱分布，在本文算例中，約束可行域隨發(fā)射能量增加而變窄。兩類可行域疊加后，即為同時滿足射向約束和滑行時間約束的可行域集合，落在這一范圍外的逃逸速度無法被滿足。

在判斷發(fā)射可行性之后，進一步引入運載能力折算函數(shù)。首先，針對圖4可行域中的每一個點，其均對應多種射向與滑行時間組合的發(fā)射選擇，對運載能力產(chǎn)生主要影響的參數(shù)是發(fā)射射向。因此，由式（4）計算圖4中任意一點可能的發(fā)射射向范圍，如式（11）。

將式（11）所得的射向范圍代入式（9），即可以映射得到這一射向范圍下所能夠?qū)崿F(xiàn)的運載能力范圍，選取這一范圍的最大值作為該點的最大運載能力，并將這一數(shù)值表示到“赤緯-發(fā)射能量”可行域中，如圖5所示。

在圖5中，所有發(fā)射可行域內(nèi)的點均已優(yōu)化得到最大運載能力發(fā)射方案，可見其沿射向等值線分布，在能夠接近實現(xiàn)90°射向處，無量綱運載能力最大，隨著可實現(xiàn)的射向遠離90°，無量綱運載能力逐步降低，直至觸碰可行域邊界。

圖5 逃逸速度可行域內(nèi)運載能力Fig.5 Carrying Capacity in Feasible Region of Escape Velocity

以上計算過程與發(fā)射任務無關聯(lián)，即說明可針對某一型運載火箭在特定發(fā)射約束下實現(xiàn)的雙曲線軌道發(fā)射能力進行全面評估，并且找到射向和滑行時間約束邊界，以供任務選擇和后續(xù)改進設計參考。

3 假想算例分析

在實際的雙曲線軌道任務規(guī)劃中，初步階段往往需要優(yōu)化得到多個軌道方案，此后在論證過程中對比選擇。在這一類具有明確任務背景的分析中，利用第2章提出的方法能夠快速計算多個不同發(fā)射方案實現(xiàn)的運載能力大小，以供任務規(guī)劃選擇。本章將通過3個具體算例進行分析和說明。

3.1 算例1任務分析

根據(jù)假想任務探測軌道需求，首先根據(jù)式（1）～（2），計算得到出發(fā)速度增量Pork-Chop圖（見圖6）。

圖6 算例1任務窗口總速度增量Fig.6 Total Velocity Increment of Eg.1 Launch Window

將圖6中滿足總速度增量小于8 km/s的點全部選出，并計算其需要的出發(fā)雙曲線速度及其對應的出發(fā)速度赤緯與發(fā)射能量大小，運載能力在圖中以散點形式畫出，見圖7。

從圖7中可以看出，算例1窗口滿足要求的出發(fā)點全部位于可行域內(nèi)，同時均處在最大運載能力發(fā)射范圍，表明這一窗口的出發(fā)條件均可被滿足，且無運載能力損失，是一個適合執(zhí)行發(fā)射的窗口。

圖7 算例1探測窗口運載能力計算Fig.7 Carrying Capacity Calculation of Eg.1 Launch Window

3.2 算例2任務分析

按3.1節(jié)中同樣方法，基于算例2雙曲線軌道需求，根據(jù)式（1）～（2），計算得到出發(fā)速度增量Pork-Chop圖（見圖8）。

圖8 算例2窗口總速度增量Fig.8 Total Velocity Increment of Eg.2 Launch Window

將圖8中滿足總速度增量小于9 km/s的點全部選出，并計算其對應的出發(fā)速度赤緯與發(fā)射能量大小，在運載能力圖中以散點形式畫出，見圖9。

圖9 算例2探測窗口運載能力計算Fig.9 Carrying Capacity Calculation of Eg.2 Launch Window

從圖9中可以看出，算例2窗口滿足要求的出發(fā)點也全部位于可行域內(nèi)，且無運載能力損失，雙曲線軌道出發(fā)條件均可被滿足，是一個適合執(zhí)行發(fā)射的窗口。

3.3 算例3任務分析

按3.1和3.2節(jié)中同樣方法，根據(jù)算例3雙曲線軌道需求計算出發(fā)窗口。首先根據(jù)式（1）～（2），計算得到出發(fā)速度增量Pork-Chop圖（見圖10）。

圖10 算例3窗口總速度增量Fig.10 Total Velocity Increment of Eg.3 Launch Window

將圖10中滿足總速度增量小于14 km/s的點全部選出，并計算其對應的出發(fā)速度赤緯與發(fā)射能量大小，在運載能力圖中以散點形式畫出，見圖11。

從圖11中看出，總速度增量較低的散點部分落在了發(fā)射可行域范圍之外，表明這些出發(fā)速度無法被滿足。同時，也有部分出發(fā)點位于非最大運載能力范圍，表明如果選擇這一窗口，可能會承擔部分運載能力損失，這一信息可供任務規(guī)劃時參考使用。

圖11 算例3探測窗口運載能力計算Fig.11 Carrying Capacity Calculation of Eg.3 Launch Window

4 結(jié)論與展望

本文研究了基于發(fā)射約束的雙曲線軌道運載能力計算方法，得到以下結(jié)論：

a）提出了一種基于射向約束的運載能力折算函數(shù)，能夠模擬射向變化和航落區(qū)調(diào)整帶來的運載能力損失。利用這一函數(shù)可以在軌道初步設計與優(yōu)化中快速模擬實際發(fā)射能夠?qū)崿F(xiàn)的運載能力大小。

b）利用雙曲線軌道速度“赤緯-發(fā)射能量”圖方法，展現(xiàn)了射向約束產(chǎn)生的無量綱運載能力變化規(guī)律，這一結(jié)果能為工程任務規(guī)劃提供參考。分別以3個假想算例為例，分析了指定窗口的發(fā)射適應能力。

對后續(xù)研究進行展望，本文未考慮火箭末級滑行時間變化對運載能力造成的小幅影響，在后續(xù)研究中可以深入分析，以得到更貼合工程實際的設計結(jié)果。