秦玉紅

摘 要：“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形相結(jié)合，在近年的中考和數(shù)學競賽中常以壓軸題的形式出現(xiàn)。這類問題不僅考查學生綜合實踐、判斷推理能力，而且培養(yǎng)了學生的抽象能力、直觀想象能力和數(shù)學建模核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：直觀想象;數(shù)學抽象;模型思想;圖形變換;數(shù)學本質(zhì)

一、 引言

教育家張世欽認為，學生只有在充分的具體經(jīng)驗積累之后，才能逐漸領(lǐng)會其核心價值和本質(zhì)特征，在這個過程中，教師不僅要做到兼顧核心概念的數(shù)學邏輯，還應(yīng)注重學生學習的心理邏輯?！皩④婏嬹R”問題的教學設(shè)計，從學生原有的認知出發(fā)，結(jié)合教師創(chuàng)設(shè)的情境，引導(dǎo)學生自主提出問題、研究問題、解決問題，并圍繞學生的核心素養(yǎng)展開教學。其次落實教師和學生共同參與教學過程，有利于改變教師單方面掌控課堂的現(xiàn)象，從而極大地改善師生關(guān)系，提高學生學習數(shù)學的興趣。基于以上思考制訂出本節(jié)課的教學目標：1. 通過幾何畫板演示引導(dǎo)學生體驗所求的點的存在性及做法的合理性，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng);2. 通過變化的背景引導(dǎo)學生利用圖形變換等相關(guān)知識解決最短路徑問題，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的素養(yǎng);3. 通過培養(yǎng)學生的模型思想，幫助學生構(gòu)建解決問題的數(shù)學模型，形成解決此類問題的通法。

二、 教學設(shè)計

問題1：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

（一）辨析模型

1. 判斷C點的存在性

學情分析：根據(jù)學生已有認知及這一內(nèi)容對學生能力要求，找準學生思維的盲點。如圖1，學生能將實際問題抽象成數(shù)學問題，把河流抽象成一條直線l，而學生的思維困惑是：如何在直線l上找到合適的C點，使得AC+BC的值最小。

師生活動：讓學生先猜想是否存在點C，教師再進行幾何畫板演示，拖動C點向右移動，觀察AC+BC值的變化情況，學生發(fā)現(xiàn)AC+BC的值先變小再變大。而拖動C點向左移動，AC+BC的值先變大再變小，則說明直線l上一定存在一點C滿足AC+BC的值最小。

[設(shè)計意圖]：讓學生經(jīng)歷猜想AC+BC數(shù)值變化的過程，通過對數(shù)值的觀察、比較，歸納出AC+BC的最值點C存在的確定性。

2. 展示學生作圖

師生活動：出示學生依據(jù)垂最短所作的圖，過點A作直線l的垂這類畫法。

[設(shè)計意圖]：展示學生的錯誤思維，學生經(jīng)歷解決問題的思維歷程，不但使得學生的思維方式得到鍛煉，而且從學生認知沖突中奠定“以研定導(dǎo)”“以導(dǎo)促研”“導(dǎo)研耦合”的教學思維。

師生活動：制作幾何畫板動態(tài)演示。

拖動C向右移動，AC+BC值在逐漸變小，發(fā)現(xiàn)C在垂足時C1處時不能滿足AC+BC的值最小。而向左拖動C點，AC+BC值在變大，同樣點C在垂足C2處時，也不能滿足AC+BC值最小。綜上所述，過A點或B點作直線l的垂的方法找到點C，并不能使得AC+BC值最小。

[設(shè)計意圖]：教師通過幾何畫板的動態(tài)演示，展示學生利用“垂最短”解決和最小值的思維誤區(qū)，使之在思維轉(zhuǎn)變中感悟數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和改變解題策略，從而提升學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，以及發(fā)展學生的邏輯推理能力。

（二）聯(lián)想基本模型

根據(jù)學生已有知識的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)可利用公理“兩點之間最短”解決問題。

思考2：現(xiàn)在假設(shè)點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，滿足AC+BC的值最小。

學生很容易想到：連接AB，交直線l于點C，此時點A、C、B三點共線，AC+BC的值就轉(zhuǎn)化為AB的長，依據(jù)“兩點之間最短”的知識，學生很快得出點C滿足AC+BC的值最小。

[設(shè)計意圖]：教師提出相應(yīng)的情境與素材，將數(shù)學問題與實際情景相結(jié)合，激發(fā)學生的學習興趣，感受到學習知識的必要性，從而自然而然地提出數(shù)學問題。教師結(jié)合實際問題探尋數(shù)學與生活實際的關(guān)系，學生在分析問題時尋找解題思路，由此激發(fā)學生主觀能動性，積極地參與問題的探究中。

（三）難點突破

思考3：如果點A、B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決所走路徑最短的問題？

1. 學情分析：將同側(cè)點問題轉(zhuǎn)換為異側(cè)是解決問題的難點。如何將點B轉(zhuǎn)換到l的另一側(cè)B′處，是解決問題的關(guān)鍵。以往的教師會直接告訴學生，通過做對稱點來解決問題，回避了學生認知上的難點，可以進行以下的探討：

師生活動：教師幾何畫板演示，引導(dǎo)學生觀察：

（1）拖動點A，每一個點在直線異側(cè)都有一個點與之對應(yīng)的對應(yīng)點。

（2）引導(dǎo)學生觀察AC+BC的值與AB′長度的數(shù)量關(guān)系，在點A移動的過程中，它們數(shù)值始終相等，當AB′的長度最短時，AC+BC的值也最小，由此說明，要使AC+BC的值最小就得滿足兩個條件：①A、C、B′三點共線;②l上的點C使得BC=B′C。

（3）引導(dǎo)學生進行分析：要使BC=B′C，根據(jù)垂直平分線的判定定理可以得到C為BB′的垂直平分線上一點，拖動A到A′處，同樣要使BC1=B′C1，C1也為BB′的垂直平分線上一點。根據(jù)“兩點確定一條直線”，可以得到直線l是BB′的垂直平分線，即B′是B點關(guān)于l的對稱點。

[設(shè)計意圖]：以問題引導(dǎo)，問題驅(qū)動的形式指導(dǎo)學生研究與思考，學生通過觀察發(fā)現(xiàn)在直線異側(cè)有唯一的點與之對應(yīng)，真正理解作定點的對稱點的本質(zhì)意義，由同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，探尋將軍飲馬問題的數(shù)學根源，給學生提供切實有效的邏輯思維。

（四）作法指導(dǎo)

尋找到C點的作法：

（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′;