胡志軍

(江蘇省南通市如皋中學(xué) 226500)

應(yīng)用換元法解決問(wèn)題是在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中非常常見(jiàn)的一種方法，對(duì)同學(xué)們個(gè)人能力的發(fā)展有非常重要的幫助.換元法又可以稱之為是輔助元素法、變量代換法.同學(xué)們從高一開(kāi)始就會(huì)使用到這種方法，能夠貫穿到整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中.教師在日常的教學(xué)中更是應(yīng)該有針對(duì)性地幫助同學(xué)們了解這些方法的具體使用，也要明確有哪些題目能夠運(yùn)用換元法解決.具體解決一定要以有利于計(jì)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化為基本的原則，也要對(duì)變量的范圍進(jìn)行重新的選取，盡可能的避免因?yàn)轳R虎而導(dǎo)致的不必要的失誤.本文以三角函數(shù)問(wèn)題運(yùn)用不同的換元法等基本方法進(jìn)行了探究，包括局部換元法、三角換元法、均值換元法.

一、應(yīng)用局部換元法解決三角函數(shù)問(wèn)題

應(yīng)用局部換元法解決三角函數(shù)問(wèn)題需要同學(xué)們結(jié)合自己學(xué)過(guò)的相關(guān)內(nèi)容對(duì)題目中已知條件進(jìn)行換元處理.

例1設(shè)存在a>0，求解f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a2的最大值和最小值.

分情況討論：

通過(guò)這種換元的方法對(duì)原來(lái)的題目進(jìn)行處理，問(wèn)題得到了有效的簡(jiǎn)化，但是在解決問(wèn)題時(shí)對(duì)應(yīng)到新的未知數(shù)存在區(qū)間的問(wèn)題，需要同學(xué)們加以注意，并保證原有未知量和新的未知量的定義域是一一對(duì)應(yīng)的，并且要對(duì)定義域內(nèi)的不同情況進(jìn)行分類討論.

二、應(yīng)用三角換元解決三角函數(shù)問(wèn)題

一般遇到圓、橢圓、雙曲線等問(wèn)題時(shí)，需要應(yīng)用三角換元法解決三角函數(shù)問(wèn)題，同學(xué)們先將代數(shù)問(wèn)題或是解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參三角不等式的恒成立問(wèn)題，然后結(jié)合“參數(shù)分離法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍.

三、應(yīng)用均值換元法解決三角函數(shù)問(wèn)題

應(yīng)用均值換元法解決三角函數(shù)問(wèn)題需要同學(xué)們結(jié)合自己學(xué)過(guò)的相關(guān)內(nèi)容對(duì)題目中已知條件進(jìn)行換元處理.

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)主要是為了讓同學(xué)們的思想能夠有所發(fā)展，讓同學(xué)們可以更加靈活的使用抽象思維的能力去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的奧秘.三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容，幾乎會(huì)和所有重要的模塊建立起密切的聯(lián)系，所以需要教師和同學(xué)們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)和練習(xí)當(dāng)中加以注意.而以上的介紹提到的只是在解決三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)常見(jiàn)的一些換元的方法，具體的解題方法還需要結(jié)合不同的問(wèn)題進(jìn)行更加多樣化的探索和總結(jié)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是永無(wú)止境的，同學(xué)們需要在學(xué)習(xí)中保持一種探索和創(chuàng)新的意識(shí).換元不僅僅是一種方法，更是同學(xué)們?cè)谌粘?shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中日積月累所得到的一種思想，能夠幫助同學(xué)們?cè)谌粘?yīng)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)更加得心應(yīng)手，同學(xué)們也可以通過(guò)學(xué)習(xí)更多的知識(shí)進(jìn)行方法的轉(zhuǎn)變，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的靈活運(yùn)用，讓同學(xué)們能夠在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中更加順利，有更多的收獲.所以，教師應(yīng)該在日常的教學(xué)中幫助同學(xué)們進(jìn)行方法的總結(jié)和歸納，讓同學(xué)們?cè)趯W(xué)過(guò)了一些知識(shí)之后能夠建立起更加清晰的體系，把相關(guān)的知識(shí)總結(jié)在一起進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，為未來(lái)的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)奠定更加扎實(shí)的基礎(chǔ).