周華春

【摘要】隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的深入，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也在逐步展開和推進(jìn).而相對(duì)初中數(shù)學(xué)來說，高中數(shù)學(xué)要更加抽象，更加具有理論性，所以我們教師要讓新生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，做好初高中知識(shí)的銜接，讓學(xué)生從熟悉的知識(shí)和熟悉的方法開始逐步適應(yīng)，從而由熟悉到陌生，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層層深入，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以新教材第一冊(cè)第二章第三節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”為例進(jìn)行研究.

【關(guān)鍵詞】三個(gè)二次;體驗(yàn);高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng)

一、新版課程教材的要求和意圖

本節(jié)是高中數(shù)學(xué)必修課程中的預(yù)備知識(shí)之一，是初高中數(shù)學(xué)的銜接與過渡.首先，教師應(yīng)使學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并從函數(shù)角度去思考一元二次方程和一元二次不等式，理解和厘清“三個(gè)二次”之間的關(guān)系和聯(lián)系，并學(xué)會(huì)借助二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式，進(jìn)一步落實(shí)用函數(shù)理解方程和不等式的思想方法.其次，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生善于思考和善于聯(lián)系的習(xí)慣，懂得通過聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別是學(xué)會(huì)通過研究函數(shù)圖像來觀察和輔助解題，數(shù)形結(jié)合，化抽象為具體，直觀地解決問題.最后，從特殊到一般，通過解幾個(gè)具有代表性的一元二次不等式總結(jié)出解一類一元二次不等式的解法和步驟，建立數(shù)學(xué)模型.

二、新課的導(dǎo)入和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

教材第一段引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式，回顧三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，再利用這種聯(lián)系思考二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間是否也有這樣的聯(lián)系，接著通過求柵欄邊長(zhǎng)的問題情境導(dǎo)出課題，引領(lǐng)學(xué)生思考.

這樣能很好地引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知和舊法，使其思考：什么是一元二次不等式？它與一元二次方程和一元二次函數(shù)有什么聯(lián)系？可以通過類比的方法來求解一元二次不等式的相關(guān)問題嗎？從而引發(fā)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

當(dāng)然，有的老師可能認(rèn)為學(xué)生初中學(xué)過一元一次不等式的解法，這個(gè)內(nèi)容也簡(jiǎn)單，于是直接通過問題情境導(dǎo)出問題，得出定義之后講例題做練習(xí).這種快餐式的做法很直接地奔著主題而去，看似簡(jiǎn)單、直接、明了，也節(jié)省了時(shí)間，其實(shí)是一種功利性的做法，還需要教師讀懂、讀通、讀透教材和教參，理解和領(lǐng)會(huì)教材并實(shí)施“類比”教學(xué)，從而更好地完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡與銜接.

三、教學(xué)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象

教材通過從柵欄問題情境抽象出數(shù)學(xué)問題，整理得到x2-12x+20<0，x∈{x|0

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算

用類比法畫出二次函數(shù)y=x2-12x+20的圖像，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).令y=0，得到方程x2-12x+20=0，用十字相乘法或公式法，得兩根為2和10，從而發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x2-12x+20=0的兩根，于是二次函數(shù)y=x2-12x+20與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（2，0）和（10，0）.

3.邏輯推理，數(shù)據(jù)分析

從圖像可以推理得出，二次函數(shù)y=x2-12x+20的兩個(gè)零點(diǎn)x1=2，x2=10將x軸分成三段.相應(yīng)地，當(dāng)x<2或x>10時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸上方，此時(shí)y>0;當(dāng)2

這是一道實(shí)際應(yīng)用題，還需要結(jié)合實(shí)際進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，因?yàn)閤∈{x|0

解決該情境問題后，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)由相應(yīng)函數(shù)的圖像可推理得出對(duì)應(yīng)不等式的解集.

4.數(shù)學(xué)建模

由特殊推廣到一般，這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以推廣到求解一般的一元二次不等式的解集，從而建立解一元二次不等式的模型：第一步，求判別式Δ，判斷一元二次方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，Δ>0，Δ=0，Δ<0分別對(duì)應(yīng)方程有2個(gè)根、有1個(gè)根和無解，相應(yīng)地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)、1個(gè)和無交點(diǎn);第二步，根據(jù)開口方向和交點(diǎn)個(gè)數(shù)畫出二次函數(shù)草圖;第三步，數(shù)形結(jié)合，x軸上方的圖像y>0，對(duì)應(yīng)的x的范圍就是ax2+bx+c>0（a>0）的解集，同理，x軸下方的圖像y<0，對(duì)應(yīng)的x的范圍就是ax2+bx+c<0（a>0）的解集.

由此可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)Δ>0，Δ=0，Δ<0三種情況，也就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種情況，得出對(duì)應(yīng)不等式的解集.

接著教材通過三個(gè)典型例題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)、理解和消化知識(shí)，讓學(xué)生從這三個(gè)例題的解答中充分體會(huì)不等式問題可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程和函數(shù)及其圖像問題進(jìn)行解決，進(jìn)一步理解函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)系和聯(lián)系，逐步形成用函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式的意識(shí)，同時(shí)感悟數(shù)形結(jié)合之美，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.

例1 求不等式x2-5x+6>0的解集.

解：對(duì)于方程x2-5x+6=0，因?yàn)棣?0，所以它有2個(gè)實(shí)數(shù)根，解得x1=2，x2=3.畫出二次函數(shù)y=x2-5x+6的圖像，結(jié)合圖像得不等式x2-5x+6>0的解集為{x|x<2或x>3}.

例2 求不等式9x2-6x+1>0的解集.

解：對(duì)于方程9x2-6x+1=0，因?yàn)棣?0，所以它有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解得x1=x2=13.畫出二次函數(shù)y=9x2-6x+1的圖像，結(jié)合圖像得不等式9x2-6x+1>0的解集為xx≠13.