朱群芳

【摘 要】本文以“三角形三邊關(guān)系”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探究基于動態(tài)操作教學(xué)環(huán)境下的教學(xué)方法，以提高學(xué)生課堂參與度，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式的養(yǎng)成，最終引領(lǐng)學(xué)生的思維水平從低階走向高階，實(shí)現(xiàn)能力與素養(yǎng)共同提升。

【關(guān)鍵詞】動態(tài)操作 動態(tài)想象 動態(tài)思維

一、研究緣起

（一）一次教學(xué)實(shí)踐

在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”一課時(shí)，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，利用三角形三邊關(guān)系，對問題“一個(gè)三角形的三條邊的長度都是整厘米數(shù)，其中兩條邊分別是3厘米和4厘米，那么第三條邊可能是多少厘米？”進(jìn)行探究。學(xué)生得出了第三條邊的取值范圍：第三條邊如果是最長邊，那么已知的兩條邊就是較短邊，它們的關(guān)系就是3+4>（ ），最長邊就是6;如果第三條邊是最短邊，那么4就是最長邊，它們的關(guān)系就是3+ （ ） >4，最短邊就是2。所以第三條邊就應(yīng)該在2～6之間，最后得出結(jié)論：兩邊之和>第三邊>兩邊之差。課堂上，當(dāng)時(shí)學(xué)生們似乎都已經(jīng)明白了第三條邊的取值范圍，教師自感教學(xué)效果比較好。隨后，教師用以下兩道習(xí)題來進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（1）三根小棒長分別是3厘米、3厘米、7厘米，請判斷它們是否能圍成三角形。

（2）一個(gè)三角形其中的兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么第三條邊最長是（? ? ）厘米，最短是（? ? ）厘米。（三條邊的長度都取整厘米數(shù)）

測試結(jié)果：習(xí)題（1）全班學(xué)生都能正確作出判斷，正確率達(dá)100%;習(xí)題（2）的正確率是62.2%。從比格斯團(tuán)隊(duì)的SOLO分類評價(jià)理論來看，習(xí)題（1）是對學(xué)生低階思維水平的測試，學(xué)生正確率很高;習(xí)題（2）則是對學(xué)生高階思維水平的測試。從測試數(shù)據(jù)分析來看，學(xué)生答題情況與教師教學(xué)這部分內(nèi)容的教學(xué)效果有很明顯的出入。

（二）反思

本課操作性強(qiáng)，為了幫助學(xué)生主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，深刻理解三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)，教師需要考慮讓操作材料活起來、關(guān)聯(lián)起來，操作過程以一定的邏輯推進(jìn)，充分引發(fā)作為操作主體的學(xué)生不斷自我發(fā)問、釋疑，進(jìn)而讓學(xué)生伴隨著鮮活的操作過程展開一系列的想象和思維，在一系列的操作過程中積累大量的第一手感性經(jīng)驗(yàn)，形成正確的知識點(diǎn)，建構(gòu)起三角形的三邊關(guān)系概念，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生從具體形象思維走向高階邏輯思維的學(xué)習(xí)目的。

二、再分析與再設(shè)想

（一）對教材的再分析

三角形三邊關(guān)系的學(xué)習(xí)注重實(shí)際操作，不但要引導(dǎo)學(xué)生從直觀層面把握三角形，更要從關(guān)系層面把握三角形。在人教版教材中，它是小學(xué)四年級下冊《三角形》這個(gè)單元“三角形的特性”中的其中一部分內(nèi)容（見圖1）。旨在引導(dǎo)學(xué)生從擺三角形入手，經(jīng)歷“操作—觀察—比較—推理—驗(yàn)證”等過程，得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的操作能力和邏輯思維能力。

（二）對教學(xué)的再設(shè)想：以動態(tài)操作去深度建構(gòu)

基于以上分析與思考，筆者認(rèn)為，關(guān)于“三角形三邊關(guān)系”的教學(xué)，采用動態(tài)操作教學(xué)模式，選擇合適的操作材料，改變操作材料的呈現(xiàn)方式，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷動態(tài)操作、動態(tài)想象、推理與驗(yàn)證的過程，以辨析、歸類、推理、驗(yàn)證、形成概念的探究形式，可以完成三角形概念的深度建構(gòu)，形成一個(gè)內(nèi)涵豐富、鮮活可變的三角形概念。以下展示教學(xué)流程（見圖2）：

三、聯(lián)結(jié)·整合·推演·擴(kuò)散的探索

（一）聯(lián)結(jié)——起于行，收于思，在實(shí)踐操作中強(qiáng)化三角形概念

動態(tài)操作教學(xué)倡導(dǎo)營造生動活潑、積極主動、富有個(gè)性的學(xué)習(xí)氛圍。三角形三邊關(guān)系的學(xué)習(xí)，需要實(shí)現(xiàn)學(xué)生對三角形概念從淺表性的感性認(rèn)識到相對精準(zhǔn)認(rèn)識的跨越，引導(dǎo)學(xué)生在“說一說—擺一擺（指導(dǎo)規(guī)范操作）—想一想”的學(xué)習(xí)過程中，強(qiáng)化對三角形的認(rèn)識，有效實(shí)現(xiàn)與原有知識體系的聯(lián)結(jié)，實(shí)現(xiàn)起于行，收于思。

1.強(qiáng)化概念，加深理解

在學(xué)生原認(rèn)知的基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生擺三角形，一方面，重現(xiàn)三角形的模型，再次直觀感知三角形，為研究三邊關(guān)系做好鋪墊;另一方面，潛移默化地指導(dǎo)了圍的方法，為后續(xù)的操作活動做示范，很好地解決了操作材料客觀性的問題。而用吸管作為學(xué)具，是因?yàn)槿私贪媾涮讓W(xué)具袋里每生備有一套，方便且可行性強(qiáng)。

2.引起猜想，激發(fā)探究

在這樣的操作中，原本存在于學(xué)生頭腦中的大量的三角形生活原型就會浮現(xiàn)出來，讓學(xué)生在圍得成與圍不成的認(rèn)知沖突中再次審視、碰撞、激疑，從而產(chǎn)生進(jìn)一步動手?jǐn)[一擺驗(yàn)證的欲望。

（二）整合——鑒于思，再于行，在動態(tài)操作中感知三角形三邊關(guān)系

考慮到操作材料的選擇及呈現(xiàn)方式的問題：獨(dú)立的幾組材料不具有關(guān)聯(lián)性。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，教師試圖通過把幾組操作材料進(jìn)行整合后整體呈現(xiàn)，讓學(xué)生帶著問題經(jīng)歷“自主組合—動手操作—辨析歸類（動態(tài)演示）—得出結(jié)論”的探究過程，初步整體感知三角形三邊關(guān)系。

1.打破模型，感知關(guān)系

可以由用3根吸管圍一圍，改為從4根吸管中選擇3根去圍一圍，打破既有模型，教學(xué)材料的開放性與關(guān)聯(lián)性為動態(tài)操作提供可能。學(xué)生在選一選、圍一圍、換一換、再圍一圍的動態(tài)操作中直觀、全面感知三角形三邊關(guān)系，在操作、觀察、比較中想象，在探究中發(fā)現(xiàn)，最后在辨析中逐步完善認(rèn)知，達(dá)成初步建構(gòu)，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動性。

2.展示操作，動態(tài)激活

從學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的邏輯性來看，以“四選三”的形式，形成4組不同的組合（①10cm、5cm、4cm;②10cm、6cm、4cm;③10cm、6cm、5cm;④6cm、5cm、4cm）。有序組合的4組存在關(guān)聯(lián)，學(xué)生通過換一換就從“圍得成”變成了“圍不成”，又從“圍不成”變成了“圍得成”的操作活動中感悟到：兩條短邊之和大于第三邊——圍得成三角形;兩條短邊之和小于第三邊或與第三邊相等——圍不成三角形。于是有了如下的教學(xué)：

[操作提示]

每人4根吸管，長分別為：10cm、6cm、5cm、4cm。

（1）任選3根圍一圍，可以怎么選？有幾種選法？

（2）這幾種選法都能圍成三角形嗎？

（3）圍一圍，把結(jié)果記錄下來。

（4）思考：3根吸管，什么情況下不能圍成三角形？什么情況下能圍成三角形？能否圍成三角形，和什么有關(guān)？怎樣調(diào)整邊的長短就能圍成三角形？

[反饋交流部分環(huán)節(jié)]

師：把10cm、6cm、5cm這一組中6cm這根換成4cm，大家都認(rèn)為圍不成，為什么圍不成呢？請你擺一擺，具體說一說。

（生操作演示）

師：這位同學(xué)圍的時(shí)候一直在把兩根吸管活動的一端慢慢往下壓，你覺得他為什么要這樣做？

生：這樣能讓兩根吸管的端點(diǎn)越來越接近，可是就算放平了（見圖3），這兩個(gè)端點(diǎn)也沒能接上，所以10cm、5cm、4cm這一組不能圍成三角形。

師：把前面這一組中的5cm這根換成6cm，其他兩根不變（10cm、6cm、4cm），對于能否圍成三角形，請大家說一說想法。

生1：把5cm這根換成6cm來圍（見圖4），3根吸管首尾相連了，所以圍得成三角形。

生2：雖然做到首尾相連了，但是高不見了，所以圍不成三角形。

師：吸管本身有一定的寬度，圍的過程會有比較大的誤差，如果把這3根吸管變成細(xì)細(xì)的線段，誤差就會小得多。我們看電腦演示一下。（邊放邊問：接上了嗎？——接上了嗎？——現(xiàn)在接上了嗎？）

生：接上了，可是現(xiàn)在和最長邊重合了，所以還是圍不成三角形。

學(xué)生在動態(tài)操作中自然地將從直觀層面把握三角形轉(zhuǎn)向從三邊長短關(guān)系層面把握三角形，特別是“兩邊之和與第三邊相等能否圍成三角形”這個(gè)問題出現(xiàn)爭議時(shí)，教師放慢圍三角形的過程，讓學(xué)生看明白：3根吸管如果不能做到端點(diǎn)相連或所有端點(diǎn)都在同一條直線上，則圍不成。這一動態(tài)操作不僅幫助學(xué)生達(dá)成了統(tǒng)一意見，還進(jìn)一步提出猜想：兩條短邊之和比第三邊長，能圍成三角形。在熱烈的探究中，學(xué)生不斷修正、完善認(rèn)知，思維循序漸進(jìn)，步步走向深入，最后架構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的邏輯推理能力也自然而然地獲得了提升。

（三）推演——再于行，深度思，在動態(tài)操作中驗(yàn)證并形成三角形三邊關(guān)系概念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要使學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)知識，還要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。采取數(shù)形結(jié)合，通過改變動態(tài)操作，組織學(xué)生以畫一畫、量一量、算一算、比一比的方式，在大量的多樣化的具象三角形的支撐下，可以進(jìn)一步驗(yàn)證前面得出的結(jié)論。

1.數(shù)形結(jié)合，豐富表象

一個(gè)“以四人小組為單位，組內(nèi)同學(xué)畫的三角形盡量不一樣”的要求，豐富了感知的材料，彌補(bǔ)了前面擺三角形時(shí)種類單一的缺陷;在方格紙上畫三角形，為學(xué)生能快速準(zhǔn)確地畫出不同種類的三角形提供了便利，操作方式設(shè)計(jì)巧妙。

2.驗(yàn)證推理，提升邏輯

交流環(huán)節(jié)，通過設(shè)問“看看我們圍的、畫的三角形，除了兩條短邊之和大于第三邊外，是否還存在著其他兩邊之和大于第三邊的情況？”，引導(dǎo)學(xué)生再次探究，不僅讓學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識逐步從猜想到驗(yàn)證、從認(rèn)識不全面到深刻、從結(jié)論特殊性到一般性，強(qiáng)化了理性認(rèn)識，同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)到了研究問題的一般方法和途徑，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S態(tài)度。在這樣的思路下，教師設(shè)計(jì)了如下操作活動：

師：從剛才的探究中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)較短兩邊之和大于第三邊時(shí)能圍成三角形。那是不是任何三角形的三條邊都具有這樣的關(guān)系呢？請同學(xué)們在方格紙上任意畫一個(gè)三角形，量一量、算一算，驗(yàn)證一下。

通過實(shí)踐和討論，學(xué)生們一一驗(yàn)證。

師：（小結(jié)）雖然大家畫的三角形大小、形狀不同，但是三角形的三邊關(guān)系是一樣的。

這一驗(yàn)證過程讓學(xué)生逐漸從一個(gè)個(gè)的具象中抽離出來，展開深入的數(shù)學(xué)思考，達(dá)成對三角形三邊關(guān)系內(nèi)涵的再次深度概括。

（四）擴(kuò)散——深度思，再拓展，動態(tài)操作浸潤學(xué)生高階思維

杜威認(rèn)為：經(jīng)驗(yàn)具有思維性，經(jīng)驗(yàn)的過程就是思維的過程，而思維的開始階段就是經(jīng)驗(yàn)。調(diào)動學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，對動態(tài)思維的成長和提升有著前瞻性意義。讓相互聯(lián)系的靜態(tài)內(nèi)容動起來、聯(lián)結(jié)起來，并通過想象架構(gòu)起完整的動態(tài)變化過程，引導(dǎo)學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上顯性自己的數(shù)學(xué)思考。這就是本環(huán)節(jié)需要重點(diǎn)關(guān)注與實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。

1.驗(yàn)證學(xué)習(xí)想象，動態(tài)建構(gòu)三角形三邊關(guān)系

通過課件的動態(tài)演示，帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面探究中發(fā)現(xiàn)的“如果三條線段圍不成三角形，可以采用換一換的方法（讓短邊變長或讓長邊變短），變成能圍成三角形”，把前面已經(jīng)積累的大量有聯(lián)系的靜態(tài)三角形圖像串聯(lián)起來，同時(shí)通過設(shè)問“用10厘米、5厘米的這兩條線段組成一個(gè)角，想象一下，當(dāng)添上符合要求的第三邊后，三角形是什么形狀？繼續(xù)想象，當(dāng)前面的這個(gè)角變大或變小的時(shí)候，第三邊的長度以及三角形形狀、大小會隨著發(fā)生怎樣的變化？”，引發(fā)學(xué)生動態(tài)想象，讓靜態(tài)圖像動起來。

2.動態(tài)操作浸潤，活躍動態(tài)思維

以變化的角為支撐，用一把尺子代替變化著的第三邊，進(jìn)一步促使學(xué)生手腦并用，啟迪動態(tài)想象與動態(tài)思維，把操作活動與數(shù)學(xué)思考有機(jī)地結(jié)合起來，使操作活動更具數(shù)學(xué)味。透過操作的過程和活動現(xiàn)象，學(xué)生不僅建構(gòu)起了三角形的三邊關(guān)系概念，實(shí)現(xiàn)從低階思維走向高階學(xué)習(xí)的目標(biāo)，而且還學(xué)到了有效的學(xué)習(xí)方法。在這樣的思路下，形成了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）形成新的猜想

問題一：以10cm，5cm，4cm這組為例，假如10cm，5cm這兩條不變，把4cm的這條邊換長，有哪些可能性？

問題二：怎樣驗(yàn)證我們的猜想呢？

（2）驗(yàn)證自身猜想

借助直尺其中一段代替需要的第三條線段（有刻度這邊），擺一擺，驗(yàn)證自己的猜想。這里列舉學(xué)生擺出來的其中兩種情況（見圖5、圖6）。

（3）拓展思維深度

想一想，如果兩條短邊不變，換10厘米的這條長邊的話，可以有哪些可能性呢？猜想并驗(yàn)證。已知兩條線段，要找一條線段與這兩條線段圍成三角形，這條邊的長度應(yīng)該在怎樣的一個(gè)范圍內(nèi)？在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，三角形的形狀是怎樣隨著第三邊的長度變化而變化的？

學(xué)生在用尺代替第三邊來驗(yàn)證想象的動態(tài)操作過程中，觀察到三角形三條邊之間關(guān)系的不斷變化，“兩邊之和>第三邊>兩邊之差”的感悟也就水到渠成了。在動態(tài)操作中建構(gòu)起三角形的三邊關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從低階思維走向高階學(xué)習(xí)。

四、結(jié)論

在平行班教學(xué)后，同樣對“一個(gè)三角形的三條邊的長度都是整厘米數(shù)，其中兩條邊分別是3厘米和4厘米，那么第三條邊可能是多少厘米？”進(jìn)行檢測，74%的學(xué)生不僅得出了正確答案，而且還能利用手中的學(xué)具，有理有據(jù)地說出第三邊的變化區(qū)間，班級中近15%的學(xué)生說理過程雖然遇到了一些困難，但也能利用前面得出的規(guī)律找到正確值，教學(xué)取得了預(yù)期效果。

可見，動態(tài)操作教學(xué)可以把知識動態(tài)聯(lián)結(jié)活動、動態(tài)操作活動、動態(tài)想象活動與靜態(tài)思維總結(jié)活動有機(jī)地結(jié)合起來，能引領(lǐng)學(xué)生直觀而又有深度地發(fā)現(xiàn)概念的內(nèi)涵，完成知識的自主建構(gòu)，達(dá)到思維水平從低階走向高階的目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生能力從單一到多元、知識從個(gè)體到系統(tǒng)、學(xué)習(xí)過程從枯燥到有趣、學(xué)習(xí)方式從描述到直觀、認(rèn)識過程從跳躍到演繹的轉(zhuǎn)變。