陳麗萍

[摘 ? 要]GeoGebra軟件具有強大的幾何和代數(shù)功能。以高中數(shù)學(xué)“為什么截口曲線是橢圓”問題鏈驅(qū)動式的教學(xué)設(shè)計為例，將GeoGebra的運用與教材深度融合，對于有效增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理學(xué)科核心素養(yǎng)、深化數(shù)學(xué)審美價值的認識具有積極的意義。

[關(guān)鍵詞]GeoGebra;高中;直觀想象;邏輯推理;審美價值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》明確提出，數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)是形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]。數(shù)學(xué)教學(xué)活動是達成這一目標的重要載體[2]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，融合信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境和教學(xué)活動，可以使學(xué)生經(jīng)歷鮮活的學(xué)習(xí)過程，更加直觀地感悟數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的過程和數(shù)學(xué)的本質(zhì)，自主探究和解決相關(guān)問題。GeoGebra（以下簡稱GGB）是一款動態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件，由“Geo”加“Gebra”組成，從字面上看，具有幾何與代數(shù)兩大功能，實際上，它是一個多功能的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3]。GGB與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，將對教師的教和學(xué)生的學(xué)產(chǎn)生強大的輔助功能。以下將結(jié)合“為什么截口曲線是橢圓”課例，討論如何將GGB深度融合于教學(xué)設(shè)計，旨在探索和拓寬在課堂上進一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

一、教材與學(xué)情分析

“為什么截口曲線是橢圓”是人教A版數(shù)學(xué)教材（選修2-1）“橢圓及其標準方程”之后的一個專題，設(shè)置在“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目，是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的延伸與拓展。由于不是必考內(nèi)容，所以教師往往不太重視這一欄目的教學(xué)。實際上，將信息技術(shù)深度融合于“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目，可以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的價值。

從知識水平上看，學(xué)生通過對橢圓的定義和標準方程的學(xué)習(xí)，對橢圓的性質(zhì)有了一定的了解和掌握;通過對立體幾何的學(xué)習(xí)，認識和理解了基本圖形的位置關(guān)系及性質(zhì)。從思想方法上看，學(xué)生已經(jīng)歷了用坐標法解決一些與橢圓有關(guān)的簡單幾何問題的完整過程，再次感悟了“數(shù)形結(jié)合”的基本思想。從探究能力上看，學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力在逐步提高。

二、教學(xué)目標與教學(xué)重難點

這一專題的教學(xué)目標如下：一是結(jié)合GGB動態(tài)圖形，運用數(shù)學(xué)家丹德林（G·P·Dandelin）的方法，理解截口曲線是橢圓的證明過程;二是結(jié)合橢圓及其標準方程，了解橢圓與其方程的對應(yīng)關(guān)系，進一步體會“數(shù)形結(jié)合”的基本思想;三是增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)，深化對數(shù)學(xué)審美價值的認識。其中，教學(xué)的重難點是：結(jié)合GGB動態(tài)圖形，運用數(shù)學(xué)家丹德林的方法，利用定義證明截口曲線是橢圓。

三、教學(xué)過程

用一個平面去截圓錐，當(dāng)截面與圓錐軸線夾角不同時，可以得到不同的截口曲線。教師依次提出問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考。

【問題1】請觀察下圖中平面截圓錐得到的截口曲線，你能猜想出截口曲線的類型嗎？（見圖1）

教師操作：在GGB文件中先后勾選復(fù)選框“圓錐”和“平面”，出現(xiàn)平面截圓錐的圖形。然后勾選復(fù)選框“截口曲線”，則平面截圓錐后得到的截口曲線可呈現(xiàn)。平面e視圖（見圖4）中的圖形也同時出現(xiàn)。學(xué)生通過GGB直觀感知圖形，猜想截口曲線的類型。

問題1的設(shè)計意圖是：通過GGB圖形幫助學(xué)生將文字語言問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形語言問題，以增強學(xué)生探究截口曲線的興趣，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

【問題2】能否先通過GGB動態(tài)圖形驗證截口曲線上的任意一點都滿足橢圓的定義呢？（見圖2）

教師介紹及操作：在歷史的長河中，很多人對截口曲線的類型問題從純幾何角度進行了深入研究。其中，數(shù)學(xué)家丹德林采用一個非常巧妙的方法證明了截口曲線是橢圓。教師在GGB文件中勾選復(fù)選框“球O1”和“球O2”，將兩個大小不同的球先后嵌入圓錐內(nèi)截面的兩側(cè)，上、下球分別為O1和O2，并且使它們與截面和圓錐的側(cè)面均相切，其中與截面的切點分別為F1和F2。 然后勾選復(fù)選框“M”，在截口曲線上任取一點M，平面e視圖（見圖4）中的點M也同時出現(xiàn)。 接著勾選復(fù)選框“MF1”和“MF2”，連接MF1和MF2，平面e視圖中也做了相應(yīng)連接。教師拖動點M，使其在截口曲線上運動，通過觀察繪圖區(qū)2中的數(shù)據(jù)變化，發(fā)現(xiàn)此時截口曲線上的任意一點M都有|MF1|+ |MF2|=1.86，且有|F1F2|=0.72，|MF1|+|MF2| >|F1F2|，即截口曲線上的任意一點都滿足橢圓的定義，這說明“截口曲線是橢圓”的猜想是合理的。 教師還可以改變參數(shù)的滑動條，在截口曲線仍是橢圓的情形下，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形和數(shù)據(jù)的特點。如果時間允許，也可請學(xué)生上臺親自操作GGB進行演示。學(xué)生們觀察圖形和數(shù)據(jù)，完成驗證問題。

問題2的設(shè)計意圖是：通過數(shù)形結(jié)合肯定猜想的合理性，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，為進一步的嚴謹證明做好鋪墊。

【問題3】為什么截口曲線是橢圓呢？你能根據(jù)橢圓的定義和相關(guān)幾何知識證明嗎？（見圖3）

教師操作及說明：接下來我們通過定義證明截口曲線是橢圓。勾選復(fù)選框“AB”，即過點M做圓錐的母線，分別與兩個球相切于點A、B。這樣可容易知道，直線MF1和MA都是球O1的切線，根據(jù)“同點發(fā)出的球的切線段長度相等”，因此有|MF1|=|MA|。同理，對球O2，有|MF2|=|MB|。于是|MF1|+|MF2|=|MA|+|MB|=|AB|。依據(jù)在整個作圖過程中切點A、B的產(chǎn)生方法，可以得到兩切點之間的距離|AB|是一個定值的結(jié)論。這樣，截口曲線上的任意一點M到兩個定點F1和F2的距離之和為常數(shù)。由橢圓的定義可以知道，此時平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷以上證明過程。

問題3的設(shè)計意圖是：借助GGB圖形，使學(xué)生從理論層面認識截口曲線是橢圓，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

【問題4】你能根據(jù)繪圖區(qū)2中的數(shù)據(jù)，求出在這種情形下平面e視圖中橢圓的標準方程嗎？（見圖4）

教師引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，使焦點F1、F2落在x軸上。共同觀察并分析繪圖區(qū)2中的相關(guān)數(shù)據(jù)可知，|MF1| +|MF2| =2a=1.86，|F1F2|=2c=0.72。最后根據(jù)橢圓的定義求出此時平面e視圖中橢圓的標準方程。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下求出焦點在x軸上的橢圓的標準方程。

問題4的設(shè)計意圖是：充分利用GGB提供的“附加視圖”功能，多元關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生重溫橢圓的定義和標準方程，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

【問題5】將圓錐換成圓柱，用平面斜截圓柱，得到一條截口曲線。你能類比這種極具創(chuàng)造性的方法，經(jīng)過猜想和驗證，最終證明截口曲線也是橢圓嗎？你能根據(jù)繪圖區(qū)中的相關(guān)數(shù)據(jù)，求出平面p視圖中橢圓的標準方程嗎？（見圖5）

教師讓學(xué)生先自行畫圖，然后演示GGB動態(tài)圖，再引導(dǎo)學(xué)生完成證明，求出標準方程。學(xué)生通過小組討論完成證明，求出標準方程，匯報展示成果。

問題5的設(shè)計意圖是：引導(dǎo)學(xué)生自主探究和解決平面斜截圓柱生成截口曲線是橢圓的問題，從而提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

四、教學(xué)反思與感悟

1. GGB可以增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

在必修階段學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ)上，學(xué)生將在人教版A版（選修2-1）第二章中學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程，用坐標法探究的第一類圓錐曲線即是橢圓。通過橢圓及其標準方程的學(xué)習(xí)，有些學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒，對于課后探究與發(fā)現(xiàn)“為什么截口曲線是橢圓”更沒有什么興趣。本課例摒棄了傳統(tǒng)的靜態(tài)教學(xué)，設(shè)計了層層遞進、邏輯連貫的五個問題，并將GGB的動態(tài)演示巧妙融入每一個問題，使學(xué)生經(jīng)歷了豐富多彩的數(shù)學(xué)活動，產(chǎn)生了情感和視覺的充分體驗。這樣，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地思考“為什么截口曲線是橢圓”，還可以增強學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣。

2.GGB有助于提升直觀想象素養(yǎng)

充分利用GGB強大的動態(tài)幾何功能，借助圖形描述問題，使平面斜截圓錐和圓柱生成截口曲線為橢圓這一問題變得直觀可視。學(xué)生看到橢圓的動態(tài)生成，發(fā)展了幾何直觀和空間想象能力。教師引導(dǎo)學(xué)生緊跟數(shù)學(xué)家丹德林的腳步，利用對圖形的理解，在變化中證明了不變的本質(zhì)，完美解決截口曲線是橢圓的問題，增強了學(xué)生運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識。另外，繪圖區(qū)和視圖區(qū)多元關(guān)聯(lián)，通過讓學(xué)生用代數(shù)語言描述截口曲線的特征，即建立特定位置時平面視圖區(qū)橢圓的標準方程，由此感悟數(shù)形相融動態(tài)變化中的聯(lián)系和本質(zhì)，從而提升了直觀想象學(xué)科核心素養(yǎng)。

3.GGB有助于提升邏輯推理素養(yǎng)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何中點、直線、平面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，橢圓的定義和標準方程，證明“截口曲線是橢圓”是一個嚴謹理性的邏輯推理過程。通過在GGB動態(tài)課件中設(shè)置復(fù)選框，使3D圖形動態(tài)演示與猜想、驗證和證明過程相匹配，可以引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索和表述合乎邏輯的論證過程。如在平面斜截圓柱得到截口曲線是橢圓的問題中，結(jié)合GGB動態(tài)圖形，引導(dǎo)學(xué)生采用類比推理的方法參與探究活動。GGB輔助學(xué)生有邏輯地思考問題，在復(fù)雜空間圖形中把握橢圓的本質(zhì)，進行嚴密的邏輯推理，助力學(xué)生進一步提升邏輯推理學(xué)科核心素養(yǎng)。

4.GGB可以深化對審美價值的認識

普洛克拉斯（Proclus）曾說過，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美！GGB的融入有助于培養(yǎng)學(xué)生的審美能力。 在這一課例中，GGB呈現(xiàn)了三維立體平面截圓錐和圓柱的圖形，可以通過拖動滑條、勾選復(fù)選框、360°旋轉(zhuǎn)圖形，使圓錐和圓柱、平面和丹德林球動起來，成為一個動態(tài)圖形，便于學(xué)生從中體驗動靜之美。在圖形色彩方面，圓錐、平面和丹德林球各具鮮明的不同顏色，呈現(xiàn)出色彩之美。此外，橢圓標準方程的結(jié)構(gòu)形式也非常簡潔漂亮。雖然本課主要是探究和證明截口曲線是橢圓，但是基于GGB強大的幾何和代數(shù)功能，在教學(xué)設(shè)計中追加了一個求橢圓標準方程的問題，讓學(xué)生進一步使用坐標法，將“數(shù)”與“形”完美地結(jié)合起來，使學(xué)生感受到了橢圓標準方程結(jié)構(gòu)形式的美。事實上，GGB帶來的美，不僅能夠提升學(xué)生的審美情趣和審美能力，還使學(xué)生在形象思維的基礎(chǔ)上增強理性思維能力。

五、結(jié)語

與教材的章節(jié)引言一樣，“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目也是經(jīng)過教材編寫者精心設(shè)計的。編者挑選了一些有益的拓展性材料置于章節(jié)之后，發(fā)揮著承前啟后的重要作用，它們既是對教材資源在內(nèi)容上的補充和拓展，也是對學(xué)生能力層面上的更高要求，為廣大教師的教學(xué)實踐活動提供了較強的靈活性和廣闊的探究空間?；贕GB強大的幾何和代數(shù)功能，將其同“探究與發(fā)現(xiàn)”深度融合，在教學(xué)活動的開展與推進過程中，適時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)和探究，可以幫助學(xué)生更好地認識和理解數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)課堂的教與學(xué)注入新的活力。實踐證明，該教學(xué)軟件對于有效增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理學(xué)科核心素養(yǎng)、深化學(xué)生對數(shù)學(xué)審美價值的認識具有積極意義。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]郭衍，曹一鳴.動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra使用指南[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（1）：129-131.

（責(zé)任編輯 郭向和 ? 校對 姚力寧）