戴正宇
解決物理問題時,常常需要用到變換參考系以簡化問題。但是,在選擇轉(zhuǎn)動參考系時常常容易出錯。 本文則從轉(zhuǎn)動系的坐標(biāo)變換出發(fā),推導(dǎo)出各個量在轉(zhuǎn)動參考系中的變換式,厘清整個思路,并指出其中容易出現(xiàn)問題的地方。
1 轉(zhuǎn)動系中的坐標(biāo)變換以及導(dǎo)數(shù)變換
首先,簡單起見,考慮二維轉(zhuǎn)動系,角速度垂直于該平面,并假設(shè)兩個參考系原點(diǎn)重合,且在t=0時刻兩坐標(biāo)軸重合。某一時刻兩坐標(biāo)系的位形如下圖。
根據(jù)幾何關(guān)系可以導(dǎo)出,同一矢量在兩個系中的坐標(biāo)滿足如下坐標(biāo)變換:
由此,我們得到了矢量導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換式。是轉(zhuǎn)動效果的體現(xiàn)。習(xí)慣上取t=0(亦即在觀測時矢量在兩個系中有相同的分量),則。(2)式就變?yōu)楹芏嘟滩纳现v述的“絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系”。
2 轉(zhuǎn)動系中的線速度,線加速度的變換
在上一節(jié)我們已經(jīng)得到矢量導(dǎo)數(shù)在兩個坐標(biāo)系之間的變換。這個矢量若是位矢,則導(dǎo)數(shù)變換式就是線速度變換式。
以上推導(dǎo)出了轉(zhuǎn)動系之間速度,加速度的變換式。
應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是:ω是原系相對于新系的角速度,而不是新系相對原系的角速度。這一點(diǎn)可以從第一節(jié)導(dǎo)數(shù)變換的推導(dǎo)中看出來。同時,v是相對于原系的速度,而不是相對新系的速度。這兩點(diǎn)是在使用上面的公式時最容易出現(xiàn)的錯誤。
運(yùn)動學(xué)中物體之間的加速運(yùn)動具有對稱性,但是在動力學(xué)中,由于慣性的存在,物體間的加速運(yùn)動不再對稱。不論是從S系換到S系還是從S系換到S系,一項(xiàng)總是向心的,若反向換系,牽連加速度卻不完全反向,會不會導(dǎo)致不自洽?答案是否定的。我們來考察兩次連續(xù)換系:從S系換到S系,再從S系換回到S系。
全部帶入可得,這也是必然的。科里奧利加速度那一項(xiàng)中v與v‘的差異修正了一項(xiàng)一直向心帶來的問題。最終沒有出現(xiàn)不自洽。
現(xiàn)在把我們的問題做推廣:1從二維到三維 2從原點(diǎn)不動到原點(diǎn)運(yùn)動
我們已經(jīng)把加速度變換式寫成了矢量式,可以證明,三維情況下該矢量式仍然成立。其基本思想和以上所述是一樣的,只是要用到更難的矩陣知識,此處便不再贅述。對于原點(diǎn)運(yùn)動的轉(zhuǎn)動系,我們可以換兩次系:第一次是跟隨原點(diǎn)運(yùn)動的平動參考系,第二次是繞運(yùn)動原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動系。相應(yīng)的變換公式可以寫成:
3 轉(zhuǎn)動系中的角速度,角加速度的變換
幾乎所有教材對于轉(zhuǎn)動系的討論到以上的(3)(4)(5)(6)式,便沒有繼續(xù)了,并未給出角速度,角加速度的變換。下面我們給出轉(zhuǎn)動系中的角速度,角加速度的變換式。
角位移與線位移不同,它不是矢量,只有無限小角位移是矢量。因此,在推導(dǎo)角速度變換式的時候不可以套用(2)式。
以上便是角速度,角加速度變換式。弨彈弩式中的最后一項(xiàng)在二維情況下等于0(原因是Ω//ω)很多人并沒有通過嚴(yán)格的推導(dǎo)得出角速度、角加速度的變換式,默認(rèn)有和。這在二維情況下時正確的,但是在三維運(yùn)動下,并不為0。這也是一個非常容易出錯的地方,要引起重視。這里的ω時相對于原系的角速度,這和之前加速度變換式十分類似。
順便一提,旋轉(zhuǎn)系的原點(diǎn)的加速運(yùn)動不會影響角速度,角加速度的變換式。
4 總結(jié)
我們首先采用一個新思路:從矩陣表述的坐標(biāo)變換出發(fā),導(dǎo)出了旋轉(zhuǎn)系中矢量導(dǎo)數(shù)的變換,進(jìn)而推出了線速度,線加速度的變換以及角速度,角加速度的變換;并以運(yùn)動學(xué)的對稱性為基礎(chǔ),驗(yàn)證了轉(zhuǎn)動系變換理論的自洽性。
以上的討論僅限于理論推導(dǎo),應(yīng)用于實(shí)際問題時把變換式當(dāng)作結(jié)論即可,要想清楚每一個物理量的意義,切勿混為一談。
參考文獻(xiàn):
[1] 舒幼生.力學(xué)(物理類)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.
[2] 鄭永令,賈起民.力學(xué)[M].3版.北京:高等教育出版社,2018.
[4] 梁昆淼.力學(xué).下冊,理論力學(xué).4版.[M]北京:高等教育出版社,2009.
[5] Jerry B. Marion:Classical Dynamics of Particles and Systems[M].Academic Press,1970.
[6] 程稼夫.中學(xué)物理奧林匹克競賽物理教程-力學(xué)篇[M].2版.合肥:中國科技大學(xué)出版社,2013.