周 敏,張方印

(湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北恩施 445000)

§1 引言

為了更加有效地挖掘隱藏在不確定數(shù)據(jù)中的有用信息,數(shù)學(xué),計(jì)算機(jī)科學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的研究人員建立了許多理論,如模糊集理論[1],粗糙集理論[2-4],軟集理論[5-6]等.就其本質(zhì)而言,模糊集理論強(qiáng)調(diào)隸屬度,粗糙集理論強(qiáng)調(diào)粒度化,軟集理論強(qiáng)調(diào)參數(shù)化.現(xiàn)實(shí)問題的解決往往非常復(fù)雜,因此,將這些理論結(jié)合起來是一條解決實(shí)際問題的有效途徑.2007年,Aktas[7]等證實(shí)模糊集和粗糙集都可以看作軟集,這不僅建立了這些理論之間的聯(lián)系,也為將它們有效融合奠定了理論基礎(chǔ).事實(shí)上,為了更加高效地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)理論和方法解決實(shí)際問題,近年來,綜合運(yùn)用模糊集理論,粗糙集理論和軟集理論建立混合模型來研究現(xiàn)實(shí)問題已成為一種趨勢(shì),與此相關(guān)的研究成果頗多.1990年,Dubois和Prade首先將模糊集和粗糙集結(jié)合,建立了模糊粗糙集和粗糙模糊集的概念[8].隨后,Maji等在文[9]中將模糊集與軟集結(jié)合引入了模糊軟集的概念.在此基礎(chǔ)上,馮鋒等在文[10-12]中構(gòu)建了一個(gè)將軟集,模糊集和粗糙集高度結(jié)合的框架,引入了許多新的概念,如粗糙軟集,軟粗糙集和軟粗糙模糊集.2011年,孟丹等發(fā)現(xiàn)馮鋒提出的軟粗糙模糊集與軟粗糙集的聯(lián)系不是很緊密,為了更好地研究軟粗糙模糊集與軟粗糙集之間的內(nèi)在聯(lián)系,他們又在文[13]中定義了一種新的軟粗糙模糊集.受上述思想的啟發(fā),Sun和Ma在文[14]中將模糊軟集和傳統(tǒng)的模糊粗糙集結(jié)合,提出了軟模糊粗糙集的概念.Ali等在文[15]中建立了軟集,模糊軟集和粗糙軟集的之間的聯(lián)系.Shabir在文[16]中定義了一種新的軟粗糙集.Gong和Zhang基于模糊邊界蘊(yùn)含算子(I,J),建立了(I,J)-模糊軟粗糙集模型,給出了上下近似的定義,并討論了相關(guān)性質(zhì)[17].從某種意義上來說,這些研究既整合了程度化,粒度化和參數(shù)化等重要思想,又指明了一個(gè)新的研究方向.盡管如此,還有一些基本問題仍然值得進(jìn)一步研究.例如,文獻(xiàn)[10]引入軟粗糙模糊集從而建立了模糊集,粗糙集和軟集的混合模型.但是,這些模型只對(duì)滿軟集有效,而在現(xiàn)實(shí)生活中,非滿軟集普遍存在,因此這一條件在實(shí)際應(yīng)用中受到很大的局限(見例2.6).為了克服上述缺陷,本文通過引入一種新的軟近似空間–MS-近似空間,建立了M-軟粗糙模糊集的概念,并對(duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行了深入討論.

模糊拓?fù)涫怯蒀hang[18]提出的,是普通拓?fù)涞耐茝V,它不僅為模糊分類的發(fā)展提供了一種基本工具,而且為解決許多地理信息系統(tǒng)問題提供了一種重要工具.近幾十年以來,學(xué)術(shù)界對(duì)模糊拓?fù)涞难芯糠浅；钴S,并取得了許多重要的成果.同時(shí),近年來,從拓?fù)鋵W(xué)角度對(duì)粗糙集和軟集的研究也受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,例如有關(guān)模糊粗糙集和模糊拓?fù)淇臻g聯(lián)系的研究[19].基于此,在提出了M-軟粗糙模糊集的概念后,本文進(jìn)一步建立了M-軟粗糙模糊集與模糊拓?fù)渲g的關(guān)系.最后,發(fā)現(xiàn)M-軟粗糙可定義集生成了兩個(gè)模糊拓?fù)淇臻g,為模糊分類和空間信息管理提供了一種新的有效工具.

近年來,隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,在不精確的環(huán)境中討論決策問題已然成為一個(gè)熱點(diǎn)(見文獻(xiàn)[11,20,21,22,23]).TOPSIS(逼近于理想值的排序方法)是Hwang和Yoon[24]于1981年提出的一種適用于多個(gè)屬性,能夠?qū)Χ鄠€(gè)方案進(jìn)行比較從而選擇最優(yōu)解的分析方法.后來,Qu[25]等應(yīng)用粗糙集和信息增益的方法對(duì)初始指標(biāo)體系進(jìn)行約簡(jiǎn),并利用TOPSIS方法對(duì)評(píng)價(jià)信息進(jìn)行處理,有效地避免了信息失真和丟失,使評(píng)價(jià)結(jié)果更加精確.2006年,周珍,吳祈宗,彭艷麗[26]提出了一種基于VAGUE集多準(zhǔn)則決策的模糊TOPSIS方法.隨后,朱衛(wèi)東等將相關(guān)系數(shù)矩陣與歐氏距離相結(jié)合,提出了一種新的TOPSIS決策方法[27].2017年,Yang和Peng[28]將模糊軟集理論和TOPSIS方法相結(jié)合開展了富有現(xiàn)實(shí)意義的研究.最近,Suo等[29]將一種新的熵與TOPSIS方法相結(jié)合應(yīng)用于猶豫模糊軟集,得到了一種較好的決策方法.但截至目前,將TOPSIS方法與軟粗糙模糊集相結(jié)合用于決策的研究并不多,鑒于此,為了充分發(fā)揮軟集理論,粗糙集理論和模糊集理論在解決決策問題上的優(yōu)勢(shì),本文在提出了一種新的信息表達(dá)方式—M-軟粗糙模糊集之后,又建立了基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS法的決策步驟和算法.最后,將其應(yīng)用于購(gòu)房問題中,發(fā)現(xiàn)該方法靈活有效.相關(guān)研究還能為醫(yī)療診斷,天氣預(yù)測(cè),人才選拔等提供一種新的方法.

§2 M-軟粗糙模糊集

設(shè)U是初始論域,E是與U中的對(duì)象有關(guān)的所有參數(shù)的集合,稱為參數(shù)空間.一般情況下,參數(shù)涉及對(duì)象的屬性,特征或性質(zhì)等.二元組(U,E)通常被稱為軟論域.論域中的所有子集構(gòu)成的類稱為U的冪集,記作P(U).

定義2.1[6]設(shè)A是參數(shù)集E的一個(gè)子集,F:A →P(U)是一個(gè)集值映射,二元組G=(F,A)是論域U上的一個(gè)軟集,稱F為軟集G的近似函數(shù).

定義2.2[1]設(shè)U是一個(gè)初始論域,隸屬函數(shù)μ:U →[0,1]稱為U上的一個(gè)模糊集.對(duì)U中的任意一個(gè)元素x,隸屬值μ(x)表示x屬于模糊集μ的程度.U上所有的模糊集記為F(U).特別地,設(shè)f ∈F(U),對(duì)U中的任意元x,如果f(x)≡1,則f記為f1;如果f(x)≡0,則記f為f0.

本文用到的模糊集的交,并和補(bǔ)運(yùn)算具體定義如下:?μ,ν ∈F(U),?x ∈U,

另外,如果μ(x)≤ν(x),則記為μ?ν,如果μ?ν且ν ?μ,即μ(x)=ν(x),則記為μ=ν.

定義2.3[12]設(shè)U是一個(gè)初始論域,G=(F,A)是U上的一個(gè)軟集.如果,則稱軟集G=(F,A)為U上的一個(gè)滿軟集.

注2.5上面的定義在現(xiàn)實(shí)問題的研究中有十分廣泛的應(yīng)用,但是,定義中“滿軟集”的條件比較苛刻,它在一定程度上限制了軟粗糙模糊集的應(yīng)用,例如下面一個(gè)例子.

例2.6假設(shè)有6套不同類型的房子供參考,即論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},參數(shù)集A={e1,e2,e3,e4},其中,ei(i=1,2,3,4)分別表示“漂亮”,“便宜”,“房間設(shè)計(jì)好”,“樓層好”.現(xiàn)在X先生打算買房,用軟集S=(F,A)表示對(duì)他有吸引力的房子.設(shè)軟近似空間為P=(U,S).軟集(F,A)還可以表示如下:

表2.1 軟集(F,A)的圖表表示

根據(jù)個(gè)人喜好,X先生的妻子也給出了她對(duì)這6套房子的建議,用下面一個(gè)模糊集來表示:

下面定義一種新的軟粗糙模糊集,使其對(duì)非滿軟集也成立.

定義2.8設(shè)U是一個(gè)初始論域,(F,A)是U上的一個(gè)軟集,定義從U到P(A)的集值映射

例2.9(續(xù)例2.6) 設(shè)論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},參數(shù)集A={e1,e2,e3,e4},考慮例2.6中的軟集(F,A),則(U,?)是一個(gè)MS-近似空間,其中映射?:U →P(A)的定義如下:

給定模糊集

根據(jù)定義2.8,可得

注2.10在例2.9中,?(u1)={e1,e4}表示房子u1具有兩個(gè)屬性,即漂亮和樓層好.類似地,可以描述論域U中其他房子的屬性.因此,定義MS-近似空間既有實(shí)際背景,又提供了一種新的描述初始論域中元素的本質(zhì)特征的新方法.另外,在例2.9中,.因此,可進(jìn)一步定義模糊集μ的M-下軟粗糙近似和M-上軟粗糙近似.

定理2.11設(shè)U是一個(gè)初始論域,(F,A)是U上的一個(gè)軟集,(U,?)是一個(gè)MS-近似空間,則對(duì)U上的任意的模糊集μ,ν,有以下結(jié)論成立.

證(1) 由定義2.8知,結(jié)論顯然成立.

(2) 由定義2.8和定義2.2知,結(jié)論成立.

(3) 證明類似于(2).

(5) 證明類似于(4).

(6) 設(shè)μ,ν是U上的任意兩個(gè)模糊集,x是U中的任意一個(gè)元,且

(7) 設(shè)μ,ν是U上的任意兩個(gè)模糊集,x是U中的任意一個(gè)元,且

(8) 證明類似于(7).

(9) 證明類似于(8).

(10) 設(shè)μ,ν是U上的任意兩個(gè)模糊集且滿足μ?ν,x是U中的任意一個(gè)元,

(11) 證明類似于(10).

例2.12設(shè)論域U={u1,u2,u3,u4,u5},參數(shù)集A={e1,e2,e3,e4},(F,A)是U上的一個(gè)軟集,其圖表表示如下.

由表2.2易知

表2.2 軟集(F,A)的圖表表示

MS-近似空間(U,?)的映射?:U →P(A)為

另一方面,由定義2.2易知

注2.13從上面的例子不難看出,定理2.11中的包含是真包含.

注2.14馮峰等在文[10]研究了軟粗糙模糊集的上述性質(zhì),但是有一個(gè)較強(qiáng)的條件:軟集(F,A)必須是滿的.本文在定理2.11中,去掉了這個(gè)比較強(qiáng)的條件.另外,由定理2.11不難發(fā)現(xiàn),M-軟粗糙模糊集幾乎具有由Pawlak提出的粗糙集的所有基本性質(zhì).然而,對(duì)M-軟粗糙模糊集來說,也有一些遺憾,如在一般情況下,對(duì)U上的任意一個(gè)模糊集μ,.這里,(F,A)是U上的一個(gè)軟集,(U,?)是(F,A)上的一個(gè)MS-近似空間.

§3 M-軟可定義集上的模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

定理3.1設(shè)U是一個(gè)初始論域,(F,A)是U上的一個(gè)軟集,(U,?)是一個(gè)MS-近似空間,定義一個(gè)集族I如下:

則I是U上的一個(gè)模糊拓?fù)?且模糊拓?fù)淇臻g(U,I)中的每個(gè)開集都是閉集.

定理3.2設(shè)U是一個(gè)初始論域,(F,A)是U上的一個(gè)軟集,(U,?)是一個(gè)MS-近似空間,定義一個(gè)集族

則I′是U上的一個(gè)模糊拓?fù)?且模糊拓?fù)淇臻g(U,I′)中的每個(gè)開集都是閉集.

證類似于定理3.1.

§4 M-軟粗糙模糊集在決策中的應(yīng)用

隨著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展,決策過程中的不確定性因素越來越多,現(xiàn)有的許多數(shù)學(xué)模型已無法滿足人們實(shí)際決策的需要.因此,許多學(xué)者開始融合多種數(shù)學(xué)模型來研究決策理論和方法.本文結(jié)合模糊集,粗糙集和軟集理論提出一種新的信息表達(dá)方式—M-軟粗糙模糊集,并把它與決策分析相結(jié)合.

4.1 基于M-軟粗糙模糊集的一般決策方法

最近,Suo等[29]將相似熵度量與猶豫模糊軟集相結(jié)合,得到了幾種較好的決策方法.受此啟發(fā),為了探究軟粗糙模糊集在決策中的應(yīng)用,本節(jié)提出一個(gè)基于M-軟粗糙模糊集模型的一般決策算法.

設(shè)U={u1,u2,……,ul}是一個(gè)初始論域,E={e1,e2,……,en}是一個(gè)參數(shù)集,集合A={e1,e2,……,em}(m

這里,ui ∈U.

步驟4:如果Ck=max{Ci:i=1,2,……,|U|},則決策就是uk ∈U,這里,|U|表示U中元素的個(gè)數(shù).

步驟5:如果k有一個(gè)以上的值,則任何一個(gè)uk可以選擇.

步驟6:輸出uk.

例4.1.1假設(shè)(F,A)是集合U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}上的軟集,其中U是供選擇的房子.A={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8}是一組參數(shù),其中ei(i=1,2,3,4,5,6,7,8)分別代表“小區(qū)環(huán)境”,“便宜”,“設(shè)計(jì)良好”,“公攤面積”,“交通便利”,“醫(yī)療配置齊全”,“有無學(xué)?！焙汀百J款年限長(zhǎng)”.X先生考慮購(gòu)買的房子用軟集合(F,A)表示如下:

表4.1 軟集(F,A)的圖表表示

根據(jù)如上決策方法,可得下列結(jié)果.

由步驟5知X先生選擇的最佳房源為u2,最先排除的房源為u5.

注4.1.2在例4.1.1中,雖然選出了最佳房源,排除了最差房源,但房源u1,u3,u4,u6的優(yōu)先等級(jí)完全相同,一旦決策者不選擇房源u2,后面的決斷難度就加大了.為了將決策結(jié)果有效排序,進(jìn)一步探討下面的決策算法.

4.2 基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS決策方法

逼近理想解排序(TOPSIS)法是最常用的多屬性群決策方法.常規(guī)的TOPSIS方法是用精確數(shù),模糊數(shù),區(qū)間數(shù),直覺模糊數(shù),區(qū)間直覺模糊數(shù)以及猶豫模糊元來表示決策信息的.但是,對(duì)于多屬性群決策中以粗糙模糊元表示決策信息的情形,常規(guī)的TOPSIS方法不能有效地解決.為此,本文將TOPSIS法和M-軟粗糙模糊集相結(jié)合提出了基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS法,用于解決屬性評(píng)價(jià)值為粗糙模糊元的多屬性群決策問題,并將本文的算法應(yīng)用到實(shí)例中選出最佳備選方案.下面,給出基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS方法在決策中的具體算法:

步驟1:假設(shè)有m個(gè)備選方案,每個(gè)備選方案有n個(gè)決策標(biāo)準(zhǔn),其屬性值用

表示決策者需要根據(jù)決策標(biāo)準(zhǔn)在眾多備選方案中選擇一個(gè)最優(yōu)選項(xiàng),這里的最優(yōu)指綜合意義上的最優(yōu).

步驟2:構(gòu)造決策矩陣如下:

表4.2.1 決策矩陣

步驟3:把決策矩陣中的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理

步驟4:根據(jù)如下公式計(jì)算正理想解A+與負(fù)理想解A?:

其中μej(xi)是對(duì)象關(guān)于屬性評(píng)估值的隸屬度(由于隸屬度為0的選項(xiàng)不具有考慮價(jià)值,故計(jì)算時(shí)舍去隸屬度為0的值).

步驟5:根據(jù)定義2.8分別計(jì)算A+及A?的上下近似算子如下:

步驟6:定義

其中α,1?α分別表示對(duì)A+及A?的上下近似算子的權(quán)重(由決策者給出),α的范圍是0≤α≤1.

步驟7:根據(jù)下列公式計(jì)算各備選方案與理想解的相對(duì)接近度并對(duì)各備選方案進(jìn)行排序

Ri=1越接近于1,表明該選項(xiàng)距離正理想解越近,從而該選項(xiàng)越優(yōu).

例4.2.1在與例4.1.1相同的條件下(其中的權(quán)重由專家給定),用基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS決策方法計(jì)算,得到下列結(jié)果:

步驟1:根據(jù)公式(4.2a)對(duì)表4.1 軟集(F,A)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,結(jié)果如表4.2.1所示.

表4.2.1 決策矩陣的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

步驟2:根據(jù)公式(4.2b)和(4.2c),分別得正理想解

和負(fù)理想解

步驟3:根據(jù)公式(2.1a)和(2.1b)分別計(jì)算A+及A?的上下近似算子如下.

步驟4:由α=0.3,根據(jù)公式(5.2d)和(5.2e)易得

步驟5:根據(jù)公式(5.2f)計(jì)算各備選方案與理想解的相對(duì)接近度,可得

從而決策結(jié)果可排序如下:u2>u3>u1=u4>u6>u5.因而優(yōu)先考慮u2.

為了更好地比較前面兩種決策方法的優(yōu)劣,給出它們的排序結(jié)果的直觀圖,如圖1所示.

注4.2.2根據(jù)圖1,兩種方法的最優(yōu)選項(xiàng)和最差選項(xiàng)相同且所得結(jié)果高度一致,這說明兩種決策方法都可行.但從中間房源的優(yōu)先層次來看,一般決策方法中處于同一等級(jí)的較多,區(qū)分度不高,而TOPSIS方法中處于同一等級(jí)的較少,因而決策信息更靈敏.故基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS決策方法較一般決策方法更具有優(yōu)越性.

圖1 兩種決策方法的比較

注4.2.3在[11]中,馮峰等人討論了Roy-Maji方法的有效性,詳細(xì)說明了其真正的局限性,并借助于水平軟集提出了一種新的基于模糊軟集的決策方法.盡管[11]中的方法克服了[22]中的缺點(diǎn),但決策者需要提前選擇閾值.因此,結(jié)果在一定程度上取決于閾值.在本文中,基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS決策方法的結(jié)果也在一定程度上依賴于閾值.在例4.2.1中考慮了不確定因素對(duì)A+及A?的上下近似算子的權(quán)重(其他因素是在本文中定義為確定的),接下來為提高算法的適用范圍,對(duì)不確定因素進(jìn)行敏感性分析,并根據(jù)分析結(jié)果,提出相應(yīng)措施.

例4.2.4在與例4.1.1相同的條件下,得到的A+及A?的上下近似算子的結(jié)果與例4.2.1相同.當(dāng)水平調(diào)節(jié)值α為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9時(shí),則通過計(jì)算得到排序結(jié)果的直觀圖,如圖2所示.

圖2 不同α值下基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS決策方法的排序結(jié)果

由圖2可知,決策者給定的A+及A?的上下近似算子的權(quán)重對(duì)最優(yōu)選項(xiàng)的結(jié)果有重要影響,權(quán)重α是敏感元素.為了避免敏感元素對(duì)決策結(jié)果的影響,進(jìn)行如下探討.

4.3 基于M-軟粗糙模糊集的改進(jìn)TOPSIS方法

下面,根據(jù)已知的基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS方法,給出基于M-軟粗糙模糊集的改進(jìn)TOPSIS方法的具體算法:步驟1,步驟2,步驟3,步驟4,步驟5和步驟7均不變,與基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS方法的步驟1,步驟2,步驟3,步驟4,步驟5和步驟7相同.步驟6改為:在實(shí)際決策中決策者更加注重正理想解,而不是負(fù)理想解的結(jié)果.故改進(jìn)的決策方法只對(duì)正理想解乘上權(quán)重.根據(jù)公式

這里α,1?α分別表示對(duì)A+及A?的上,下近似算子的權(quán)重(由決策者給出),且0≤α ≤1.

例4.3.1在與例4.2.5相同的條件下,根據(jù)上述算法,當(dāng)α取不同值時(shí),計(jì)算結(jié)果如圖3所示.

圖3 不同α值下基于M-軟粗糙模糊集的改進(jìn)TOPSIS決策方法的排序結(jié)果

注4.3.2觀察圖3可知,直接得到排序結(jié)果的變化不大.與圖2的排序結(jié)果比較知,改進(jìn)后的決策算法能消除敏感因素對(duì)排序結(jié)果的影響,避免出現(xiàn)極端條件對(duì)整體決策的影響.

注4.3.3由圖3不難發(fā)現(xiàn),無論α取何值,由改進(jìn)后的方法得到的排序結(jié)果都基本相同,且最優(yōu)選擇都是一樣的.而從圖2知,TOPSIS方法得到的排序結(jié)果會(huì)隨著α取值的變化而改變.基于M-軟粗糙模糊集的TOPSIS決策方法和基于M-軟粗糙模糊集改進(jìn)后的TOPSIS決策方法均需要決策者提供的可用信息,這難免導(dǎo)致主觀信息對(duì)決策結(jié)果的影響.但是,在不同專家主觀因素的影響下,通過改進(jìn)后的方法得到的排序結(jié)果基本相同，從而結(jié)果更加客觀.

§5 結(jié)論

軟粗糙模糊集是一種將模糊集,粗糙集和軟集理論有效融合起來處理不確定性問題的有效工具.為了擴(kuò)大馮峰等在文獻(xiàn)[10]中定義的軟粗糙模糊集的應(yīng)用范圍,本文通過構(gòu)造MS-近似空間,提出了一種新的軟粗糙模糊集――M-軟粗糙模糊集,從而把軟粗糙模糊集推廣到了非滿軟集上,并研究了它的一些基本性質(zhì).在理論上,首先給出了由M-軟粗糙可定義集生成的兩個(gè)模糊拓?fù)淇臻g,為模糊分類和空間信息管理提供了一種新的理論工具.在應(yīng)用上,基于M-軟粗糙模糊集,本文提出了一般決策方法,TOPSIS決策方法及改進(jìn)的TOPSIS決策方法.最后通過實(shí)例比較發(fā)現(xiàn),改進(jìn)的TOPSIS決策方法最優(yōu).雖然提出的M-軟粗糙模糊集比馮峰等提出的軟粗糙模糊集適合更廣泛的范圍,但是,M-軟粗糙模糊集的定義仍然不完美:首先,在Pawlak 粗糙集中,對(duì)任意一個(gè)模糊集,它的上近似包含它自身,且它自身包含它的下近似.然而在M-軟粗糙模糊集中,對(duì)任意一個(gè)模糊集. 其次,當(dāng)軟集是滿軟集時(shí),并沒有找到M-軟粗糙模糊集與馮峰定義的軟粗糙模糊集之間的內(nèi)在聯(lián)系.在未來的研究中,將著力解決這些問題.