趙清鋒

(武漢市卓刀泉中學(xué)建和分校 湖北 武漢 430065)

單擺問(wèn)題是基礎(chǔ)物理中的重要模型，在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，對(duì)于單擺的研究非常多，而其中的研究多限于固定懸掛點(diǎn)單擺做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，包括大擺角周期公式、有無(wú)空氣阻尼的影響、不同擺次單擺的周期、解析解等[1～6].對(duì)于非慣性系單擺運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在近幾年中學(xué)生物理競(jìng)賽中出現(xiàn)的次數(shù)較多，相關(guān)文獻(xiàn)也對(duì)此有研究，文獻(xiàn)[7]用不同方法計(jì)算了無(wú)固定懸掛點(diǎn)單擺周期，文獻(xiàn)[8，9]利用機(jī)械能守恒分析了勻加速直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系統(tǒng)單擺周期，但都只分析了小角度振動(dòng)周期，對(duì)于非慣性系中大擺角振動(dòng)問(wèn)題研究較少.基于此，本文從無(wú)阻尼非慣性系出發(fā)，對(duì)懸點(diǎn)可動(dòng)單擺周期進(jìn)行了計(jì)算，得出周期的積分形式，并應(yīng)用數(shù)值計(jì)算與相關(guān)研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.

1 懸點(diǎn)可在水平方向無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)單擺周期的積分形式

考慮無(wú)阻尼情況，質(zhì)量為M的小環(huán)A套在光滑的水平固定桿上，擺球B的質(zhì)量為m，A和B用一長(zhǎng)度為l的輕繩連接[模型來(lái)源2019年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽(江蘇賽區(qū))第一輪復(fù)賽第15題，教材中也有對(duì)應(yīng)模型[10]，如圖1所示].本文以擺線與豎直方向初始夾角為θ進(jìn)行計(jì)算(原題中擺線從水平位置自由釋放).

圖1 懸點(diǎn)無(wú)阻尼單擺模型

由于桿是光滑的，小環(huán)A和擺球B在水平方向所受合外力為零，系統(tǒng)質(zhì)心在水平方向的坐標(biāo)保持不變，即質(zhì)心位置到擺球B的距離應(yīng)該為

(1)

考慮懸線在擺動(dòng)過(guò)程中質(zhì)心水平坐標(biāo)不變，而豎直坐標(biāo)在變化，為方便研究，取擺線水平時(shí)質(zhì)心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系如圖2所示(其中擺線與豎直方向夾角為θ時(shí)，令OB與水平方向的夾角為φ，l2=l-l1，vB為擺球B的速度，φ為擺球B此時(shí)運(yùn)動(dòng)方向與水平方向的夾角.

圖2 懸點(diǎn)無(wú)阻尼單擺坐標(biāo)系及相關(guān)物理量

分析可知，擺球B對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)分別為

x=l1sinθy=-lcosθ

聯(lián)立兩式消去θ可得擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為橢圓的一部分，如下

(2)

對(duì)式(2)求導(dǎo)可得橢圓上此點(diǎn)切線斜率為

(3)

角度φ為擺球B此時(shí)速度的方向與水平方向夾角，為方便后文計(jì)算，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

(4)

由于水平方向外力之和為零，所以水平方向動(dòng)量守恒

MvA=mvBcosφ

(5)

將式(1)、(4)帶入式(5)可得

(6)

設(shè)擺繩初始時(shí)刻與豎直方向的夾角為θ0，由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒

(7)

將式(6)帶入式(7)可得

(8)

(9)

以O(shè)為圓心，dφ角度對(duì)應(yīng)的圓弧長(zhǎng)度即為

(10)

而小球軌跡并非圓弧，而是橢圓，根據(jù)幾何關(guān)系可得dφ對(duì)應(yīng)的軌跡弧長(zhǎng)

(11)

根據(jù)式(9)和(11)即可得到擺球周期的積分形式

(12)

φ0為擺繩初始時(shí)OB與水方向的夾角.由于質(zhì)心水平位置坐標(biāo)不變，可將θ用φ取代

(13)

由式(3)和式(13)可將φ用φ取代

(14)

將式(13)和式(14)帶入式(12)即可進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算[11].

對(duì)于此類模型的周期，競(jìng)賽題答案多采用受力分析結(jié)合非慣性系動(dòng)力學(xué)方程求解，這種方法通過(guò)數(shù)值計(jì)算也可求出模型的準(zhǔn)確周期或頻率，相關(guān)文獻(xiàn)給出其他方法，當(dāng)擺角θ較小時(shí)取sinθ≈θ，然后近似計(jì)算小角度非慣性系單擺周期[7，8].在教材中有定義M水平坐標(biāo)x1和θ為廣義坐標(biāo)，然后利用拉格朗日方程得到微分方程組[10]

(15)

2 數(shù)值計(jì)算周期與近似周期的比較分析

表1 數(shù)值計(jì)算周期與近似周期的比較

從數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)一步可以得到，大擺角懸點(diǎn)可動(dòng)單擺周期變化隨著N的減小而更明顯，當(dāng)N值很大時(shí)，其周期與懸點(diǎn)固定單擺周期基本一致(本文計(jì)算均為無(wú)阻尼情況，N=107對(duì)應(yīng)周期與文獻(xiàn)[1]周期存在微小差距，與數(shù)值計(jì)算精度有關(guān)).

l為擺線的長(zhǎng)度，g為重力加速度，M和m分別代表懸點(diǎn)和擺球的質(zhì)量.

圖隨θ的變化關(guān)系

3 結(jié)束語(yǔ)