馮子江 魯 斌

(浙江省余姚中學(xué) 浙江 寧波 315400)

伯努利方程在力學(xué)中有廣泛的運(yùn)用.由于其形式

式中不含電學(xué)量，故其在電學(xué)中應(yīng)用甚少.在電介質(zhì)流體的相關(guān)問題中，可將伯努利方程作適當(dāng)推廣，以拓寬其應(yīng)用范圍.

1 電勢(shì)能密度的導(dǎo)出

如圖1所示，一個(gè)電偶極子在非均勻場(chǎng)中的受力

(1)

其中p=ql為電偶極矩.

圖1 電偶極子在非均勻場(chǎng)中的受力

我們考慮體積為dV的分子團(tuán)，單位體積內(nèi)帶有n個(gè)電偶極子，現(xiàn)沿x方向由A到B，電場(chǎng)力做功

(2)

由極化強(qiáng)度矢量

(3)

將式(3)代入式(2)，有

則有

(4)

則

(5)

即為電介質(zhì)在電場(chǎng)中的電勢(shì)能密度.

2 伯努利方程在電介質(zhì)流體中的推廣

對(duì)于體積為ΔV的流體，根據(jù)伯努利方程，有

(6)

基于此，則在電介質(zhì)流體定常流動(dòng)的情況下，對(duì)原有的伯努利方程進(jìn)行推廣，即

(7)

當(dāng)然，若流體為其他性質(zhì)的流體如磁介質(zhì)等，方程還可做進(jìn)一步相應(yīng)的推廣.

3 電介質(zhì)流體的平衡問題

如圖2所示，水平放置的平行板電容器，一塊極板在液面上方，另一塊極板浸沒在液面下，液體的相對(duì)介電常數(shù)為εr，密度為ρ，傳給電容器上下極板電荷面密度分別為σ，-σ后，電容器中的液面可能升高多少？[1]

圖2 帶有電介質(zhì)流體的平行板電容器

3.1 能量極值求解法

如圖3所示，設(shè)極板面積為S，平衡后，新液面高出原液面的距離為h.

圖3 分析圖

在空氣中

(8)

在介質(zhì)中，總場(chǎng)強(qiáng)

(9)

由于電場(chǎng)的不均勻性，電場(chǎng)能量分為兩部分，一是介質(zhì)部分電場(chǎng)能量Ep1

(10)

二是真空部分電場(chǎng)能量Ep2

(11)

另外，介質(zhì)液體還具有重力勢(shì)能Ep3

(12)

則總能量

由于平衡位置能量取極值，則有

化簡(jiǎn)得到

(13)

3.2 運(yùn)用電勢(shì)能密度的壓強(qiáng)性質(zhì)求解法

為解決本題，我們構(gòu)造一系列過程，如圖4所示.

體積為ΔV(ΔV→0)的分子團(tuán)，處在A,B,C這3處時(shí)具有不同的電勢(shì)能密度，即對(duì)應(yīng)不同的壓強(qiáng).

圖4 構(gòu)造過程

第一個(gè)過程，將分子團(tuán)從電容外一點(diǎn)位置A(PA=0)移動(dòng)到電容內(nèi)等高的位置B，發(fā)生一段虛位移.

由于B點(diǎn)的電勢(shì)能小于A點(diǎn)，則分子團(tuán)有從A向B側(cè)向進(jìn)入的趨勢(shì).產(chǎn)生的壓強(qiáng)差即為

(14)

第二個(gè)過程，從位置B移動(dòng)到幾乎等高的介質(zhì)表層位置C時(shí)

產(chǎn)生的壓強(qiáng)差即為

(15)

這里應(yīng)該注意的是PC和EC的取值.此時(shí)分子團(tuán)處在E0的外場(chǎng)中受力，所以

EC=E0

(16)

故由于C點(diǎn)的電勢(shì)能小于B點(diǎn)，則分子團(tuán)有從B向C縱向上拱的趨勢(shì).代入后，即可得到

(17)

(18)

根據(jù)受力平衡，有

(19)

3.3 關(guān)注始末狀態(tài)運(yùn)用伯努利方程求解法

我們也可以直接用伯努利方程解決問題.構(gòu)造一個(gè)從A到平衡后最高點(diǎn)D的過程.滿足

(20)

這里p的意義為由于水和大氣壓強(qiáng)所引起的總壓強(qiáng).由于A點(diǎn)貼近液體表面，則有

pA≈pD=p0

又由于vA=vD=0，PC=PD，EC=ED，代入方程有

(21)

又h=hD-hA，則

(22)

4 結(jié)束語

運(yùn)用電勢(shì)能密度與推廣后的伯努利方程解決電介質(zhì)流體的平衡問題，為我們處理電介質(zhì)問題提供了新的思路，為進(jìn)一步推廣伯努利方程提供了可行的范式.