唐永

摘? 要：對(duì)“不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)從整體性和細(xì)節(jié)性兩個(gè)方面進(jìn)行研究，分析設(shè)計(jì)中的六個(gè)關(guān)鍵細(xì)節(jié)問(wèn)題，并給出教學(xué)建議. 同時(shí)，提出探究性教學(xué)要深刻理解課程標(biāo)準(zhǔn)的要求與教材的編寫意圖，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更大的自主探究空間.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);教學(xué)設(shè)計(jì);細(xì)節(jié)問(wèn)題;探究教學(xué)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)案例

1. 創(chuàng)設(shè)情境

（1）上海四行倉(cāng)庫(kù)抗戰(zhàn)紀(jì)念館：八月份參觀人數(shù)直線上升.

（2）新聞視頻：新冠肺炎疫情指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).

2. 數(shù)學(xué)建構(gòu)

探究1：指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)的差異.

問(wèn)題1：選取適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們?cè)趨^(qū)間[0，+∞]上的增長(zhǎng)差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)嗎？

追問(wèn)1：以函數(shù)[y=2x]和[y=2x]為例，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象. 觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象，它們?cè)谖恢蒙嫌惺裁搓P(guān)系？這說(shuō)明了什么？

追問(wèn)2：取更大的[x]值，在更大范圍內(nèi)觀察它們的增長(zhǎng)情況，從圖象和數(shù)表上，你能發(fā)現(xiàn)什么？

追問(wèn)3：若以函數(shù)[y=2x]和[y=100x]為例呢？選擇不同的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)重復(fù)上述過(guò)程，你得到的結(jié)論分別是什么？

追問(wèn)4：通過(guò)對(duì)特定的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？

探究2：對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)的差異.

問(wèn)題2：選取適當(dāng)?shù)膶?duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們?cè)趨^(qū)間[0，+∞]上的增長(zhǎng)差異. 你能描述一下對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)嗎？

追問(wèn)1：不妨以函數(shù)[y=lgx]和[y=110x]為例，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象. 觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象在位置上有什么關(guān)系？這說(shuō)明了什么？

追問(wèn)2：如果將[y=lgx]縱坐標(biāo)擴(kuò)大[1 000]倍，再對(duì)函數(shù)[y=1 000lgx]和函數(shù)[y=110x]的增長(zhǎng)情況進(jìn)行比較，仍有上述規(guī)律嗎？

追問(wèn)3：通過(guò)對(duì)特定的對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？

問(wèn)題3：如果將一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)同時(shí)比較，你能得到什么結(jié)論？

追問(wèn)1：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)[y=2x]，指數(shù)函數(shù)[y=2x]和對(duì)數(shù)函數(shù)[y=log2x]的圖象，比較他們的增長(zhǎng)有何差異？

追問(wèn)2：一次函數(shù)[y=kx k>0]，指數(shù)函數(shù)[y=ax][a>1]和對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logbx b>1]的增長(zhǎng)有何差異？

3. 數(shù)學(xué)應(yīng)用

4. 課堂小結(jié)

具體內(nèi)容略.

二、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)的整體性分析

本輪課程改革提倡單元教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)從宏觀上把握知識(shí)體系，從整體上綜合協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、能力素養(yǎng)等各要素之間的關(guān)系，把課時(shí)教學(xué)放置到整章、大單元系統(tǒng)中加以統(tǒng)籌，明確課時(shí)在本單元乃至整個(gè)知識(shí)體系中的位置，理清知識(shí)的上下位關(guān)系，從整體上架構(gòu)，克服課時(shí)教學(xué)將學(xué)習(xí)內(nèi)容碎片化的不足.

本節(jié)課內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè)第四章“4.4.3 不同增長(zhǎng)函數(shù)的差異”. 對(duì)本章的整體進(jìn)行分析：先有指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算為研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)做好數(shù)學(xué)運(yùn)算上的準(zhǔn)備;再建立指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，研究其圖象與性質(zhì);然后把幾個(gè)函數(shù)放在一起，從增長(zhǎng)差異比較的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這些函數(shù)的特征（個(gè)別研究到比較研究，為的是能夠在面臨問(wèn)題時(shí)作出選擇判斷）;最后是數(shù)學(xué)應(yīng)用. 函數(shù)的應(yīng)用、二分法與求方程的近似解是數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，數(shù)學(xué)模型是將數(shù)學(xué)知識(shí)用于解決實(shí)際問(wèn)題. 現(xiàn)實(shí)中直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的現(xiàn)象大量存在，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常普遍. 這樣，“增長(zhǎng)差異的比較”的地位作用就非常明顯了.

三、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)的細(xì)節(jié)性研究

具體到本節(jié)課內(nèi)容，首先，要想清楚要解決的問(wèn)題是什么：一是增長(zhǎng)快慢;二是增長(zhǎng)方式. 先快后慢、先慢后快、穩(wěn)定等. 第二個(gè)問(wèn)題就是如何用數(shù)學(xué)的方式來(lái)刻畫，教材上用了表（數(shù)）、圖（形）相結(jié)合的方式，描述性的語(yǔ)言較多，如“增長(zhǎng)速度不在同一個(gè)‘檔次’”“越來(lái)越……”之類. 其次，要研究一些細(xì)節(jié)問(wèn)題，如“創(chuàng)設(shè)什么情境引入更恰當(dāng)”“如何用數(shù)學(xué)的方式刻畫快慢”“如何更精確地量化增長(zhǎng)差異”“要不要給出增量比的符號(hào)[ΔyΔx]”等. 這些細(xì)節(jié)有些可能關(guān)乎全局，需要精心雕琢.

1. 選擇什么情境引入更恰當(dāng)

情境引入主要有以下三種形式. ① 結(jié)合當(dāng)今社會(huì)熱點(diǎn)現(xiàn)象、熱點(diǎn)問(wèn)題. 例如，隨著電影《八佰》熱映，參觀上海四行倉(cāng)庫(kù)抗戰(zhàn)紀(jì)念館的人數(shù)直線上升;2020年初，新冠肺炎疫情暴發(fā)階段，感染人數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng);等等. ② 選自教材中的“情境”. 例如，[A，B]兩地景區(qū)2011年至2015年的游客人次及逐年增加量. ③ 教師自編生活“情境”. 例如，開(kāi)車上班速度與時(shí)間的函數(shù).

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，應(yīng)該考慮整個(gè)章節(jié)的教學(xué)連貫性，盡量選取可以在多個(gè)課時(shí)使用的較為綜合性的情境素材，設(shè)計(jì)章節(jié)系列學(xué)習(xí)活動(dòng)（問(wèn)題串）. 之前的教學(xué)中，教材通過(guò)[A，B]兩地景區(qū)游客人次引入指數(shù)函數(shù)的概念，所以建議本節(jié)課繼續(xù)選擇“[A，B]兩地景區(qū)游客人次”作為問(wèn)題情境，深入研究它們?cè)鲩L(zhǎng)方式的差異.

2. 為什么只在區(qū)間[0，+∞]上進(jìn)行研究

許多參賽教師忽略了這個(gè)問(wèn)題，這也應(yīng)該是探究的一部分. 事實(shí)上，在區(qū)間[-∞，0]上，指數(shù)函數(shù)[y=2x]的值恒大于0，一次函數(shù)[y=2x]的值恒小于0，對(duì)數(shù)函數(shù)[y=log2x]沒(méi)意義，所以重點(diǎn)研究區(qū)間[0，+∞]上它們的增長(zhǎng)差異，可以使研究結(jié)論更具廣泛性和價(jià)值性.

3. 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫“指數(shù)函數(shù)[y=2x]的增長(zhǎng)趨勢(shì)最終會(huì)快于一次函數(shù)[y=2x]的增長(zhǎng)趨勢(shì)”

教材選擇指數(shù)函數(shù)[y=2x]和一次函數(shù)[y=2x]，在[0，+∞]內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)[x>2]時(shí)，都有[2x>2x]. 但是，這并不意味著[y=ax]與[y=kx]總有交點(diǎn)，如函數(shù)[y=ex]的圖象恒在直線[y=x]的上方. 因此，有參賽教師表述“總存在一個(gè)交點(diǎn)，在這個(gè)交點(diǎn)之后，都有[2x>2x]”是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫這種趨勢(shì)是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，許多教師采取直接講述“總會(huì)存在一個(gè)[x0]，當(dāng)[x>x0]時(shí)，恒有[2x>2x]”，這樣學(xué)生就失去了一次珍貴的抽象概括機(jī)會(huì). 只有當(dāng)學(xué)生討論明白：如果兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)，在這個(gè)交點(diǎn)之后，總會(huì)存在一個(gè)[x0];若沒(méi)有交點(diǎn)，仍然存在一個(gè)[x0]（事實(shí)是存在無(wú)數(shù)個(gè)[x0]）. 自然能夠用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)了，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)也得到了提升.

4. 線性函數(shù)[y=kx k>0]在增長(zhǎng)差異的比較中充當(dāng)什么角色

本章通過(guò)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)差異的實(shí)例引入指數(shù)函數(shù)的概念，本小節(jié)之所以繼續(xù)選擇一次函數(shù)[y=2x]與指數(shù)函數(shù)[y=2x]進(jìn)行比較，除了能體現(xiàn)這兩種函數(shù)增長(zhǎng)差異外，還能較好地體現(xiàn)指數(shù)函數(shù)[y=2x]“爆炸性”增長(zhǎng)的特點(diǎn). 在與對(duì)數(shù)函數(shù)[y=lgx]的比較中， 選擇一次函數(shù)[y=110x]而沒(méi)有選擇一次函數(shù)[y=2x，]是因?yàn)橐淮魏瘮?shù)[y=110x]的增長(zhǎng)速度比一次函數(shù)[y=2x]更慢，而且一次函數(shù)[y=110x]與對(duì)數(shù)函數(shù)[y=lgx]有交點(diǎn)，這樣更能直觀體現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)[y=lgx]的增長(zhǎng)逐漸趨緩的特點(diǎn). 由于學(xué)生對(duì)線性函數(shù)已經(jīng)有了認(rèn)知基礎(chǔ)，其變化規(guī)律非常直觀. 因此，線性函數(shù)作為“中間量”，架起了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)比較的橋梁，作為“一把尺子”，度量指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異，更能突出“指數(shù)爆炸”和“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的特征.

5. 要不要補(bǔ)充變化率[ΔyΔx]

這是最具爭(zhēng)議的問(wèn)題. 有的教師認(rèn)為此時(shí)講變化率會(huì)加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān);而有的教師則認(rèn)為，不講變化率就很難講清變化趨勢(shì). 實(shí)際上，數(shù)學(xué)中有精準(zhǔn)的方法，也就是用導(dǎo)數(shù)，用瞬時(shí)變化率來(lái)刻畫變化率. 在這個(gè)問(wèn)題上，筆者傾向于補(bǔ)充. 章建躍博士曾指出，加強(qiáng)一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的理性思維.“運(yùn)算”是一般觀念，在指數(shù)函數(shù)概念的抽象過(guò)程中，對(duì)[A]地景區(qū)每年的游客人次作減法運(yùn)算，得到游客人次的年增加量，對(duì)[B]地景區(qū)每年的游客人次做除法運(yùn)算，得到游客人次的年增長(zhǎng)率. 學(xué)生已經(jīng)有了這方面的運(yùn)算基礎(chǔ)，補(bǔ)充運(yùn)算[ΔyΔx=y2-y1x2-x1]，學(xué)生是能夠理解的，教學(xué)中即使不補(bǔ)充，也可以引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)，自變量[x]的增加量相同，即[Δx]恒為定值，只要看函數(shù)值[y]的增量[Δy]即可. 本質(zhì)上是滲透了變化率，從變化率的角度讓學(xué)生感受不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異.

6.“直線上升”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“指數(shù)爆炸”在生活中有什么含義

讓學(xué)生列舉生活中符合指對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的案例，感受三者之間的差異，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活，這是一個(gè)不可或缺的環(huán)節(jié).

“指數(shù)爆炸”可以有以下理解：① 任何事物都不能無(wú)限制地指數(shù)增長(zhǎng)，否則就會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難，如澳大利亞兔子數(shù)量“大爆炸”;② 從事業(yè)的角度，妥善進(jìn)行投資，實(shí)現(xiàn)財(cái)富指數(shù)增長(zhǎng)，就有可能成為商界大亨;③ 從努力學(xué)習(xí)的角度，多一分努力，就多一分收獲. [1.01365≈37.8]，[1.02365≈1 377.4]. 在學(xué)習(xí)上要霸氣和張揚(yáng)，呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng);在做人上，要像對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，沉穩(wěn)收斂.“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的例子，如體育運(yùn)動(dòng)，體育鍛煉的前幾天，進(jìn)步神速，但過(guò)一段時(shí)間穩(wěn)定下來(lái)后，再進(jìn)步就沒(méi)有那么容易了，想成為職業(yè)選手更是難上加難.

四、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)案例反思

1. 要深刻理解課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和教材的編寫意圖

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”提出的內(nèi)容與要求是：① 理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律. ② 結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.③ 收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問(wèn)題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.

面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，為了準(zhǔn)確描述它的變化規(guī)律，需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，為此就要先分析清楚不同類型函數(shù)的增長(zhǎng)差異. 教材通過(guò)具體實(shí)例對(duì)不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異進(jìn)行比較，緊接著安排了“函數(shù)的應(yīng)用（二）”一節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的方法. 由于增長(zhǎng)差異的比較與現(xiàn)實(shí)世界有著非常緊密的聯(lián)系，所以是加強(qiáng)綜合實(shí)踐活動(dòng)、推進(jìn)高中數(shù)學(xué)育人方式改革的一個(gè)有力抓手.

2. 要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的探究可能

探究教學(xué)是指教師針對(duì)教學(xué)中的某個(gè)教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生積極探索的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中提高獨(dú)立思考、合情推理等方面的能力. 因此，在教學(xué)中要重視探究?jī)?nèi)容的創(chuàng)設(shè)和探究時(shí)機(jī)的把握.

（1）讓學(xué)生去探索研究.

對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究往往可以從四個(gè)角度進(jìn)行分析：為什么研究，研究什么，如何研究，研究結(jié)果. 引入不同類型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，增長(zhǎng)方式存在很大差異，這就是“為什么研究”. 在確定研究?jī)?nèi)容“一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)三類函數(shù)增長(zhǎng)的差異比較”之后，“如何研究”就是最重要的環(huán)節(jié).

在上述教學(xué)案例中，出示探究1后，緊接著提出問(wèn)題1及4個(gè)追問(wèn)，把學(xué)生的思維強(qiáng)行帶入教師預(yù)設(shè)的軌道，禁錮了學(xué)生的思維，看似探究實(shí)則是“假探究”.舍得留出時(shí)間給學(xué)生，讓學(xué)生自行規(guī)劃研究思路（從具體到抽象、從特殊到一般），思考具體問(wèn)題，如研究的區(qū)間、函數(shù)的選擇、圖象的繪制、函數(shù)的調(diào)整、信息技術(shù)的支持等. 探究1具有示范性，引導(dǎo)學(xué)生類比上述研究過(guò)程，繼續(xù)探究2，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)研究方法. 例如，在更大的范圍內(nèi)，用幾何畫板軟件畫函數(shù)[y=2x]和[y=100x]的圖象，交點(diǎn)可能顯示不出，此時(shí)就是學(xué)生探索的最好契機(jī)：如果在幾何畫板軟件的數(shù)軸上同時(shí)改變[x]軸和[y]軸的單位長(zhǎng)度，圖象會(huì)發(fā)生什么改變？（大小改變但形狀不變）;如果只改變[x]軸（或[y]軸）的單位長(zhǎng)度，圖象會(huì)發(fā)生什么改變？（圖象會(huì)被伸壓，但由于本堂課研究的是幾個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的差異，所以不影響繼續(xù)研究）.

（2）讓學(xué)生去體驗(yàn)感悟.

知識(shí)的學(xué)習(xí)只有通過(guò)自身的體驗(yàn)才能得到同化和順應(yīng). 教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生敢于結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出自己的感受，發(fā)揮自己的想象，體驗(yàn)和感悟知識(shí)產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過(guò)程. 只有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 例如，在上述案例中學(xué)生觀看新冠肺炎疫情傳播視頻時(shí)，驚呼數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)之快，自發(fā)地說(shuō)出“爆炸增長(zhǎng)”，此時(shí)可以“趁熱打鐵”，讓學(xué)生借助工具計(jì)算[1.01]的平方和立方，進(jìn)而提出問(wèn)題：猜測(cè)[1.01365]大概是多少？[1.01365≈37.8]，讓學(xué)生直觀感知“指數(shù)爆炸”的含義.

在總結(jié)“函數(shù)[y=2x]與[y=2x]在[0，+∞]上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)程度上”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象：取更大的[x]值，在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系是什么？隨著自變量的取值越來(lái)越大，函數(shù)[y=2x]的圖象幾乎與[x]軸垂直，可謂是“一飛沖天”，函數(shù)值“爆炸式”增長(zhǎng)，函數(shù)[y=2x]的增長(zhǎng)速度保持不變，與函數(shù)[y=2x]的增長(zhǎng)速度相比，幾乎“微不足道”.

（3）讓學(xué)生去概括表達(dá).

新高考加大了對(duì)關(guān)鍵能力的考查力度. 其中，閱讀理解和語(yǔ)言表達(dá)能力是學(xué)生亟需提高的. 符號(hào)語(yǔ)言的使用，使數(shù)學(xué)表達(dá)具有簡(jiǎn)潔性、抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，可以極大地縮減數(shù)學(xué)思維過(guò)程，更有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)和表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì). 例如，作出函數(shù)[y=2x]與[y=2x]在區(qū)間[0，+∞]上的圖象，歸納它們?cè)谖恢蒙系年P(guān)系和趨勢(shì)時(shí)，讓學(xué)生反復(fù)推敲總結(jié)，最終提煉出符號(hào)語(yǔ)言“總會(huì)存在一個(gè)[x0]，當(dāng)[x>x0]時(shí)，恒有[2x>2x]”. 概括“三種函數(shù)的增長(zhǎng)差異”時(shí)讓學(xué)生用不同的語(yǔ)言表達(dá)，如文字語(yǔ)言“一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度總是不變;指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度會(huì)越來(lái)越快，并且指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會(huì)大于一次函數(shù)的函數(shù)值;對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度會(huì)越來(lái)越慢，并且對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會(huì)小于一次函數(shù)的函數(shù)值”;符號(hào)語(yǔ)言“總存在一個(gè)[x0]，當(dāng)[x>x0]時(shí)，有[ax>kx]，[kx>logbx]，[a>1，b>1，k>0]”;甚至用詩(shī)歌的形式表達(dá)，如“增長(zhǎng)模型各不同，指數(shù)增長(zhǎng)最震撼，直線增長(zhǎng)穩(wěn)上升，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)慢悠悠”.

3. 要注重落實(shí)核心素養(yǎng)的課堂定位

《標(biāo)準(zhǔn)》中提到，函數(shù)單元要重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). 本節(jié)課主要提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 那么，課堂教學(xué)中如何讓這些核心素養(yǎng)落地生根？

（1）從函數(shù)性質(zhì)的角度來(lái)看.

增長(zhǎng)差異是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的進(jìn)一步深化，不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異刻畫了它們?cè)鲩L(zhǎng)方式及變化速度的差異. 補(bǔ)充[x1，x2]上的變化率[ΔyΔx]的概念，作函數(shù)[y=2x]和[y=2x]的圖象時(shí)，在數(shù)表中增加一列數(shù)據(jù)[ΔyΔx]，從數(shù)據(jù)上能夠直觀看出函數(shù)[y=2x]的變化率恒定，即增長(zhǎng)速度保持不變. 而函數(shù)[y=2x]的變化率越來(lái)越大，即增長(zhǎng)速度在增大，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度理解圖象的陡緩程度. 利用幾何畫板軟件畫出函數(shù)[y=2x]，[y=2x]和[y=log2x]的圖象. 通過(guò)比較圖象，分析三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的快慢，特別是當(dāng)[x]的值比較大時(shí)，直觀感知函數(shù)值的差異，進(jìn)一步形成更一般的猜想. 借助數(shù)表、幾何畫板軟件和GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷通過(guò)圖形建立直觀猜想、通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證結(jié)論的思維與操作過(guò)程，提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，通過(guò)概括與表達(dá)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）能否選擇合適的函數(shù)模型刻畫實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律.

學(xué)生選擇合適的函數(shù)模型刻畫實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律的基礎(chǔ)是對(duì)各類函數(shù)的特征有準(zhǔn)確的把握，對(duì)每類函數(shù)到底刻畫了哪類現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律有深入的了解，同時(shí)對(duì)各類函數(shù)的增長(zhǎng)差異心中有數(shù). 由此可見(jiàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)：一是準(zhǔn)確理解各類基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及不同類型函數(shù)刻畫了哪一類現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的增長(zhǎng)差異;二是加強(qiáng)用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐. 前一個(gè)是數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，后一個(gè)是數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，兩者缺一不可. 設(shè)計(jì)案例中補(bǔ)充了一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生活學(xué)活用，理論與實(shí)踐相結(jié)合，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

五、結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)設(shè)計(jì)是課堂教學(xué)成功的決定性因素，具有示范、研討的意義. 教師要準(zhǔn)確理解和把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容，合理設(shè)計(jì)課時(shí)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境，在情境的引導(dǎo)下，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，在多媒體的支持下解決問(wèn)題，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展. 在探究性教學(xué)中，教師應(yīng)該給予學(xué)生充分探索、交流的時(shí)間與空間，促使學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)觀察、主動(dòng)探索、自覺(jué)交流、善于表達(dá)的習(xí)慣，使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

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