陳文陽(yáng)

摘? 要：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容. 以一道期末考試題的命制和測(cè)評(píng)為例，談?wù)勅绾螐膶W(xué)生的實(shí)際生活出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計(jì)問(wèn)題. 結(jié)合測(cè)評(píng)結(jié)果，從“在熟悉情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平;選擇合適數(shù)學(xué)模型表達(dá)要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平;創(chuàng)造性地改進(jìn)數(shù)學(xué)模型精準(zhǔn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平;運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)建模過(guò)程和結(jié)果的水平”這四個(gè)方面分析學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展水平.

關(guān)鍵詞：題目命制;生活情境;數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)之一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)體系的重要組成部分. 如何命制題目才能有效評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平呢？筆者的做法是使題目情境源于生活、設(shè)問(wèn)歸于建模，即從學(xué)生的生活情境中尋找素材，圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力為目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)的能力衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平. 下面以一道期末考試題的命制和測(cè)評(píng)為例，談?wù)劰P者的一得之見(jiàn)，求教于大方.

一、題目命制過(guò)程

1. 命題背景

筆者曾參與區(qū)域性八年級(jí)下學(xué)期期末考試試卷的命制，需編寫一道有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題作為試卷第23題（全卷共25道題），題目難度為中等偏上. 題目擬以實(shí)際生活情境為問(wèn)題背景，考查學(xué)生綜合運(yùn)用一次函數(shù)、方程或不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通和實(shí)用價(jià)值.

2. 確定母題

基于題目的教學(xué)導(dǎo)向性，筆者確定母題為人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第102頁(yè)的問(wèn)題1. 該問(wèn)題的背景是上網(wǎng)收費(fèi)方式，是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，其中蘊(yùn)涵了分類討論思想.

母題? 怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式？

選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費(fèi)？

3. 選擇背景

共享單車的出現(xiàn)為人們的出行提供了便利，且學(xué)生對(duì)其較為熟悉. 于是，筆者決定把共享單車的收費(fèi)方式作為題目的背景. 首先，筆者在互聯(lián)網(wǎng)上查閱并分析不同品牌共享單車的收費(fèi)方式;然后，選定了A品牌和B品牌共享單車的收費(fèi)方式作為問(wèn)題的原始材料. A品牌和B品牌共享單車的收費(fèi)方式如表2所示.

4. 創(chuàng)設(shè)情境

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)資料，并參考教材中相關(guān)的語(yǔ)言敘述，初步創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境為：2016年下半年開(kāi)始，共享單車的風(fēng)潮迅速席卷全國(guó)各大城市，各種品牌的共享單車似乎一夜之間就出現(xiàn)在廣州的大街小巷. 現(xiàn)已知A品牌共享單車的計(jì)費(fèi)方式為：初始費(fèi)用為1元 / 時(shí). 內(nèi)設(shè)邀請(qǐng)機(jī)制，每邀請(qǐng)1位好友加入，1小時(shí)收費(fèi)減少0.1元，最低減至0.1元 / 時(shí)，不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算;B品牌共享單車的計(jì)費(fèi)方式為：0.5元 / 時(shí)，不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算.

5. 設(shè)計(jì)問(wèn)題

基于題目既要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要考查思維過(guò)程、創(chuàng)新意識(shí)，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)際能力，初步將問(wèn)題設(shè)計(jì)如下.（1）甲同學(xué)準(zhǔn)備使用A品牌的共享單車，設(shè)該同學(xué)邀請(qǐng)x（x為整數(shù)，[x ≥ 0]）名好友加入騎行，該同學(xué)每小時(shí)的車費(fèi)為y元，試寫出y與x的函數(shù)解析式;（2）若有A，B兩種品牌的共享單車供甲同學(xué)選擇使用，試根據(jù)甲同學(xué)已邀請(qǐng)好友的人數(shù)，給出經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的選擇建議.

問(wèn)題設(shè)計(jì)的目標(biāo)是考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型描述實(shí)際問(wèn)題（即寫出函數(shù)的解析式）和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題（即通過(guò)列、解方程或不等式給出問(wèn)題解決的方案）的能力.

6. 修改情境

為了保證題目情境的真實(shí)性和適切性，筆者通過(guò)A品牌共享單車的APP了解到邀請(qǐng)好友的收費(fèi)規(guī)則為：每邀請(qǐng)1位好友注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功，雙方騎行單價(jià)均降低0.1元，騎行單價(jià)最少為0.1元 / 時(shí)，好友申請(qǐng)退押金后雙方享受優(yōu)惠失效. 參考收費(fèi)規(guī)則，修改問(wèn)題情境：把“初始費(fèi)用”改為“初始騎行單價(jià)”，增加“注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功，則騎行單價(jià)”“騎行單價(jià)最低可降至”等文字語(yǔ)言.

為了減少學(xué)生的審題障礙，又添加例子對(duì)A品牌共享單車的收費(fèi)方式進(jìn)行說(shuō)明——例如，某用戶邀請(qǐng)了3位好友注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功，則騎行單價(jià)為0.7元 / 時(shí). 為了避免無(wú)關(guān)信息對(duì)學(xué)生造成干擾，把問(wèn)題的引入簡(jiǎn)寫為“不同品牌的共享單車出現(xiàn)在城市的大街小巷”，使問(wèn)題的表述更為簡(jiǎn)潔.

題目情境最終確定為：2016年下半年開(kāi)始，不同品牌的共享單車出現(xiàn)在城市的大街小巷. 現(xiàn)已知A品牌共享單車計(jì)費(fèi)方式為：初始騎行單價(jià)為1元 / 時(shí)，不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算. 內(nèi)設(shè)邀請(qǐng)機(jī)制，每邀請(qǐng)1位好友注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功，騎行單價(jià)降低0.1元，騎行單價(jià)最低可降至0.1元 / 時(shí). 例如，某用戶邀請(qǐng)了3位好友注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功，則騎行單價(jià)為0.7元 / 時(shí). B品牌共享單車計(jì)費(fèi)方式為：0.5元 / 時(shí)，不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算.

7. 修改設(shè)問(wèn)

對(duì)于設(shè)問(wèn)，將騎行單價(jià)統(tǒng)一表述為“y元 / 時(shí)”，同時(shí)根據(jù)對(duì)情境的調(diào)整，完善設(shè)問(wèn)的說(shuō)法. 題目設(shè)問(wèn)最終確定為：（1）甲同學(xué)準(zhǔn)備使用A品牌的共享單車，設(shè)甲同學(xué)邀請(qǐng)x名好友（x為整數(shù)，x ≥ 0）注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功，甲同學(xué)的騎行單價(jià)為y元 / 時(shí)，試寫出y與x的函數(shù)解析式;（2）甲同學(xué)要從A，B兩個(gè)品牌的單車中選擇一種使用，試根據(jù)甲同學(xué)已邀請(qǐng)好友注冊(cè)認(rèn)證并充值押金成功的人數(shù)，給出經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的選擇建議.

二、題目測(cè)評(píng)分析

此題著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題和用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的能力. 測(cè)評(píng)的結(jié)果顯示：此題滿分8分，平均分為3.61分，難度為0.45（全卷難度為0.65），得分率比第24題和第25題還低，滿分率低于2%，約有50%的學(xué)生得分低于4分. 此題的測(cè)評(píng)結(jié)果反映了學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平還有待提高，主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面.

1. 在熟悉情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平

若要解決此題，學(xué)生首先要從數(shù)學(xué)的角度分析共享單車的計(jì)費(fèi)方式，理解各個(gè)數(shù)據(jù)的含義和數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并把數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

很多學(xué)生不會(huì)解此題的原因是不理解題意. 由于題目構(gòu)思新穎、信息量大，學(xué)生不能從中提取出有效的數(shù)學(xué)信息，無(wú)法將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)形式聯(lián)系起來(lái). 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)薄弱的學(xué)生，不能正確理解“雙方騎行單價(jià)均降低0.1元”中單價(jià)的變化情況，以及“好友人數(shù)x”和“騎行單價(jià)y元 / 時(shí)”中參數(shù)x，y的實(shí)際含義，無(wú)法準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型.

在實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重訓(xùn)練學(xué)生提取信息和轉(zhuǎn)換信息的能力，培養(yǎng)學(xué)生閱讀、領(lǐng)會(huì)和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣，這樣才能提升學(xué)生在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平.

2. 選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)模型表達(dá)要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平

能夠在熟悉的實(shí)際情境中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是解決此題的關(guān)鍵.

對(duì)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平不足的學(xué)生，雖然能參照此題中的提示或模仿教材中的問(wèn)題1，選擇并建立了一次函數(shù)模型，寫出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = 1 - 0.1x，也能建立方程模型1 - 0.1x = 0.5表達(dá)A，B兩種品牌的共享單車的騎行單價(jià)一樣，但卻不能建立不等式模型1 -0.1x < 0.5或1 - 0.1x > 0.5來(lái)比較騎行單價(jià)的大小，只能采用特殊值的方法驗(yàn)證說(shuō)明. 這反映了其不能從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析具體問(wèn)題中變量間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號(hào)把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系.

在實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重滲透函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性，進(jìn)而提升學(xué)生選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)模型表達(dá)要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平.

3. 創(chuàng)造性改進(jìn)數(shù)學(xué)模型精準(zhǔn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平

此題非常規(guī)的地方是問(wèn)題中的變量[x]的取值為整數(shù)，函數(shù)的圖象是一些離散的點(diǎn)，而且當(dāng)[x≥9]時(shí)，函數(shù)模型是常數(shù)函數(shù). 這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新的情形，要求學(xué)生能夠根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)驗(yàn)證結(jié)果，同時(shí)創(chuàng)造性地改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，得出新的函數(shù)關(guān)系. 在解題過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平較高的學(xué)生能夠在新的情境中創(chuàng)造性地寫出常數(shù)函數(shù)[y=0.1，] 進(jìn)一步得到分段函數(shù)，同時(shí)也能夠準(zhǔn)確地寫出自變量的取值范圍. 例如，[y=1-0.1x 0≤x≤9，0.1 x≥10] 或[y=1-0.1x 0≤x<9，0.1 x≥9.] 試卷分析顯示，70%的學(xué)生不能寫出常數(shù)函數(shù)[y=0.1，] 這反映了學(xué)生缺乏創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)新情境的應(yīng)變能力不足.

在實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重編制不落俗套的創(chuàng)新性應(yīng)用問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的遷移能力，使學(xué)生能夠在解決非常規(guī)問(wèn)題的過(guò)程中生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而提升學(xué)生創(chuàng)造性改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，精準(zhǔn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平.

4. 運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)建模過(guò)程和結(jié)果的水平

此題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力有較高的要求. 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)薄弱的學(xué)生出現(xiàn)的表達(dá)錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面：一是模型的約束條件表達(dá)不正確，即漏寫或錯(cuò)寫了自變量x的取值范圍;二是解決問(wèn)題的表述不完整，僅簡(jiǎn)單下結(jié)論，即只回答選擇某一種品牌共享單車實(shí)惠，而沒(méi)有說(shuō)理的過(guò)程或沒(méi)有分情況說(shuō)明選擇建議的依據(jù).

在實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力的訓(xùn)練，強(qiáng)化說(shuō)理和分類的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，指導(dǎo)學(xué)生完整地表述自己的結(jié)論，逐漸提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)建模過(guò)程和結(jié)果的水平.

三、結(jié)束語(yǔ)

《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)》指出，試題命制要充分考慮城鄉(xiāng)學(xué)生學(xué)習(xí)和生活實(shí)際，增強(qiáng)情境創(chuàng)設(shè)的真實(shí)性、典型性和適切性. 創(chuàng)設(shè)合理的實(shí)際情境，目的是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待生活中的問(wèn)題;而設(shè)計(jì)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)模型的實(shí)際問(wèn)題，目的是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法分析和解決問(wèn)題. 題目情境源于生活、設(shè)問(wèn)歸于建模，能有效評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平. 但如何命制題目才能對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平給予精準(zhǔn)評(píng)價(jià)，還有待進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：