杲平

[摘? 要] “直觀想象”是指導(dǎo)學(xué)生借助于頭腦中的表象獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀理解，從而有效地解決問(wèn)題的一種手段。操作能催生學(xué)生的直觀想象，圖示能激活學(xué)生的直觀想象，模型能引領(lǐng)學(xué)生的直觀想象。通過(guò)直觀想象，變學(xué)生的被動(dòng)感知為主動(dòng)探尋，進(jìn)而讓直觀想象成為學(xué)生抽象、推理的先導(dǎo)，讓抽象、推理成為學(xué)生直觀想象的深化。直觀想象能催生、引領(lǐng)、激活學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);直觀想象;深度學(xué)習(xí)

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。借助于直觀想象，學(xué)生能根據(jù)事物的形態(tài)、變化等去積極、主動(dòng)地解決實(shí)際問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的直觀想象能力的培育常常會(huì)出現(xiàn)被忽視、被干擾、被替代等現(xiàn)象。作為教師，要主動(dòng)催生學(xué)生的直觀想象、激活學(xué)生的直觀想象、引領(lǐng)學(xué)生的直觀想象，讓直觀想象成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)。一般而言，學(xué)生的直觀想象能力包括感性直觀、理性直觀和本質(zhì)直觀。直觀想象具有整體性、經(jīng)驗(yàn)性、個(gè)體性的特質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)生直觀想象是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)然之舉。

一、操作——催生學(xué)生的直觀想象

所謂“直觀想象”，是指導(dǎo)學(xué)生借助于頭腦中的表象獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀理解，從而有效地解決問(wèn)題的一種手段。直觀想象，常常依托于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的操作、畫(huà)圖等。對(duì)于直觀想象，我們不能簡(jiǎn)單地理解為“直觀”與“想象”的簡(jiǎn)單結(jié)合，而更應(yīng)該理解為借助直觀手段去描述問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生操作是催生學(xué)生直觀想象的重要手段。正如美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納所說(shuō)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有三種模式：其一是直觀動(dòng)作模式，其二是具體形象模式，其三是抽象邏輯模式。引導(dǎo)學(xué)生操作，就是要在學(xué)生的頭腦中建立直觀的操作性、映像性的數(shù)學(xué)表征。

對(duì)于學(xué)生尤其是低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生操作，激活學(xué)生的動(dòng)作思維，讓學(xué)生在頭腦中建立直觀動(dòng)作表象，從而催生學(xué)生的直觀想象。正如瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰所說(shuō)，“兒童的智慧在指尖跳躍”。通過(guò)操作，學(xué)生能自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，自主關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)。比如教學(xué)《100以內(nèi)的加法和減法（二）》（蘇教版一年級(jí)下冊(cè)）這部分內(nèi)容時(shí)，筆者在把握學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助小棒進(jìn)行操作。不同的學(xué)生，其操作的方法、策略是不同的。比如對(duì)于“24+6”這樣的算式，有學(xué)生采用的是“累積法”，即逐步地增加小棒根數(shù);有學(xué)生采用的是“拆分法”，即將24拆分成整十?dāng)?shù)和4，然后將4和6合并;等等。通過(guò)學(xué)生的自主計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“滿十進(jìn)一”的計(jì)算模型，這樣的模型建構(gòu)，為學(xué)生學(xué)習(xí)豎式計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在后續(xù)的計(jì)算練習(xí)中，學(xué)生基本上都能將一個(gè)數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和個(gè)位數(shù)，然后將拆分后的數(shù)進(jìn)行合并計(jì)算。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的操作性的直觀想象發(fā)揮了重要的作用。借助于操作性的直觀想象，學(xué)生能感悟、建構(gòu)“從個(gè)位加起，滿十進(jìn)一”的計(jì)算法則。

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家赫爾經(jīng)過(guò)研究認(rèn)為，學(xué)生的直觀想象水平由低到高可以分為五個(gè)層次，即視覺(jué)水平、描述分析水平、抽象水平、推理水平以及公理化水平等。顯然，積累學(xué)生表象是發(fā)展學(xué)生直觀想象的基石。通過(guò)操作，能積累學(xué)生表象，增進(jìn)學(xué)生直觀的感性認(rèn)識(shí)，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)化思考、探究。作為教師，要對(duì)學(xué)生的操作活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，盡量避免學(xué)生數(shù)學(xué)操作隨意性、虛假性，讓學(xué)生借助直觀想象在數(shù)學(xué)操作與數(shù)學(xué)理解之間穿行。

二、圖示——激活學(xué)生的直觀想象

操作、圖形等是學(xué)生的直觀想象的載體、媒介。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生操作，更要引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖。圖示能激活學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，能給予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受與體驗(yàn)。借助于圖示，學(xué)生能將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象的、具體的、感興趣的問(wèn)題。比如對(duì)于一些比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)學(xué)生畫(huà)出線段圖表征之后，就能尋獲解決問(wèn)題的思路、策略。通過(guò)圖示，逐步培育學(xué)生的空間觀念。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，直觀想象離不開(kāi)圖形的支撐。引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，讓學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中獲得真切的感受、體驗(yàn)，能為學(xué)生的直觀想象助力。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生溝通數(shù)與形、式與形，讓數(shù)形結(jié)合、數(shù)形互通、數(shù)形互譯、數(shù)形互攝。作為教師，引導(dǎo)學(xué)生為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)建立圖像、圖形的模型，就能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究有了有力的支撐，就能讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)思考、探究的新視角，從而能讓學(xué)生有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、模型——引領(lǐng)學(xué)生的直觀想象

德國(guó)思想家康德說(shuō)，“思維無(wú)感性則空，直觀無(wú)概念則盲”。直觀想象是對(duì)直觀的一種想象。模型能啟發(fā)、引領(lǐng)學(xué)生的直觀想象。美國(guó)著名教育心理學(xué)家卡羅爾·德韋克深刻地指出，“人與人之間的差距，就在于思維模式的不同”。思維模型不僅僅指向數(shù)學(xué)知識(shí)，更蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的思想方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)建思維模型，以充分展現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。

數(shù)學(xué)模型是豐富的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，一個(gè)數(shù)學(xué)公式、一個(gè)規(guī)律的概括等都是數(shù)學(xué)模型，甚至一個(gè)數(shù)學(xué)概念就是一個(gè)微型的數(shù)學(xué)模型。從某種意義上來(lái)說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是建模的過(guò)程。正是在這個(gè)意義上，東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是“抽象”“推理”和“建?！薄１热缭趶?fù)習(xí)《多邊形的面積》（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）這部分內(nèi)容時(shí)，筆者充分發(fā)揮學(xué)生直觀想象的作用。引導(dǎo)學(xué)生比較“平行四邊形的面積公式”“三角形的面積公式”和“梯形的面積公式”，然后根據(jù)這些多邊形的面積公式直觀想象多邊形的面積公式的推理過(guò)程。在直觀、動(dòng)態(tài)的想象過(guò)程中，有學(xué)生首先提出梯形的面積公式和三角形的面積公式似乎存在著某種關(guān)聯(lián)。有學(xué)生則直接提出，三角形的面積公式可以看成是梯形面積公式的特殊情形，也就是當(dāng)梯形的上底為0時(shí)的特殊情形，梯形的面積公式就演變?yōu)槿切蔚拿娣e公式。據(jù)此，有學(xué)生提出，用梯形的面積可以表示所有的多邊形的面積公式，平行四邊形和長(zhǎng)方形都可以看成是上下底相等的梯形，而正方形則可以看成上下底與高都相等的梯形，等等。盡管這樣的想象不一定科學(xué)，可能有牽強(qiáng)附會(huì)之嫌，但作為學(xué)生，能通過(guò)自己的直觀想象，用梯形的面積公式來(lái)統(tǒng)馭所有的多邊形的面積公式，不能不說(shuō)是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的一種創(chuàng)新。在這里，梯形的面積公式模型對(duì)于學(xué)生的直觀想象發(fā)揮著重要的啟發(fā)、引導(dǎo)作用。

直觀想象是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式。運(yùn)用直觀想象，能讓學(xué)生的抽象思維獲得發(fā)展。在引導(dǎo)學(xué)生直觀想象的過(guò)程中，教師要把脈學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)生的表象，讓學(xué)生的直觀想象有支撐;要精心架構(gòu)學(xué)生直觀、表象、推理等之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而提升學(xué)生抽象化思維的能力;要給學(xué)生打造一個(gè)直觀想象的平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生的直觀想象潛質(zhì)，讓學(xué)生能積極、主動(dòng)地進(jìn)行直觀想象。通過(guò)直觀想象，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。