劉浩 康寶林

摘 要：本文借助喻平的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)指標(biāo)框架和鮑建生的綜合難度模型，分析高考試題中所蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)水平和試題的難度，以及它們之間的關(guān)系。最終得出高考試題的綜合素養(yǎng)水平和綜合難度之間有密切聯(lián)系，基于此，提出了幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);難度;高考試題

中圖分類號(hào)：G633 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2021）07-0101-05

1 問題的提出

2014年3月，“核心素養(yǎng)”一詞被正式提出，引發(fā)了社會(huì)的高度關(guān)注。數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中，含有對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求，一些數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)的理念也包含數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這就意味著在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。隨著核心素養(yǎng)的提出，試題的難度也在發(fā)生變化，并且核心素養(yǎng)的測(cè)評(píng)是以區(qū)分度為依據(jù)的，而區(qū)分度和難度之間又有重要聯(lián)系[1]?；诖耍紤]核心素養(yǎng)和試題難度之間的關(guān)系。

本文以2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題為例，來探討高考試題中所蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)和其難度之間的聯(lián)系。

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的量化

2.1.1 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)指標(biāo)框架

由于六大核心素養(yǎng)本身含義具有抽象性，很難對(duì)數(shù)學(xué)試題進(jìn)行六大核心素養(yǎng)水平的劃分。于是，本文采用了喻平的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)指標(biāo)[2]。他給出了六個(gè)核心素養(yǎng)三級(jí)水平的操作性定義，如表1所示。

2.1.2 綜合素養(yǎng)水平

為了更直觀地分析出每道題的綜合素養(yǎng)水平和難度之間的關(guān)系，需要對(duì)每道題的所蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)進(jìn)行量化。每道試題所蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)經(jīng)過量化之后稱為每道試題的綜合素養(yǎng)水平[3]。為了得到每道試題的綜合素養(yǎng)水平，首先，需要對(duì)表1中核心素養(yǎng)的每級(jí)水平進(jìn)行賦值，在賦值時(shí)要考慮試題的區(qū)分度，還要體現(xiàn)每道題所蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)水平越高，其綜合素養(yǎng)水平也越高，因此，給表1中每個(gè)核心素養(yǎng)的一、二、三級(jí)水平分別賦予1、3、7的分值。然后，參考劉清等人的綜合素養(yǎng)水平計(jì)算公式，計(jì)算每道題的綜合素養(yǎng)水平，綜合素養(yǎng)水平計(jì)算公式定義為：。其中，d代表綜合素養(yǎng)水平，dij代表核心素養(yǎng)i的第j級(jí)水平的賦值，ni代表蘊(yùn)含核心素養(yǎng)i的題目個(gè)數(shù)，n代表題目總個(gè)數(shù)[4]。比如，一道大題中含有三個(gè)小問，第一、二小問都處在邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一級(jí)水平，第三小問處在數(shù)學(xué)抽象的第二級(jí)水平、邏輯推理的第二級(jí)水平，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一級(jí)水平。根據(jù)上面計(jì)算公式，得到這道試題的綜合素養(yǎng)水平為：。

2.2 綜合難度模型

試題的綜合難度是指在正式測(cè)試之前由學(xué)科專家根據(jù)自身以往經(jīng)驗(yàn)對(duì)試題進(jìn)行綜合評(píng)估得到的。

在量化試題的綜合難度時(shí)，為了較好地反映出數(shù)學(xué)試題的難度水平以及概括出學(xué)生數(shù)學(xué)完整的活動(dòng)過程，本文采用鮑建生教授的綜合難度模型。此綜合難度模型包含五個(gè)難度因素，每個(gè)難度因素下面細(xì)分了多種水平[5]。該模型如表2所示。

模型計(jì)算公式di=nij=n，i=1，2，…），其中，di（i=1，2，3，4，5）表示5個(gè)不同的維度，nij表示題目中處在第i個(gè)維度中的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，dij為第i個(gè)維度中的第j個(gè)水平的權(quán)重（依水平分別取1，2，3，…），n代表題目總個(gè)數(shù)。根據(jù)模型計(jì)算公式可得出每道題在五個(gè)難度因素量化后的取值[5]。比如一道綜合題有兩問，第一問無背景，數(shù)學(xué)認(rèn)知方面屬于理解層面，運(yùn)算方面屬于簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，推理方面是簡(jiǎn)單推理，含有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn);第二問無背景，數(shù)學(xué)認(rèn)知方面屬于應(yīng)用，運(yùn)算方面屬于簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，推理是復(fù)雜推理，含有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。則根據(jù)模型計(jì)算公式，這道題在五個(gè)難度因素上的取值依次為1，2.5，3，2.5，2。由此得出刻畫試題綜合難度的雷達(dá)圖。

3 數(shù)學(xué)試題綜合素養(yǎng)水平和綜合難度分析

2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題中設(shè)有選擇題、填空題、解答題，對(duì)答案中沒有詳細(xì)解答過程的題型，在水平劃分時(shí)，要避免一些解題技巧，采用一般的解法進(jìn)行劃分[6]。全國(guó)卷Ⅰ中的第22、23題為選做題，本文對(duì)此不進(jìn)行研究，排除這兩道題，對(duì)試卷中的其他題目，按照數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)指標(biāo)框架給出的操作性定義，對(duì)試題進(jìn)行核心素養(yǎng)水平劃分。

3.1 高考試題綜合素養(yǎng)水平具體分析

采用上文提到的核心素養(yǎng)量化方法，列出2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題關(guān)鍵能力雙向細(xì)目表，并根據(jù)綜合素養(yǎng)模型公式在表中列出每道題的綜合素養(yǎng)水平（用d表示），如表3所示。

2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題總題量為21道。有3道題里面含有數(shù)學(xué)抽象，并集中在一、二級(jí)水平，在第三級(jí)水平?jīng)]有分布;有15道題里面含有邏輯推理，在一、二、三級(jí)水平都有分布，主要集中在第一級(jí)水平，在第三級(jí)水平的題目分別是選擇題的11題，解答題的19、20、21題的最后一問;有2道題里面含有數(shù)學(xué)建模，且都處于第一級(jí)水平;有15道題里面含有直觀想象，在一、二、三級(jí)水平都有分布，主要集中在第一級(jí)水平，在第三級(jí)水平的題目填空題的第16題;有21道題里面含有數(shù)學(xué)運(yùn)算，在第三級(jí)水平有20、21題的最后一問;有3道題里面含有數(shù)據(jù)分析，在第三級(jí)水平?jīng)]有分布。

從橫向觀察，選擇題第10題至第12題，填空題的第16題，以及解答題的18題至21題，“√”明顯增多，由此可以發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的個(gè)數(shù)是比較多的，也就是綜合素養(yǎng)水平比較高。

表3的最后一列代表每道題的綜合素養(yǎng)水平，從數(shù)字看出，在選擇題、填空題、解答題三個(gè)題型的各個(gè)部分分值是遞增的。結(jié)合題目所處的位置，不難得出，高考?jí)狠S題的綜合素養(yǎng)水平是比較高的。

總體來看，“√”大多分布在數(shù)學(xué)計(jì)算、邏輯推理和直觀想象部分，也就是幾乎每道高考題都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)計(jì)算、直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，正如羅素所說：“數(shù)學(xué)是符號(hào)加邏輯”，而在分析高考題的過程中也發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的題目意在考察學(xué)生的符號(hào)運(yùn)算及證明，由此可以看出高考試題非常注重對(duì)這三種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。

3.2 高考試題綜合難度具體分析

采用鮑建生的綜合難度模型，列出2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題綜合難度雙向細(xì)目表，并在表中用各維度和的形式列出每道題的總難度系數(shù)（用f表示），如表4所示。

2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題總題量為21道。在“數(shù)學(xué)認(rèn)知”維度，“識(shí)記”層面的有2道，“理解”層面的有7道，“應(yīng)用”層面的有8道，“探究”層面的有4道，大部分題目集中在“探究”層面。考查學(xué)生在實(shí)踐的情境中轉(zhuǎn)化和應(yīng)用知識(shí)的能力。

在“背景”維度，“無背景”層面的有18道，“個(gè)人生活”層面的有2個(gè)，“科學(xué)情境”層面的有1個(gè)，大部分題目沒有問題背景，直接考察學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握和運(yùn)用情況。

在“運(yùn)算”維度，“無運(yùn)算”層面的有1道，“數(shù)值運(yùn)算”層面的有2個(gè)，“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”層面有13個(gè)，“復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算”層面的有1個(gè)。題目大部分集中在“符號(hào)運(yùn)算”層面。而且在分析試題中也發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的計(jì)算，更加偏重于符號(hào)的運(yùn)算，單純考查學(xué)生純數(shù)值計(jì)算的題目很少。

在“推理”維度，“無推理”層面的有3個(gè)，“簡(jiǎn)單推理”層面的有11個(gè)，“復(fù)雜推理”層面的有3個(gè)。大部分題目中含有簡(jiǎn)單推理，也就是要求學(xué)生能夠在思考之后，選擇合適的知識(shí)和方法，進(jìn)行作答。

在“知識(shí)含量”維度，“一個(gè)知識(shí)點(diǎn)”層面的有6個(gè)，“兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)”層面的有7個(gè)，“多個(gè)知識(shí)點(diǎn)”層面的有6個(gè)。大部分題目都注重兩個(gè)或兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的考查，也就是考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相互融合的題目。

從橫向觀察，可以看出本卷中有幾個(gè)難度系數(shù)較高的題目，分別是選擇題的第12、13題，填空題的16題，和解答題的20、21題。這些題都在各類題型的最后兩道，這與表3中綜合素養(yǎng)水平的呈現(xiàn)趨勢(shì)是一樣的。

3.3 2020年全國(guó)卷Ⅰ綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度對(duì)比分析

為了更加直觀地分析本卷綜合素養(yǎng)水平和綜合難度系數(shù)之間的關(guān)系，下面繪制關(guān)于綜合素養(yǎng)水平和綜合難度系數(shù)的折線圖。以題號(hào)作為橫坐標(biāo)，以每道題的綜合素養(yǎng)水平和其對(duì)應(yīng)的綜合難度系數(shù)作為縱坐標(biāo)。

從圖2中可以看出，兩條曲線的走勢(shì)大致相同，兩者出現(xiàn)的峰值位置和低谷位置也大致相同，異常點(diǎn)僅出現(xiàn)在第5、13題，這說明一道題的綜合難度系數(shù)和它的綜合素養(yǎng)水平有很大關(guān)系。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，高峰值出現(xiàn)在選擇題的后兩道、填空題的后兩道以及解答題的后兩道，也就是我們所說的“壓軸題”的位置，由此說明高考題的設(shè)置遵循先易后難的順序，這有利于廣大考生合理的安排自己的做題時(shí)間和順序，合理的運(yùn)用自己的答題策略，以便獲取更加理想的分?jǐn)?shù)。

4 結(jié)論和建議

4.1 結(jié)論

通過本文分析，可以得出，在高考卷中，一道試題的綜合素養(yǎng)水平和綜合難度系數(shù)有密切聯(lián)系，即一道試題的綜合素養(yǎng)水平和綜合難度系數(shù)呈正比關(guān)系，兩者互相影響。并且，高考卷中的壓軸題一般都在各類題型（選擇題、填空題、解答題）的后兩道，壓軸題的綜合素養(yǎng)水平和難度系數(shù)都是最高的，這與我們傳統(tǒng)的想法相一致。

4.2 建議

4.2.1 設(shè)置試題“背景”

在分析試題難度時(shí)，“背景”這一維度引起了我們的關(guān)注，只有三個(gè)題設(shè)置了題目背景，即第3題以考生熟知的金字塔為背景設(shè)置問題，解答題第18題設(shè)置了圓錐背景，第19題以熟悉的羽毛球比賽為背景設(shè)置了相對(duì)容易的概率問題。其他試題沒有任何實(shí)際背景，單純考查高中一些主要知識(shí)點(diǎn)。

在高考命題時(shí)，除了一些“個(gè)人生活”“公共常識(shí)”，還可以多設(shè)置一些“科學(xué)情境”類的背景，但是，要注意在試題中不要盲目地加入背景，要注意加入的背景和題目的有機(jī)聯(lián)系，不要因?yàn)橛斜尘暗募尤攵沟脝栴}空洞，讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩的情緒。

4.2.2 均衡考查六大核心素養(yǎng)

在分析高考試題時(shí)，發(fā)現(xiàn)試題中仍然有一些不合理的地方。試題中蘊(yùn)含關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象的題目數(shù)量居多，而含有數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象的題目卻很少，這樣的命題會(huì)使學(xué)生自身發(fā)展不均衡，不利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

核心素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)過知識(shí)的學(xué)習(xí)之后所能剩下來、帶得走、可再生的東西[9]。高考不應(yīng)該只成為選拔人才的工具，還應(yīng)有提高全民數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。在命制試題時(shí)，注意相對(duì)均衡地考查學(xué)生的核心素養(yǎng)水平，切莫只關(guān)注分?jǐn)?shù)的高低。

4.2.3 把控試卷難度

從試題分析可知，試卷整體難度比較大，要平衡試卷的整體難度，又不影響壓軸題的區(qū)分度，就要在試卷的其他試題下手，降低難度，可以通過改變其他試題的綜合素養(yǎng)水平，來達(dá)到降低難度的目的，主要的方法有：降低其他試題所考查的核心素養(yǎng)個(gè)數(shù)及核心素養(yǎng)水平的等級(jí);提高壓軸題所考查的核心素養(yǎng)個(gè)數(shù)以及提高每個(gè)核心素養(yǎng)的等級(jí)水平。

4.2.4 完善核心素養(yǎng)的測(cè)評(píng)體系

本文在對(duì)試題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行量化時(shí)，采用的是喻平的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)框架，在此框架中對(duì)六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新的三級(jí)水平劃分，這三個(gè)水平要求依次提高，由此發(fā)現(xiàn)框架本身可能受難度因素的些許影響。若要刨除這部分影響，進(jìn)一步對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，還需對(duì)核心素養(yǎng)的測(cè)評(píng)體系進(jìn)行完善，從而能更有效地使核心素養(yǎng)不斷融入高考試題。

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