摘 要：高中生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有主體性、發(fā)展性和多樣性.片面的、非本質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)容易造成錯(cuò)誤的思維定勢，必須加以調(diào)整、加工、完善，促使其向高層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展.通過對解析幾何若干活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)常見誤區(qū)的探究，提出調(diào)整、優(yōu)化的建議.

關(guān)鍵詞：解析幾何;數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);優(yōu)化

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2021）07-0066-04

收稿日期：2020-12-05

作者簡介：李永革，特級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：安徽省合肥市2019年教育規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容與活動(dòng)途徑的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：HJG19042）.

經(jīng)驗(yàn)是影響數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要因素，數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)歸根結(jié)蒂來自經(jīng)驗(yàn)、來自實(shí)踐.經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教育中的積極作用正在被人們所重視.但是，經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的消極作用卻容易被忽視.杜威指出：“每一種經(jīng)驗(yàn)就是一種推動(dòng)力，經(jīng)驗(yàn)的價(jià)值只能由它所推動(dòng)的方向來評斷.相信一切真正的教育是來自于經(jīng)驗(yàn)的，這并不表明一切經(jīng)驗(yàn)都具有真正的或相同的教育性質(zhì)，不能把經(jīng)驗(yàn)和教育直接地彼此等同起來.因?yàn)橛行┙?jīng)驗(yàn)具有錯(cuò)誤的教育作用”.

本文列舉學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中若干活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的常見誤區(qū)，提出優(yōu)化的建議.

一、“設(shè)而不求”經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化

本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來自于直線與圓錐曲線相交的背景下，處理弦長、中點(diǎn)弦、垂直等問題時(shí)對交點(diǎn)坐標(biāo)只設(shè)不求，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代換，交點(diǎn)坐標(biāo)起到幾何特征代數(shù)化的過渡作用，可有效減少運(yùn)算量.學(xué)生對本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的常見誤區(qū)有：

（1）只能在直線與曲線相交的情況下才能運(yùn)用，在相切等其他位置關(guān)系下不能運(yùn)用;

（2）只能用韋達(dá)定理整體代換消去坐標(biāo)參數(shù);

（3）直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)只能設(shè)，不能求.

解題反思 從考情分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生解答時(shí)選擇直線MN的斜率k作為參數(shù)，然后聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程求出M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)（用k表示），再用兩點(diǎn)式求直線MP的方程（用k表示），最后用點(diǎn)到直線距離公式求點(diǎn)O到直線PM的距離并與圓C′的半徑作比較，結(jié)果運(yùn)算量過大，無功而返.這種思路顯然受到前面所說的“經(jīng)驗(yàn)”影響.從圖形運(yùn)動(dòng)的根源出發(fā)選擇參數(shù)，又想讓參數(shù)數(shù)量最少，將圖中點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程都用唯一的參數(shù)k 來表示，結(jié)果造成式子復(fù)雜、運(yùn)算繁瑣.解法1改設(shè)直線MP的斜截式方程（即引進(jìn)直線MP的斜率與縱截距作為參數(shù)），巧妙地解決了點(diǎn)O到直線PM距離難求的問題.

經(jīng)驗(yàn)優(yōu)化 參數(shù)的選擇往往是通過設(shè)點(diǎn)或設(shè)線的方式實(shí)現(xiàn)的，到底選擇誰？選幾個(gè)？前面所說的兩個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”確實(shí)具有較為廣泛的適用性，但不能絕對，一切要從思想方法的高度思考問題，以運(yùn)算簡潔為標(biāo)準(zhǔn).不能模式化思考，過于教條.

三、“選系建系”經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化

建系求曲線方程是解析幾何兩大基本問題之一.坐標(biāo)系建得好，可使方程推導(dǎo)的過程簡單，方程的形式簡潔，為下一步利用方程研究曲線性質(zhì)奠定基礎(chǔ).學(xué)完解析幾何之后學(xué)生一般都積累了一定的建系經(jīng)驗(yàn).都知道利用圖形自身的對稱性建系，利用圖中垂直關(guān)系建系，若已知定點(diǎn)或定直線，知道將定點(diǎn)與定直線放在坐標(biāo)軸上.但是學(xué)生在選系、建系上往往局限于建立直角坐標(biāo)系，很少考慮其它坐標(biāo)系，這樣會(huì)影響學(xué)生解決問題能力的提高.

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