摘 要：本文對(duì)2020年高考（北京卷）圓錐曲線試題進(jìn)行探究，并將橢圓中發(fā)現(xiàn)的一般性結(jié)論推廣到其它圓錐曲線中.

關(guān)鍵詞：橢圓;動(dòng)直線;中點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0004-02

一、問(wèn)題的提出

2020年高考（北京卷）第20題是求值問(wèn)題，該試題如下：

試題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過(guò)點(diǎn)A（-2，-1），且a=2b.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)B（-4，0）的直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交直線x=-4于點(diǎn)P，Q.求PBBQ的值.

略解 （1）橢圓C的方程為x28+y22=1.

（2）如圖1，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+4），

由y=k（x+4），x28+y22=1，消去y化簡(jiǎn)，得

（4k2+1）x2+32k2x+64k2-8=0，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=-32k24k2+1，x1x2=64k2-84k2+1，

直線AM：y+1=y1+1x1+2（x+2），令x=-4，得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP=-x1-2y1-4x1+2，

同理，得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ=-x2-2y2-4x2+2，

∴yP+yQ=-x1-2y1-4x1+2+-x2-2y2-4x2+2.

把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式化簡(jiǎn)，得

yP+yQ=-（4k+2）[x1x2+3（x1+x2）+8]x1x2+2（x1+x2）+4，

∵x1x2+3（x1+x2）+8=64k2-84k2+1+3·-32k24k2+1+8=0，

∴yP+yQ=0，則PBBQ=1.

在這道試題中，橢圓C是給定的橢圓，點(diǎn)A、B分別是橢圓C、x軸上的特殊點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).如果橢圓C是任意的橢圓，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是橢圓C、x軸上的任意點(diǎn)，是否仍然有對(duì)任意過(guò)點(diǎn)B的直線l，都使得點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn)這一結(jié)論呢？

問(wèn)題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，點(diǎn)A（x0，y0）在橢圓C上，過(guò)點(diǎn)B（m，0）（m≠x0）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn)？

二、問(wèn)題的探究

當(dāng)直線l垂直于x軸且與橢圓有交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q即為M，N，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x-m），聯(lián)立y=k（x-m），x2a2+y2b2=1，消去y并整理，得（a2k2+b2）x2-2ma2k2x+a2k2m2-a2b2=0，

設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1+x2=2ma2k2a2k2+b2，x1x2=a2k2m2-a2b2a2k2+b2.①

直線AM的方程為y-y0=y1-y0x1-x0（x-x0），令x=m，得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP=y0+y1-y0x1-x0（m-x0），同理，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為yQ=y0+y2-y0x2-x0（m-x0），則yP+yQ=2y0+（m-x0）（y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0），

對(duì)任意動(dòng)直線l，要使點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn)，即對(duì)任意實(shí)數(shù)k，要使yP+yQ=0，

∵m-x0≠0，2y0，m-x0為常數(shù)，

∴y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0的值必須為定值，

∵y1=k（x1-m），y2=k（x2-m），

∴y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0

=2kx1x2-（km+kx0+y0）（x1+x2）+2kmx0+2x0y0x1x2-x0（x1+x2）+x02，

將①式代入上式化簡(jiǎn)，得

y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=2y0a2（x0-m）k2+2b2（mx0-a2）k+2x0y0b2a2（m-x0）2k2+b2（x02-a2），②

由于②式中分母沒(méi)有k的一次項(xiàng)，要使y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0的值為定值，②式中分子的k的一次項(xiàng)系數(shù)必須為0，即mx0=a2.

當(dāng)mx0=a2時(shí)，y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=2x0y0[a2（x02-a2）k2+x02b2]（x02-a2）[a2（x02-a2）k2+x02b2]=2x0y0x02-a2，

則yP+yQ=2y0+（a2x0-x0）·2x0y0x02-a2=0.

接下來(lái)我們研究，當(dāng)mx0=a2時(shí)，直線AB與橢圓C的位置關(guān)系：

因?yàn)辄c(diǎn)A（x0，y0）在橢圓C：x2a2+y2b2=1上，所以橢圓C在點(diǎn)A處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，令y=0，得x=a2x0.

當(dāng)mx0=a2時(shí)，m=a2x0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a2x0，0），

此時(shí)直線AB與橢圓C相切.

因此，我們得到結(jié)論：

結(jié)論1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，點(diǎn)A（x0，y0）在橢圓C上，過(guò)點(diǎn)B（m，0）（m≠x0）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)mx0=a2，即直線AB為橢圓C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

在結(jié)論1中，點(diǎn)B在x軸上，如果點(diǎn)B在y軸上，可以得出下面的結(jié)論，證明過(guò)程略.

結(jié)論2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，點(diǎn)A（x0，y0）在橢圓C上，過(guò)點(diǎn)B（0，m）（m≠y0）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于y軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)my0=b2，即直線AB為橢圓C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

在圓中，經(jīng)研究也有類似的結(jié)論：

結(jié)論3 已知圓C：x2+y2=r2，點(diǎn)A（x0，y0）在圓C上，過(guò)點(diǎn)B（m，0）（m≠x0）的動(dòng)直線l與圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)mx0=r2，即直線AB為圓C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

三、問(wèn)題的推廣

如果曲線C為雙曲線或拋物線，經(jīng)研究也有類似的結(jié)論：

結(jié)論4 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，點(diǎn)A（x0，y0）在雙曲線C上，過(guò)點(diǎn)B（m，0）（m≠x0）的動(dòng)直線l與雙曲線C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)mx0=a2，即直線AB為雙曲線C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

結(jié)論5 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，點(diǎn)A（x0，y0）在雙曲線C上，過(guò)點(diǎn)B（0，m）（m≠y0）的動(dòng)直線l與雙曲線C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于y軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)my0=-b2，即直線AB為雙曲線C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

結(jié)論6 已知拋物線C：y2=2px，點(diǎn)A（x0，y0）在拋物線C上，過(guò)點(diǎn)B（m，0）（m≠x0）的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N，直線MA，NA分別交過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P，Q.當(dāng)且僅當(dāng)m+x0=0，即直線AB為拋物線C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

上面三個(gè)結(jié)論的證明與結(jié)論1的證明類似，證明過(guò)程略.

參考文獻(xiàn)：

[1]喻秋生.一道2019年高考圓錐曲線試題的探究與發(fā)現(xiàn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（15）：12-13.

[責(zé)任編輯：李 璟]