李小蛟
摘 要:高考中對(duì)橢圓的定義考查是一種常態(tài),特別是小題(選填題)的考查更為突出.現(xiàn)行教材對(duì)橢圓的定義我們稱為第一定義,實(shí)質(zhì)上第二、第三定義在我們的教材例題及練習(xí)與高考試題中也經(jīng)常以不記名的方式呈現(xiàn).
關(guān)鍵詞:再現(xiàn);定義;思考
中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)10-0054-03
一、考題再現(xiàn)
(2018年全國(guó)卷Ⅲ理20)已知斜率為k的直線l與橢圓x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).
(1)證明:k<-12;
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且
FP+FA+FB=0.
證明:|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
試題分析
本題第(1)問(wèn)考查直線與橢圓位置關(guān)系,涉及直線斜率與弦中點(diǎn),考生很容易想到設(shè)直線方程,將直線與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理寫(xiě)出中點(diǎn)坐標(biāo),再利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部求解斜率范圍,更一般的方法應(yīng)該是運(yùn)用設(shè)而不求的思想,用“點(diǎn)差法”解決中點(diǎn)弦這一類問(wèn)題;第(2)問(wèn)思維難度較大,要求考生對(duì)FP+FA+FB=0.正確理解并合理轉(zhuǎn)化,可以理解為三角形的重心,也可以直接將坐標(biāo)代入求解出的m的值,再利用相關(guān)知識(shí)求解出相應(yīng)距離,證明等差數(shù)列,并求出相應(yīng)公差;如何計(jì)算出的|FA|,|FP|,|FB|長(zhǎng)度是難點(diǎn),考生未能突破這一難點(diǎn),究其原因在于對(duì)橢圓定義、焦半徑理解掌握不到位,不能有效的運(yùn)用橢圓定義解決相關(guān)問(wèn)題.
解析 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x214+y213=1,x224+y223=1.
兩式相減,并由y1-y2x1-x2=k,得x1+x24+y1+y23·k=0.
由題設(shè)知x1+x24=1,y1+y23=m,于是k=-34m①
由題設(shè)得0<m<32,故k<-12.
(2)由題意得F(1,0),設(shè)P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).
由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.
又點(diǎn)P在C上,所以m=34,
從而P(1,-32),|FP|=32.于是|FA|=(x1-1)2+y21=(x1-1)2+3(1-x214)=2-x12.
同理|FB|=2-x22.所以
|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3.故2|FP|=|FA|+|FB|,即|FA|,
|FP|,|FB|成等差數(shù)列.
設(shè)該數(shù)列的公差為d,則2|d|=
||FB|-|FA||=12|x1-x2|=12(x1+x2)2-4x1x2.②
將m=34代入①得k=-1.所以l的方程為y=-x+74,代入C的方程,并整理得7x2-14x+14=0.故x1+x2=2,x1x2=128,代入②解得|d|=32128.所以該數(shù)列的公差為32128或-32128.
例2 (2019年全國(guó)卷二理21題)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM斜率之積為-12,記M點(diǎn)軌跡為C.
(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線.
(2)略.
解 由題設(shè)可知yx+2·yx-2=-12,化簡(jiǎn)得x24+y22=1(y≠0)
即軌跡C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,不含左右頂點(diǎn).
二、追本溯源
2018年全國(guó)卷Ⅲ理20題第(2)考后引出了很大的爭(zhēng)議,即對(duì)于
|FA|,|FP|,|FB|
求解很多考生、教師、教研員認(rèn)為考查超出考綱,特別是焦半徑的考查應(yīng)該用第二定義,2019年全國(guó)卷二理21題有人提出是考查橢圓的第三定義,那么橢圓的第二定義、第三定義是什么?,橢圓有哪些定義,在我們的現(xiàn)行教材中是否有所呈現(xiàn),下面我們來(lái)回歸教材,重新梳理一下橢圓定義.
1.橢圓的第一定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(常數(shù)大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓(ellipse).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.這是現(xiàn)行教材人教A版選修2-1中對(duì)橢圓的定義,通常我們也稱為橢圓的第一定義.根據(jù)坐標(biāo)求軌跡方程,我們?cè)O(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y),并且記距離之和的常數(shù)為2a,于是由定義可得PF1+PF2=2a代入即得(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a
移項(xiàng)(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2,
兩邊平方可得a2-cx=a(x-c)2+y2(1)
兩邊再次平方可得a2y2+(a2-c2)x2=a2(a2-c2)(2)
兩邊同時(shí)除以a2(a2-c2),
即可得x2a2+y2a2-c2=1,
令b2=a2-c2,
即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1.
2.橢圓的第二定義
平面上到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合(定點(diǎn)不在定直線上,該常數(shù)為小于1的正數(shù)),該定點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn),該直線稱為橢圓相應(yīng)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.
這一定義又稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義,在我們現(xiàn)行教材人教A版選修2-1中沒(méi)有提出來(lái),但有所呈現(xiàn).
人教A版選修2-1教材47面例6:點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到直線l:x=254的距離比是常數(shù)45,求點(diǎn)M軌跡.
解析 設(shè)d是點(diǎn)M到直線l:x=254的距離,根據(jù)題意,點(diǎn)M的軌跡即是集合P=MMFd=45,由此可行(x-4)2+y2254-x=45,將上式兩邊平方化簡(jiǎn)得9x2+25y2=225,即x225+y29=1.所以,點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸,短軸分別為10,6的橢圓.
3.橢圓的第三定義
平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘積等于常數(shù)e2-1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.
這一定義也在我們現(xiàn)行教材人教A版選修2-1中同樣沒(méi)有提出來(lái),但有所呈現(xiàn).
人教A版選修2-1教材41面例3:設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為-49,求點(diǎn)M軌跡方程.
解析 設(shè)點(diǎn)M(x,y),∵(-5,0),(5,0)
∴kAM=yx+5(x≠-5),kBM=yx-5(x≠5).
由已知yx+5×yx-5=-49(x≠±5),化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M軌跡方程為x225+y21009=1(x≠±5).
4.橢圓第二第義、第三定義的追本溯源
現(xiàn)行教材對(duì)橢圓的定義僅僅以第一定義的形式出現(xiàn),第二定義、第三定義并沒(méi)有給出正式定義,只是在教材例題中有所呈現(xiàn).那么這三個(gè)定義之間是否有著必然的聯(lián)系與完全的統(tǒng)一呢,讓我們?cè)購(gòu)牡谝欢x推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程中去認(rèn)真探究.
我們?cè)倏匆幌率絘2-cx=a(x-c)2+y2中,若兩邊同時(shí)除以a,即可得到
a-cax=(x-c)2+y2(3)
再次變形為ca(a2c-x)=(x-c)2+y2,即(x-c)2+y2a2c-x=ca,這一式子即為第二定義(平面上到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合).而且(3)式即為橢圓的右焦半徑公式PF2=a-ex,同理可行左焦半徑公式PF1=a+ex.
我們?cè)倏匆幌率絘2y2+(a2-c2)x2=a2(a2-c2),
移項(xiàng)可得a2y2=(a2-x2)(a2-c2),
變形得y2a2-x2=a2-c2a2(x≠±a),
即為yx-a×yx+a=(ca)2-1(x≠±a),
即kPA1·kPA2=e2-1
這即為橢圓的第三定義(平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘積等于常數(shù)e2-1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓).
三、遷移延伸
設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2)為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn),任取橢圓C上一點(diǎn)M(x,y),若kMA1,kMA2均存在,則kMA1·kMA2=e2-1為定值.
分析 ∵A1,A2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴x1=-x2,y1=-y2
設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)
又∵A1(x1,y1),M(x,y)在橢圓上,
∴x2a2+y2b2=1且x12a2+y12b2=1,
兩式相減得y-y1x-x1×y-y2x-x2=-b2a2=e2-1,得證.
顯然橢圓第三定義實(shí)質(zhì)上是這一延伸結(jié)論的特例.
四、拓展應(yīng)用
1.在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為其左右焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),且不與重合.求證:當(dāng)P為短軸上的頂點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大.
解析一 解析幾何問(wèn)題中求角三解形角度的最值,我們應(yīng)選取這一角的某一三解函數(shù)值求解,由于正弦函數(shù)在(0,π)內(nèi)不單調(diào),而余弦函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減.記∠F1PF2=θ,于是我們求解θ的余弦值.
cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2 由橢圓的第一定義可知PF1+PF2=2a
∴cosθ=(PF1+PF2)2-F1F22-2PF1PF22PF1PF2=2a2-2c2-PF1PF2PF1PF2=2b2PF1PF2-1
又∵PF1PF2≤(PF1+PF22)2=a2
∴cosθ≥2b2a2-1,
即當(dāng)PF1=PF2時(shí),cosθ取得最大值,θ取得最小值,得證.
解析二 接解析一
cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2
在2.4中根據(jù)橢圓第二定義我們得到了橢圓的右焦半徑公式PF2=a-ex,同理可行左焦半徑公式PF1=a+ex.
∴cosθ=(a+ex)2+(a-ex)2-4c22(a+ex)(a-ex)=a2+e2x2-2c2a2-e2x2=-1+2a2-2c2a2-e2x2=-1+2b2a2-e2x2
根據(jù)題意,當(dāng)x=0,即P為短軸上的頂點(diǎn)時(shí),cosθ取得最大值,θ取得最小值,得證.
解析三 本問(wèn)題還可運(yùn)用橢圓焦點(diǎn)三解形的面積公式求證.
即S△PF1F2=c·yP=12PF1PF2·sinθ=b2·tanθ2=(a+c)·r(r表示△PF1F2內(nèi)切圓半徑)
若θ最大,則θ2最大,則tanθ2最大,則S最大,所以yp最大,即P應(yīng)為短軸上的頂點(diǎn).
2.在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,A1,A2為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為其左右焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),且不與重合.求證:當(dāng)P為短軸上的頂點(diǎn)時(shí),∠A1PA2最大.
解析 我們注意到橢圓第三定義中有kPA1·kPA2=e2-1,于是不妨設(shè)∠PA1A2=α,∠PA2A1=β,∠A1PA2=θ,則θ=π-(α+β),根據(jù)第在定義可知tanα·tanβ=b2a2,要求θ最大,則α+β應(yīng)最小,則tan(α+β)應(yīng)最小.
tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=tanα+tanβ1-b2a2≥2tanα·tanβc2a2=2bac2a2=2abc2,取等號(hào)條件為tanα=tanβ,即P為短軸上的頂點(diǎn),得證.
橢圓三個(gè)定義相互依存,相互聯(lián)系,對(duì)橢圓三個(gè)定義的再現(xiàn)過(guò)程實(shí)質(zhì)是就是學(xué)習(xí)解析幾何用坐標(biāo)來(lái)理解圖形,對(duì)其相互聯(lián)系的呈現(xiàn)既有解析幾何運(yùn)算的處理,也有轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn),更重要的是在定義的推導(dǎo),聯(lián)系、運(yùn)用、延伸、拓展中對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的滲透和發(fā)展.
參考文獻(xiàn):
[1]步一雋,徐劍.深挖教材核心例題 充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)——以人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》“橢圓”為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(07):1-3.
[責(zé)任編輯:李 璟]