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例談數(shù)據(jù)一般化方法的應用

2021-09-10 07:22:44劉大鵬
關鍵詞:圓錐曲線定值定點

摘 要:本文以模(高)考題或競賽題為引例,將數(shù)據(jù)一般化,從而找到隱藏在考題中的圓錐曲線性質,并給出證明.

關鍵詞:數(shù)據(jù)一般化;圓錐曲線;定點;定值

中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0048-02

引例1 (高二第26屆“希望杯”賽20)已知拋物線C:y2=4x,A(4,4),動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=43,則直線PQ過定點D,點D的坐標是.

一、將數(shù)據(jù)一般化,探究定點坐標的表達式

性質1 已知拋物線C:y2=2px,定點A(a,b)∈C,動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γγ≠0,則直線PQ過定點Db22p-2bγ,2pγ-b.

證明 y21=2px1,y22=2px2,b2=2pa,

kPQ=y1-y2y1+y2y1-y22p=2py1+y2,

∴kAP=2py1+b,kAQ=2py2+b,

2py1+b+2py2+b=γ,

∴2p2b+y1+y2=γ[b2+by1+y2+y1y2],

∴y1y2+b-2pγy1+y2=4bpγ-b2①

直線PQ:y-y1=2py1+y2x-x1,

∴y1+y2y-y1y2=2px②

①+②得y1+y2y+b-2pγ=2px-b22p+2bγ,所以直線PQ過定點D b22p-2bγ,2pγ-b.

引例2 (2013晉中名校聯(lián)考)已知點Ax1,y1,Bx2,y2是拋物線y2=4x上相異兩點,且滿足x1+x2=2,①略②若AB的垂直平分線交x軸于點M,求三角形AMB的面積的最大值及此時直線AB的方程.

二、將數(shù)據(jù)一般化,探究三角形面積最大值的表達式

性質2 已知點Ax1,y1,Bx2,y2是拋物線y2=2px上相異兩動點,且滿足x1+x2=m,則AB的垂直平分線交x軸于定點M,且S△AMBmax=293pm+p3.

解法一 設AB中點Nx0,y0,y21=2px1,y22=2px2,∴y1+y2y1-y2=2px1-x2,

kAB=py0,AB的中垂線:y-y0=-y0px-x0,

∴xM=x0+p=m2+p,是定值.

y-y0=py0x-x0,y2=2px

消y,得p2y20x2-2p2x0y20x+y20+p2x20y20-2px0=0,

x1+x2=m,x1x2=y0-px0y02p2y20=1p2y40-2px0y20+p2x20

=14p24y40-4pmy20+m2p2,

AB=

1+p2y20[m2-1p24y40-4pmy20+p2m2]

=1+p2y20[4y20p2pm-y20]

d=p2y0+y01+p2y20,SΔ=12·2pp2+y20pm-y20

=12pp2+y02p2+y202pm-2y20

≤12p[p2+y20+p2+y20+2pm-2y203]3

=12p[2pm+p3]3=293pm+p3

所以S△max=293pm+p3.

解法二 由解法一得

Mm2+p,0,設Ay212p,y1,By222p,y2

S△=12

m2+p 0 1y212p y1 1y222p y2 1

=12m2+py1+y21y22p-y1y222p-m2+py2

=12m2+py1-y2+y1y22py1-y2

=12y1-y2m2+p+y1y22p.

S2△=142pm-2y1y2m2+p+y1y22p2

=p2m-y1y2pm2+p+y1y22pm2+p+y1y22p

≤p2[m-y1y2p+m2+p+y1y22p+m2+p+y1y22p3]3

=p22m+p33.

所以S△max=293pm+p3.

引例3 (2013江西,文)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,a+b=3.

①求橢圓C的方程,②如圖A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線DA交BP于點M,證明:2kMN-kBP為定值.

三、將數(shù)據(jù)一般化,探究定值的幾何意義

性質3 橢圓C:x2a2+y2b2=1,如圖A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線DA交BP于點M,則:2kMN-kBP為定值.

證明 設Pacosθ,bsinθ,y=bax+b,y=bsinθacosθ-1x-a,消y,basinθcosθ-1-1x=b1+sinθcosθ-1

Masinθ+cosθ-1sinθ-cosθ+1,2bsinθsinθ-cosθ+1,

直線DP:y=bsinθ-1acosθx+b,

∴Nacosθ1-sinθ,0,kBP=bsinθacosθ-1,

kMN=2bsinθsinθ-cosθ+1asinθ+cosθ-1sinθ-cosθ+1-acosθ1-sinθ

=2bsinθ1-sinθ2asinθ1-cosθ-sinθ=b1-sinθa(1-sinθ-cosθ)

2kMN-kBP=ba21-sinθ1-sinθ-cosθ-sinθcosθ-1

=ba1+1-sinθ+cosθ1-sinθ-cosθ-sinθcosθ-1=ba

為定值.此定值是直線AD的斜率.即kAD,kMN,kBP成等差數(shù)列.

下面的題目留給讀者練習

強化訓練

請讀者將題目中的數(shù)據(jù)一般化,從而找到隱藏在題中的圓錐曲線性質,并給出證明.

題目 (2013遼寧六校聯(lián)考)已知 A-2,0,B2,0,kPA·kPB=-34,

①求動點P的軌跡C的方程;

②設MN是曲線C上任意兩點,且AM-AN=AM+AN,問直線MN是否恒過某定點?若是,求出定點坐標;否則,說明理由.

數(shù)據(jù)一般化的思維方法有利于培養(yǎng)思維的深刻性,有利于摒棄題海戰(zhàn)術,有利于提高學習效率,在解析幾何領域大有用武之地,希望本文對培養(yǎng)學生數(shù)學興趣、提高師生數(shù)學核心素養(yǎng)方面能有所幫助.

參考文獻:

[1]劉新飛,劉大鵬.對有心圓錐曲線一組性質的研究[J].中學數(shù)學研究( 華南師范大學版),2019(01):31-32.

[2]杜志建.2014新編高考題庫數(shù)學(理科)[M].延吉:延邊教育出版社,2014:310-338.

[責任編輯:李 璟]

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