段春炳 王紅權(quán)

摘? 要：“圖形的變化”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的三大模塊之一，內(nèi)容貫穿初中三年的幾何教學(xué). 圖形的性質(zhì)反映為在某種變換下保持不變的性質(zhì)，從變換的視角考察圖形的形成、結(jié)構(gòu)和性質(zhì)更能抓住問(wèn)題的本質(zhì). 在教學(xué)中，教師可以從單元整體視角設(shè)計(jì)系列探究活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生從整體上理解圖形的變化的概念和性質(zhì)，建立動(dòng)態(tài)幾何觀念，靈活解決幾何問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：圖形的變化;變換思想;問(wèn)題解決

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）中，“圖形的變化”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的三大模塊之一，內(nèi)容包含圖形的軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影. 浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）中，將平移安排在七年級(jí)下冊(cè)、軸對(duì)稱(chēng)安排在八年級(jí)上冊(cè)、中心對(duì)稱(chēng)安排在八年級(jí)下冊(cè)、旋轉(zhuǎn)和相似安排在九年級(jí)上冊(cè)、投影安排在九年級(jí)下冊(cè)，整體安排呈螺旋式上升. 由于時(shí)間跨度大，不同圖形變化有不同的載體，因此，新課教學(xué)中不能很好地引導(dǎo)學(xué)生從整體性上對(duì)圖形進(jìn)行認(rèn)識(shí). 作為中考復(fù)習(xí)，一方面，圖形的變化復(fù)習(xí)重點(diǎn)要基于單元的整體性，提升學(xué)生對(duì)于圖形的變化內(nèi)容的理解和應(yīng)用能力;另一方面，圖形的變化貫穿了幾何教學(xué)的全部?jī)?nèi)容，圖形的性質(zhì)一般是變換性質(zhì)的反映，因此，可以用變換的思想去引領(lǐng)幾何復(fù)習(xí)教學(xué)和幾何問(wèn)題的解決.

一、圖形的變化及對(duì)變換思想的理解

1. 對(duì)圖形的變化內(nèi)容的本質(zhì)理解

就平面幾何而言，按照德國(guó)數(shù)學(xué)家F.克萊因于1872年提出的觀點(diǎn)，平面幾何是研究平面圖形在運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程中的不變性質(zhì)和不變量的科學(xué). 在軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和平移變換下保持任意兩點(diǎn)之間的距離不變，這樣的變換稱(chēng)為等距變換，等距變換也保持角的大小不變. 在等距變換下，不改變圖形的大小、形狀和相對(duì)位置等，這些不變性正是我們所要研究的.

在初中階段，軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)是作為研究圖形性質(zhì)、關(guān)系的有力工具. 正如《標(biāo)準(zhǔn)》中指出的要“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形和圓的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)”“探索線(xiàn)段、平行四邊形、正多邊形和圓的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)”. 通過(guò)這些圖形對(duì)稱(chēng)性的探索能使學(xué)生更好地理解這些圖形的性質(zhì).

《標(biāo)準(zhǔn)》中還指出，要“認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形”“認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用”“運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)”. 事實(shí)上，圖形的變化在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、機(jī)械工程、航空制造等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.

2. 圖形的變化中蘊(yùn)涵的思想方法和育人價(jià)值

軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影都是對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)變化下不變的量和不變的關(guān)系的研究.“變中不變”是圖形變換的基本思想之一，這里的“變”通常是指圖形的位置有規(guī)則的發(fā)生變化，“不變”是指圖形經(jīng)過(guò)變換后不變的關(guān)系和量，也稱(chēng)為不變量思想.

通過(guò)圖形的變化實(shí)現(xiàn)圖形位置的轉(zhuǎn)化，可以把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使分散的條件集中到一個(gè)三角形（或四邊形等）中，使問(wèn)題化難為易，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形等由圖形的一半（或部分）就能確定圖形的另一半（或部分），利用一半（或部分）圖形的信息解決問(wèn)題就是對(duì)稱(chēng)思想，對(duì)稱(chēng)思想在圖形的變化中體現(xiàn)的非常明顯和直接.

不同的圖形變換，從定義到性質(zhì)，再到應(yīng)用，都有共通性，能很好地體現(xiàn)類(lèi)比思想.

圖形的變化的內(nèi)容有利于培養(yǎng)學(xué)生的“運(yùn)動(dòng)變化”“變中不變”等思想. 在圖形的變化的學(xué)習(xí)過(guò)程中積累的相關(guān)直觀感知經(jīng)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象、幾何直觀和動(dòng)態(tài)幾何觀念的重要途徑. 在圖形的變化內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生感受圖形的對(duì)稱(chēng)和數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力. 應(yīng)用圖形的變化的知識(shí)解決具體問(wèn)題往往需要學(xué)生綜合而靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)具有很好的作用.

二、復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)及整體設(shè)計(jì)

“圖形的變化”內(nèi)容包括軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影，前三種都是全等變換. 本文僅考慮軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和平移的綜合復(fù)習(xí).

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，結(jié)合上述圖形的變化的作用和地位，以及圖形的變化中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法和育人價(jià)值，基于單元的教學(xué)設(shè)計(jì)，從宏觀到中觀，再走向微觀，使抽象觀念變?yōu)榫唧w可操作的行為，確定圖形的變化綜合復(fù)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）從整體視角理解平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱(chēng)）、軸對(duì)稱(chēng)的概念和性質(zhì)，理解在這幾種圖形的變化下圖形保持形狀和大小不變的本質(zhì).

（2）從圖形的變化的視角理解圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì). 例如，等腰三角形有軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，也有旋轉(zhuǎn)的結(jié)構(gòu)（共端點(diǎn)，等線(xiàn)段）;等邊三角形有軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，也有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu);平行四邊形有平移的結(jié)構(gòu)，也有中心對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，等等.

（3）探索平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)三種變換之間的關(guān)系，進(jìn)一步從整體上理解圖形的變化的性質(zhì).

（4）能靈活、綜合應(yīng)用圖形的變化的性質(zhì)解決具體問(wèn)題，并從中感受應(yīng)用圖形的變化解決問(wèn)題帶來(lái)的簡(jiǎn)便和優(yōu)美.

（5）通過(guò)經(jīng)歷相關(guān)的探究活動(dòng)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

“圖形的變化”內(nèi)容的復(fù)習(xí)教學(xué)在整體上設(shè)計(jì)為如圖1所示的四個(gè)板塊.

三、探究性活動(dòng)的設(shè)計(jì)和實(shí)施

1. 基于單元整體的探究活動(dòng)設(shè)計(jì)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)要求從整體上構(gòu)建反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的、有聯(lián)系的和具有挑戰(zhàn)性的系列探究活動(dòng)，其設(shè)計(jì)框架如圖2所示.

2. 探究性活動(dòng)的實(shí)施

活動(dòng)1： 圖形的變化性質(zhì)的再探究.

情境與問(wèn)題：比較平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)這三種變換的性質(zhì)，找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn). 在比較的過(guò)程中，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

思考與交流：學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和相互交流，得到這三種變換性質(zhì)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn). 具體如下表所示.

從上表中可以看出，三種變換的相同點(diǎn)如下.

（1）對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)圖形全等.

（2）所研究的對(duì)象是相同的，都是關(guān)于對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線(xiàn)（或線(xiàn)段）、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)圖形.

（3）基本性質(zhì)都是關(guān)于對(duì)應(yīng)點(diǎn)的，且是關(guān)于對(duì)應(yīng)點(diǎn)與變換要素之間的關(guān)系.

在平移變換中容易得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段不僅相等，而且平行（或共線(xiàn)），那么在旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段除了相等，是否還有其他的性質(zhì)？

發(fā)現(xiàn)與證明：在軸對(duì)稱(chēng)變換中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段與對(duì)稱(chēng)軸平行（或共線(xiàn)），或?qū)?yīng)線(xiàn)段的交點(diǎn)（對(duì)應(yīng)線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)）在對(duì)稱(chēng)軸上（即對(duì)稱(chēng)軸平分對(duì)應(yīng)線(xiàn)段所夾的角）. 在旋轉(zhuǎn)中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（直線(xiàn)）的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)的這個(gè)性質(zhì)應(yīng)用較為廣泛，要求學(xué)生給出證明. 學(xué)生從旋轉(zhuǎn)作圖方法的不同，給出了如圖3和圖4所示的兩種情況的證明，證明過(guò)程略.

應(yīng)用與評(píng)價(jià)：你能應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的這個(gè)性質(zhì)解決一些問(wèn)題嗎？試舉例說(shuō)明.

如下面兩道經(jīng)典例題.

例1? 如圖5，△ABC和△CDE都是等邊三角形，則AD = BE，且AD與BE的夾角為60°.

例2? 如圖6，在正方形ABCD和正方形CEFG中，則DE = BG，且DE ⊥ BG.

雖然這兩道例題都可以用全等的知識(shí)來(lái)證明，但是用旋轉(zhuǎn)解釋則非常直觀.

通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，學(xué)生進(jìn)一步探究了圖形的變化的性質(zhì)及其應(yīng)用，并且對(duì)圖形的變化的認(rèn)識(shí)更加整體和深入. 平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)的共同性質(zhì)反映了這三種變換的本質(zhì)，這樣全等和變換這兩個(gè)知識(shí)模塊就成為一個(gè)整體. 在比較中，學(xué)生清楚地感受到研究圖形的變化在方法上的一致性. 例如，研究對(duì)象相同——都是研究對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)圖形;基本性質(zhì)研究的角度相同——都是研究對(duì)應(yīng)點(diǎn)與變換要素的關(guān)系，都是研究要素及相關(guān)要素（對(duì)應(yīng)線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角）的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 這樣獲得的知識(shí)具有整體性和系統(tǒng)性，能更好地遷移到新的問(wèn)題情境中去解決問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，并能應(yīng)用在具體問(wèn)題的解決中. 這個(gè)探究過(guò)程進(jìn)一步從整體上加深了學(xué)生對(duì)圖形的變化性質(zhì)的理解.

活動(dòng)2：從圖形的變化的視角理解圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).

情境與問(wèn)題：觀察幾何畫(huà)板軟件的動(dòng)畫(huà)演示（如圖7，圖8），點(diǎn)沿著一個(gè)方向平移一定的距離得到一條線(xiàn)段，繼續(xù)平移且不停止則得到一條射線(xiàn);射線(xiàn)繞著端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到一個(gè)角. 試從一條線(xiàn)段出發(fā)，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)中的一種或幾種變換形成我們所熟悉的圖形.

思考與交流：學(xué)生邊思考邊在紙上嘗試畫(huà)圖. 然后交流展示. 對(duì)于常見(jiàn)圖形，學(xué)生能夠從變換的視角理解它的形成與結(jié)構(gòu). 例如，圖9（1）為線(xiàn)段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周形成圓;圖9（2）為線(xiàn)段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度形成等腰三角形;圖9（3）為等腰三角形關(guān)于底邊上的中線(xiàn)翻折產(chǎn)生直角三角形;圖9（4）為等腰三角形關(guān)于底邊翻折生成菱形;圖9（5）為等邊三角形其可以由一條線(xiàn)段連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)60°得到;圖9（6）表示等邊三角形也可以由頂角為120°的等腰三角形繞頂點(diǎn)連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)120°得到;圖9（7）表示由線(xiàn)段平移得到平行四邊形;圖9（8）表示的平行四邊形也可以是三角形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°（中心對(duì)稱(chēng)）得到，等等.

發(fā)現(xiàn)與證明：在這個(gè)探究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)等邊三角形繞中心旋轉(zhuǎn)120°后能與原三角形重合，正方形繞中心旋轉(zhuǎn)90°后能與原正方形重合. 這樣我們就清楚了等邊三角形不僅具有軸對(duì)稱(chēng)性，還有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性. 容易推廣到正多邊形都具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性. 證明是顯而易見(jiàn)的.

應(yīng)用與評(píng)價(jià)：你能應(yīng)用正多邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題嗎？試舉例說(shuō)明.

比較上述兩種證法，前者是靜態(tài)的，后者是動(dòng)態(tài)的. 前者用的知識(shí)有等邊三角形的邊角關(guān)系、全等、三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系等，后者用的是等邊三角形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 我們可以看出后者把握了圖形的基本結(jié)構(gòu)（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性），能夠從整體上處理圖形中相關(guān)元素之間的關(guān)系，所以能更直接的獲得相關(guān)元素之間的關(guān)系.

學(xué)生經(jīng)歷了探究活動(dòng)后，能利用所學(xué)使靜態(tài)的圖形動(dòng)起來(lái)，更好地認(rèn)識(shí)和把握住圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，從而容易發(fā)現(xiàn)圖形中元素之間的相互關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】從圖形的變化的角度重新審視圖形的形成和結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生從動(dòng)態(tài)的、變化的角度理解圖形，提升學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力.

活動(dòng)3：探究圖形各種變化之間的聯(lián)系.

情境與問(wèn)題：在活動(dòng)2中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以由線(xiàn)段平移得到，也可以由三角形中心對(duì)稱(chēng)得到，那平移和中心對(duì)稱(chēng)有怎樣的關(guān)系？不同的變換之間是否會(huì)有一些關(guān)系？

思考與交流：學(xué)生分組進(jìn)行探究，分別探究平移與旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱(chēng)）、平移與軸對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系. 先進(jìn)行小組內(nèi)交流，再進(jìn)行全班交流，最終獲得如下成果.

發(fā)現(xiàn)與證明：（1）如圖11，線(xiàn)段AB關(guān)于點(diǎn)O1中心對(duì)稱(chēng)得到[AB]，則AB與[AB]平行且相等，但方向是相反的. 如果再對(duì)[AB]關(guān)于點(diǎn)O2作一次中心對(duì)稱(chēng)得到[AB，] 則AB與[AB]平行且相等，方向相同. 這樣AB與[AB]就是平移關(guān)系，平移的方向和距離是[AA″]= 2O1O2，這意味著兩個(gè)中心對(duì)稱(chēng)的“和”是一個(gè)平移. 也可以換個(gè)順序看，先把AB平移到[A″B″]，再把[A″B″]關(guān)于點(diǎn)[O2]中心對(duì)稱(chēng)到[AB]，則AB與[AB]成中心對(duì)稱(chēng)，即一個(gè)平移“加”一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)得到中心對(duì)稱(chēng).

（2）考察經(jīng)過(guò)兩次軸對(duì)稱(chēng)的情況. 如圖12，如果兩條對(duì)稱(chēng)軸是平行的，則產(chǎn)生一個(gè)平移;如圖13，如果兩條對(duì)稱(chēng)軸是相交的，則產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度是兩對(duì)稱(chēng)軸夾角的2倍，其中一種特殊情況是當(dāng)兩條對(duì)稱(chēng)軸垂直時(shí)，得到的旋轉(zhuǎn)是中心對(duì)稱(chēng).

類(lèi)似地，容易得到兩個(gè)平移之“和”是一個(gè)平移，兩個(gè)有相同旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)之“和”是一個(gè)旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)中心不同的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)之和較為復(fù)雜，本文不進(jìn)行討論.

【設(shè)計(jì)意圖】探究平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等不同變換之間的聯(lián)系，進(jìn)一步深入理解圖形變化的性質(zhì)和圖形的性質(zhì).

活動(dòng)4：靈活應(yīng)用“圖形的變化”解決問(wèn)題.

例6? 如圖23，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，O1，O2，O3分別是△ADF，△BDE，△CEF的外心，I1，I2，I3分別是這三個(gè)三角形的內(nèi)心. 求證：△O1O2O3 ≌ △I1I2I3.

例6的探究過(guò)程的要點(diǎn)闡述如下.

學(xué)生看到此題的第一感覺(jué)是這道題目很難，平時(shí)遇到一個(gè)外心（或內(nèi)心）都會(huì)感到不熟悉，更何況此題中出現(xiàn)了三個(gè)外心和三個(gè)內(nèi)心. 有些學(xué)生會(huì)被這些“假象”嚇住，不敢進(jìn)一步思考. 有少數(shù)學(xué)生會(huì)從外心或內(nèi)心的概念出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造全等三角形得到O1O2平行且等于[12]AB，從而進(jìn)行證明. 但圖形和說(shuō)理過(guò)程會(huì)有些雜亂. 當(dāng)然，O1O2平行且等于[12]AB是解題的關(guān)鍵，如果學(xué)生想不到這一點(diǎn)，可以作為鋪墊讓學(xué)生觀察和說(shuō)理. 在這個(gè)基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中平移的結(jié)構(gòu)——△ADF以AD（[12AB]）為方向和距離平移得到△DBE，則這兩個(gè)三角形的外心O1，O2為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所以O(shè)1O2 =[12]AB. 同理，I1I2 =[12]AB. 所以O(shè)1O2 = I1I2. 同理，O1O3 = I1I3，O2O3 = I2I3. 所以△O1O2O3 ≌ △I1I2I3. 解答此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△ADF，△DBE，△FEC之間的平移關(guān)系，注意到了這一點(diǎn)，此題就可以非常簡(jiǎn)捷的得到解決. 此題可以讓學(xué)生感受到圖形結(jié)構(gòu)分析的重要性和從圖形的變化的視角解決問(wèn)題的優(yōu)越性.

例7? 如圖24，已知點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離AD =[43]，點(diǎn)B在直線(xiàn)l上，以AB為邊作等邊三角形ABC. 當(dāng)點(diǎn)B在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求DC的最小值.

例7的探究過(guò)程的要點(diǎn)闡述如下.

學(xué)生開(kāi)始會(huì)有一些猜測(cè). 例如，BC與直線(xiàn)l重合時(shí)，DC取得最小值;點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，DC取得最小值，等等. 通過(guò)幾何畫(huà)板軟件演示驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)這些都不正確. 學(xué)生遇到了困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，由于點(diǎn)D是定點(diǎn)，點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，求DC的最小值，關(guān)鍵是弄清楚點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡. 在這樣的啟發(fā)下，學(xué)生開(kāi)始關(guān)注點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)描點(diǎn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線(xiàn)，學(xué)生會(huì)想不通，為什么點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線(xiàn)？有學(xué)生猜測(cè)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)是由點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)導(dǎo)致了點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線(xiàn). 教師可以再?gòu)牧硪环矫鎭?lái)驗(yàn)證這種猜測(cè)，利用幾何畫(huà)板軟件演示如果點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一個(gè)圓. 學(xué)生就陷入了深思，為什么點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是由點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡決定的？至此，教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)C和點(diǎn)B的關(guān)系，題目中給出的條件“△ABC是等邊三角形”，即點(diǎn)B繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)C，這是在旋轉(zhuǎn)變換下的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn).

為了更好地理解它們運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系，可以回到平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)的基本圖形進(jìn)行研究. 如圖25，在一個(gè)平移下，對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和[A]的運(yùn)動(dòng)軌跡相同（圖中虛線(xiàn)），它們的軌跡也有相同的平移關(guān)系;如圖26，在一個(gè)旋轉(zhuǎn)下，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B和[B]的運(yùn)動(dòng)軌跡相同（圖中虛線(xiàn)），它們的軌跡也有相同的旋轉(zhuǎn)關(guān)系. 再回到例7中，則例7變得簡(jiǎn)單，點(diǎn)C的軌跡是直線(xiàn)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°得到的直線(xiàn)[l]，DC的最小值即點(diǎn)D到直線(xiàn)[l]的距離[23].

在此題的探究過(guò)程中，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了等邊三角形的結(jié)構(gòu)——旋轉(zhuǎn)，更深入的理解了圖形變化的性質(zhì)——在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)這樣的變換下，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.

例8? 如圖27，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P為AD上的點(diǎn)，滿(mǎn)足∠ABP = ∠ACP，試在圖上作出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P（工具不限）.

例8的探究過(guò)程的要點(diǎn)闡述如下.

在這個(gè)題目的探究中，學(xué)生容易想到用軸對(duì)稱(chēng)變換，將AD左邊的[∠ABD]軸對(duì)稱(chēng)到AD右邊. 取點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[B]，則∠ABP = [∠ABP] = ∠ACP. 則點(diǎn)P在[△ABC]的外接圓上. 所以只要作[△ABC]的外接圓與AD的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P. 此時(shí)，例8看似解決得很完美，但前面的考慮要在BD[≠]CD的情況下. 當(dāng)BD = CD時(shí)，AD上任意一點(diǎn)都符合題意. 另外，當(dāng)BD [≠] CD時(shí)，由A，C，[B，] P四點(diǎn)共圓. 得[∠ACB =][∠DPB =]∠DPB.由[AD⊥BC，] 得[BP⊥AC.] 這樣找點(diǎn)P不需要作[△ABC]的外接圓，只要作邊AC上的高線(xiàn)，兩條高線(xiàn)的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P. 此題需要分類(lèi)討論，軸對(duì)稱(chēng)變換，最后還能驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)BD[≠] CD時(shí)，所求作的點(diǎn)P就是[△ABC]垂心. 在這個(gè)過(guò)程中，還能發(fā)現(xiàn)過(guò)三角形的垂心及其任意兩個(gè)頂點(diǎn)所作的三個(gè)圓相等. 整個(gè)探究活動(dòng)不僅解決了問(wèn)題，而且還發(fā)現(xiàn)了新的結(jié)論，將探究活動(dòng)引向創(chuàng)新.

【設(shè)計(jì)意圖】提供若干新情境的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從圖形變化的角度解決，增強(qiáng)學(xué)生以圖形的變化視角解決問(wèn)題的意識(shí)，感受以圖形的變化的視角解決問(wèn)題帶來(lái)的簡(jiǎn)便和對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解，能在分析圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上來(lái)選擇相應(yīng)的變換解決問(wèn)題.

四、教學(xué)反思

在教學(xué)中，要讓學(xué)生體驗(yàn)變換思想在幾何問(wèn)題解決中發(fā)揮的神奇作用，以簡(jiǎn)馭繁、揭示本質(zhì). 教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏對(duì)變換思想運(yùn)用的意識(shí)，這需要教師在教學(xué)中逐步滲透，需要引導(dǎo)學(xué)生從變換的視角觀察圖形的形成過(guò)程、圖形的結(jié)構(gòu)和圖形的性質(zhì)，也需要對(duì)圖形變化的概念和性質(zhì)從整體上進(jìn)行更深入的理解.

在教學(xué)中，教師要規(guī)劃單元整體設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)正是從整體功能出發(fā)，從更高觀點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的各要素進(jìn)行系統(tǒng)的綜合考量，使其產(chǎn)生整體效益. 系列探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)是單元整體性教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，其實(shí)施為學(xué)生構(gòu)建了前后一致和邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程;系列探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)是基于對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和整合，使分散、零碎的學(xué)習(xí)內(nèi)容變?yōu)橐粋€(gè)有機(jī)的整體，從而能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì). 系列探究活動(dòng)的實(shí)施強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與，在活動(dòng)中類(lèi)比發(fā)現(xiàn)和形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，并能將探究過(guò)程中積累的經(jīng)驗(yàn)遷移到新的問(wèn)題情境，解決有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 學(xué)生經(jīng)歷上述系列探究活動(dòng)，不僅能獲得相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且能提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]蕭振綱. 幾何變換與幾何證題[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

[2]章建躍. 數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)再思考[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（9）：2-4，7.

[3]呂世虎，楊婷，吳振英. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟[J]. 當(dāng)代教育與文化，2016，8（4）：41-46.