李霞 高曉晴

摘? 要：以“銳角三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)為例，在系統(tǒng)觀和數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)下設(shè)計合理、有效的復(fù)習(xí)教學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)觀;專題復(fù)習(xí);銳角三角函數(shù)

章建躍博士認(rèn)為，復(fù)習(xí)課應(yīng)該以教學(xué)內(nèi)容的整體性認(rèn)識為載體、以系統(tǒng)思維為目標(biāo)，通過專題復(fù)習(xí)的路徑形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

系統(tǒng)觀是對于研究對象的整體性把握. 若把“銳角三角函數(shù)”放在“圖形與幾何”的領(lǐng)域，它是初中研究三角形部分的最后階段;若從“數(shù)與代數(shù)”的角度看，它又是初中最后學(xué)習(xí)的一個初等函數(shù)：以銳角為自變量，比值為因變量的函數(shù). 因此，在教學(xué)中，我們可以把角作為研究對象，用比值來刻畫它的大小. 雖然銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與其所在的三角形無關(guān)，但在初中階段我們需要一個載體來研究它，那就是直角三角形. 若已知角所在的三角形為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到邊角之間的關(guān)系;若已知角不在直角三角形中，則可以通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形來解決問題. 因此，初中階段解決銳角三角函數(shù)的有關(guān)問題，都是在直角三角形中進(jìn)行的，而直角三角形中的勾股定理是定量解決問題的重要工具，其中滲透的數(shù)形結(jié)合思想是本單元教學(xué)的重要思想方法.

本文以“銳角三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)為例，通過章節(jié)的功能性認(rèn)識、目標(biāo)設(shè)置及復(fù)習(xí)實施路徑，探索在系統(tǒng)觀和數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)下的中考專題復(fù)習(xí)教學(xué)活動設(shè)計.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

銳角三角函數(shù).

2. 內(nèi)容解析

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中“銳角三角函數(shù)”一章有兩個小節(jié)：銳角三角函數(shù);解直角三角形及其應(yīng)用.

從知識的結(jié)構(gòu)來看：它是從直角三角形中的邊角關(guān)系引出銳角三角函數(shù)的定義，要讓學(xué)生明白初中的銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形邊、角之間確定的數(shù)量關(guān)系，雖然是在直角三角形中定義，但與所在的直角三角形大小無關(guān)，因此可以通過等角實現(xiàn)邊的比值的轉(zhuǎn)化. 對于解直角三角形及其應(yīng)用，要關(guān)注確定性思維，只要一個銳角確定，這個直角三角形的形狀就是確定的，邊的比值是確定的，只要給出邊的條件，則該三角形可解.

從解決問題的角度來看：它是幾何圖形定量研究的工具，可以實現(xiàn)線段和角度關(guān)系的數(shù)量化. 利用圖形或坐標(biāo)，將解直角三角形中幾何的定性問題轉(zhuǎn)化為可計算的定量結(jié)果，為繼續(xù)研究三角形提供代數(shù)方法.

從函數(shù)定義的內(nèi)涵來看：與前面學(xué)習(xí)的三個初等函數(shù)相比，銳角三角函數(shù)的函數(shù)屬性弱化、具有非典型性，邊角關(guān)系的表達(dá)更加符號化.

從知識的聯(lián)系來看：相似是銳角三角函數(shù)概念的生長點，全等三角形是銳角三角函數(shù)問題的生成點，而銳角三角形函數(shù)和勾股定理又是解直角三角形的運算工具.

作為專題復(fù)習(xí)課，本專題聚焦在銳角三角函數(shù)內(nèi)容中的核心思想——數(shù)形結(jié)合思想展開復(fù)習(xí)教學(xué). 本節(jié)課以“銳角三角函數(shù)概念”的主線展開，先在網(wǎng)格中讓學(xué)生經(jīng)歷求解一個確定的角的三角函數(shù)值，接著給出一個三角形中兩個角的三角函數(shù)值求第三個角的大小，再到一個確定三角形的三角函數(shù)求解，讓學(xué)生經(jīng)歷由形（角）到數(shù)（比值），再由數(shù)到形的探究過程. 例如，在探究角的三角函數(shù)值時，結(jié)合直角三角形，利用邊角之間的關(guān)系，計算得出比值，體會由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化;反過來，探究角的大小時，可以從角的三角函數(shù)值得到的比值入手，構(gòu)造直角三角形，得到邊角之間的關(guān)聯(lián)，體會由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

系統(tǒng)觀下中考專題復(fù)習(xí)的目標(biāo)和定位在于概括知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中的數(shù)學(xué)思想方法及關(guān)鍵能力.

本專題的復(fù)習(xí)設(shè)想從基于數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)活動，構(gòu)建銳角三角形函數(shù)及解直角三角形相關(guān)的知識網(wǎng)絡(luò)，深化學(xué)生對銳角三角函數(shù)概念的理解，發(fā)展學(xué)生用直角三角形中的邊角關(guān)系解決問題的能力. 基于此，確定教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）進(jìn)一步理解銳角三角函數(shù)的定義.

（2）能用銳角三角函數(shù)的定義建立直角三角形中邊角之間的關(guān)系.

（3）基于數(shù)形結(jié)合，依據(jù)直角三角形中元素之間的關(guān)系解直角三角形，并解決實際問題.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：要求學(xué)生能建立直角三角形中角與邊的比值之間的對應(yīng)關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)是用對應(yīng)的觀點建立直角三角形中角與邊的比值之間的數(shù)量關(guān)系，知道這是從三角形的“全等”“確定條件”的定性研究到三角形元素關(guān)系定量研究的核心工具之一.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能用銳角三角函數(shù)建立同一個直角三角形或不同直角三角形之間邊的比值的數(shù)量關(guān)系，對線段之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能綜合應(yīng)用勾股定理、直角三角形中的兩銳角互余、銳角三角函數(shù)解直角三角形，解決實際問題.

三、教學(xué)問題診斷分析

“銳角三角函數(shù)”的專題內(nèi)容一般是中考復(fù)習(xí)的最后一個專題. 之前學(xué)生對直線型的內(nèi)容有了較深的認(rèn)識，理解了三角形基本元素的屬性與關(guān)系，但還無法系統(tǒng)性地認(rèn)識銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系，把角用等角轉(zhuǎn)化后置于直角三角形中求解的能力較弱. 教師需要給學(xué)生鋪設(shè)一條低起點、高落點的提升路徑，在問題設(shè)置上，圍繞銳角三角函數(shù)概念這一主線展開，從網(wǎng)格圖形出發(fā)，給出已知角，通過等角轉(zhuǎn)化構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，最后在圓中實現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化. 網(wǎng)格的優(yōu)點在于它能刻畫位置，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合. 特別是改變角的位置及背景，實現(xiàn)圖形的變換，開放性解決問題.

四、教學(xué)過程設(shè)計

1. 再現(xiàn)概念

問題1：圖1為若干個小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，你能計算出∠O的三角函數(shù)值嗎？

追問1：你的解題依據(jù)是什么？

追問2：如果找不到直角三角形，你會怎么辦？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生體會初中的銳角三角函數(shù)的本質(zhì)：反映了“形狀確定”的直角三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系雖然是在直角三角形中定義，但與所在的直角三角形大小無關(guān).

【設(shè)計意圖】借助數(shù)形結(jié)合，深化學(xué)生對三角函數(shù)概念的本質(zhì)理解.

2. 圖語數(shù)說

問題2：如圖2，△ABC的三個頂點都在格點上，求tan ∠ACB的值.

師生活動：學(xué)生先獨立完成解答，教師收集不同解答和學(xué)生的困難點，并投屏呈現(xiàn). 師生共同研究解答過程，用問答的方式進(jìn)行思路的整理.

追問1：這是一個什么問題？已知了什么？要求什么？

追問2：已知條件實際上是什么？設(shè)問實際上是要求什么？

【設(shè)計意圖】師生通過問題2的實踐，在交流與共同解答中，感悟網(wǎng)格在解決與三角形有關(guān)的角和線段度量問題中的計算功能.

追問3：如何構(gòu)造直角三角形，能更快求得tan ∠ACB的值，定量研究∠ACB的大小？

師生活動：教師總結(jié)把∠ACB置于圖3 ～ 圖5位置的直角三角形中，可以直觀求得其三角函數(shù)值. 這一過程是在借助正切對角的大小進(jìn)行定量研究的目標(biāo)引導(dǎo)下，基于幾何直觀，構(gòu)建直角三角形，并進(jìn)行邊角之間關(guān)系的定量計算. 構(gòu)造直角三角形的不同方法，體現(xiàn)了對問題條件、結(jié)論的不同側(cè)面的理解，但無論哪種方法，都是通過等角轉(zhuǎn)化后將其置于直角三角形中進(jìn)行求解.

【設(shè)計意圖】研究三角形確定的條件轉(zhuǎn)化，尋找含待求角的可解三角形，體會由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.

3. 數(shù)語圖說

問題3：任意畫一個△ABC，使tan A =[12，] tan B =[13]（其中∠A，∠B為銳角），求∠C的度數(shù).

師生活動：學(xué)生先獨立完成，教師收集不同解答和學(xué)生的困難點，并投屏呈現(xiàn). 然后師生共同研究解答過程，用問答的方式進(jìn)行思路的整理. 通過展示交流和教師引導(dǎo)（追問1 ～ 追問5），最后得到如圖6的“以形助數(shù)”的解題思路總結(jié).

追問1：由條件tan A =[12]出發(fā)，如何畫出∠A？由條件tan B =[13]出發(fā)，如何畫出∠B？

追問2：如何讓∠A，∠B變成同一三角形中的兩個內(nèi)角？

追問3：只能確定△ABC的形狀嗎？大小可以確定嗎？

追問4：要添加什么條件才可以確定△ABC的大??？

追問5：在沒有網(wǎng)格，也沒有坐標(biāo)系（即沒有提供具體數(shù)值）的情況下，你還會求∠C的度數(shù)嗎？

【設(shè)計意圖】先讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、測量、驗證過程，發(fā)現(xiàn)這兩個角有共邊時，可組成同一個三角形. 對于三角函數(shù)的問題而言，“比”是對形狀的一種刻畫，兩個正切值之間要關(guān)聯(lián)起來，就需要靈活運用“比”中的“三角形大小可變”的關(guān)系，體會由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

4. 學(xué)以致用

問題4：如圖7，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB = AC，BD⊥AC，垂足為點E，點F在線段BD的延長線上，且DF = DC，連接AF，CF.

（1）略;

（2）若AF = 10，BC = 4[5]，求tan∠BAD的值.

【設(shè)計意圖】此題是2019年中考福建卷第24題，解題的基本工具之一是銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，研究的路徑是讓學(xué)生通過圖形構(gòu)圖的邏輯順序，形成確定圖形的意識. 如圖8，發(fā)現(xiàn)△ADB是確定的三角形后，與它相關(guān)的基本元素都可求得，讓學(xué)生明白銳角三角函數(shù)與圓結(jié)合時，能夠?qū)崿F(xiàn)等角轉(zhuǎn)化. 進(jìn)一步說明任意角的三角函數(shù)與解三角形沒有關(guān)系，而圓的旋轉(zhuǎn)不變性特征能夠?qū)崿F(xiàn)等角轉(zhuǎn)化（如圖9），而后將角置于直角三角形中求解.

5. 課堂小結(jié)，形成一般性觀念

（1）本節(jié)課的核心知識是什么？研究了什么內(nèi)容？用到的核心數(shù)學(xué)方法是什么？

本節(jié)課的核心知識是對銳角三角函數(shù)概念的再認(rèn)識;研究的內(nèi)容是如何求三角函數(shù)值;核心的數(shù)學(xué)方法是用數(shù)形結(jié)合方法，把任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決.

（2）構(gòu)造的目標(biāo)圖形是什么？構(gòu)造的方法是什么？

構(gòu)造的目標(biāo)是直角三角形;構(gòu)造的方法是直接構(gòu)造法和等角轉(zhuǎn)化法.

【設(shè)計意圖】小結(jié)的作用在于實現(xiàn)課堂的畫龍點睛，通過小結(jié)理解本節(jié)課的核心知識——銳角三角函數(shù)概念的應(yīng)用，它是借助直角三角形這一幾何直觀來定義，因此幾何直觀就成了銳角三角函數(shù)求解的重要方法. 解直角三角形是解一般三角形的基礎(chǔ)，通過轉(zhuǎn)化，把解任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形，其中的構(gòu)圖、建模等關(guān)鍵能力需要在由特殊到一般的歸納過程中進(jìn)行強(qiáng)化，這種對核心知識、思想方法的回顧，意在幫助學(xué)生養(yǎng)成解決問題的一般性觀念與思路.

6. 目標(biāo)檢測

作業(yè)1：如圖10，在△ABC中，∠B = 60°，點D在BC邊上，且CD = 2，cos∠ADC = [17].

（1）求sin∠BAD的值;

（2）求BD，AC的長.

【設(shè)計意圖】解決此題，學(xué)生要發(fā)現(xiàn)△ABD是確定的. 確定的三角形的高也確定，過點A作邊BC的高，直接解相關(guān)三角形即可. 將此題設(shè)置為課后作業(yè)，有利于提升學(xué)生對銳角三角函數(shù)價值性知識的認(rèn)識，即對于確定的三角形，一定是可解的. 此題的設(shè)置意在讓學(xué)生明白知識的本源是解決問題的根本.

作業(yè)2：如圖11，在Rt△ABC中，[AC<AB，∠BAC=]? 90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點F在[BD]上，連接BF并延長交AC的延長線于點G，連接AF，求[AFBG]的最大值.

【設(shè)計意圖】此題有多種求解方法，題面所給的是一些定性條件，求的又是比值，將比值問題轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)來處理，進(jìn)一步體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)定義在幾何綜合問題解決中的功能性作用.

五、教學(xué)反思

1. 課例的特點

本節(jié)課為學(xué)生構(gòu)建了回歸概念、理解本質(zhì)、一題多解、多解歸一的復(fù)習(xí)活動. 以系統(tǒng)觀和數(shù)形結(jié)合思想為引領(lǐng)，設(shè)計的主線圍繞著初中銳角三角函數(shù)內(nèi)容的功能，知識的結(jié)構(gòu)、普適性的思想方法、解決問題的策略等加以認(rèn)識;通過揭示銳角三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)對象（銳角三角函數(shù)的定義）的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)值得研究的問題（把任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決）、尋找求解問題的方法的引導(dǎo)（直接構(gòu)造法和等角轉(zhuǎn)化法）;通過銳角三角函數(shù)的定義的理解與應(yīng)用，在完善單元知識結(jié)構(gòu)的同時，努力建立與相關(guān)知識的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 在教學(xué)實施的過程中，始終關(guān)注數(shù)與形的聯(lián)系，如網(wǎng)格的引入，利用網(wǎng)格的功能實現(xiàn)幾何圖形的數(shù)量化，借助幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生體會由形（角）到數(shù)（比值）的轉(zhuǎn)化. 進(jìn)而讓學(xué)生把比（角度的三角函數(shù)值）變成形（三角形的邊）的刻畫，在形的刻畫中尋找量的公共元素，又實現(xiàn)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

本節(jié)課留出了比較充分的時間與空間讓學(xué)生思考與總結(jié)，教師引領(lǐng)學(xué)生在問題解決中思考如何回到“定義”中去，對于“一題多解”的題目，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與總結(jié)，多角度發(fā)展學(xué)生的思維;于“一題多解”后努力讓學(xué)生“多解歸一”，讓學(xué)生抽象出能反映概念本質(zhì)的通性、通法，如從數(shù)形結(jié)合的視角研究三角函數(shù)，形成良好的問題意識和解題策略.

2. 需要進(jìn)一步研究的問題

在復(fù)習(xí)課中，我們要不停的提問：本專題的核心知識有哪些？這些核心知識的本質(zhì)是什么？應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生哪些技能？在問題解決中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生哪些一般性觀念？

針對“銳角三角函數(shù)”專題，要從知識本源出發(fā)，理解銳角三角函數(shù)的概念，這是核心也是問題理解的本質(zhì). 此專題需要培養(yǎng)的技能：掌握特殊角的三角函數(shù)值的計算;在解直角三角形中養(yǎng)成三角形確定性的意識等問題解決的技能. 滲透的基本思想：變化與對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等. 掌握的基本方法：會利用解直角三角形的條件，構(gòu)造直角三角形;會進(jìn)行圖形的組合與拆解.

從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點和歸宿看，思維的教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，發(fā)展學(xué)生的理性精神，實現(xiàn)它要依靠教學(xué)內(nèi)容這一載體.“銳角三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)課不宜過度關(guān)注知識點和考點，這樣會窄化教學(xué)視野，降低教育應(yīng)有的內(nèi)涵. 必需在問題解決中培養(yǎng)學(xué)生的一般性觀念：利用四邊形、圓、相似等多個知識點綜合解決問題時，等角及邊的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵;解直角三角形中的確定性意識的形成等. 雖然初中階段對三角函數(shù)的要求較低，但是學(xué)生應(yīng)該具有回歸定義研究性質(zhì)的能力.

六、結(jié)束語

專題復(fù)習(xí)課的功能主要是提升學(xué)生在知識、技能、思維層面上體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 鑒于九年級學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，專題復(fù)習(xí)課的內(nèi)容必須為學(xué)生的能力發(fā)展和素養(yǎng)提升而設(shè)計. 初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)雖然未作界定，但基于初中的十大核心概念和對核心素養(yǎng)觀的理解，此專題復(fù)習(xí)中要發(fā)展的主要學(xué)科核心素養(yǎng)應(yīng)該是數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理. 同時，專題復(fù)習(xí)課作為一種重要的課型，在教學(xué)設(shè)計時同樣要進(jìn)行教學(xué)背景的分析和教學(xué)目標(biāo)的確定. 新授課重在探究建構(gòu)知識，專題復(fù)習(xí)課重在梳理、整合知識，感悟數(shù)學(xué)思想和方法;新授課關(guān)注學(xué)科知識本質(zhì)、提升學(xué)生思維品質(zhì)，專題復(fù)習(xí)課重在發(fā)展學(xué)生能力、提升核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.