黃秋實，張雅聲，馮 飛

(1.航天工程大學 航天指揮學院，北京 101400；2．中國人民解放軍61646部隊，北京 100085)

隨著航天器和空間碎片的增加，日益擁擠的空間環(huán)境成為各國爭相搶奪的寶貴戰(zhàn)略資源，其中地球同步軌道(GEosynchronous Orbit，GEO)的衛(wèi)星往往承擔著通信、導彈預警、數(shù)據(jù)中繼、廣播等重要任務，具有極高的戰(zhàn)略價值[1]。對地球同步軌道目標的監(jiān)視是空間態(tài)勢感知的重要一環(huán)，關系著國家的太空安全。目前，中國對地球同步軌道目標的探測及監(jiān)視主要依賴于地基光學監(jiān)視系統(tǒng)[2]，地基監(jiān)視系統(tǒng)工作會受到大氣及氣象條件的影響，無法全天時觀測，特別是由于地理和政治因素，中國不具備美國的全球布站條件。相比于地基觀測，天基監(jiān)視系統(tǒng)不受大氣、地理位置的制約，具有觀測距離遠、設備復雜度低、功耗小等優(yōu)勢[3]。美國以光學衛(wèi)星組網(wǎng)構(gòu)建天基空間目標監(jiān)視系統(tǒng)(Space-Based Surveillance System，SBSS)[4]，耗資巨大。中國的天基目標監(jiān)視系統(tǒng)有待發(fā)展?；谛敲舾衅鞯目臻g目標泛在感知即挖掘星敏感器在定姿任務中拍攝的空間目標信息，利用在軌衛(wèi)星數(shù)量多、星敏感器資源豐富的優(yōu)勢，在完成星敏感器定姿任務的同時實現(xiàn)對空間目標的監(jiān)視[5]，可節(jié)約發(fā)射專用監(jiān)視衛(wèi)星組網(wǎng)的高昂成本。

圖1 多星敏感器協(xié)同觀測模型

星敏感器是一種高精度的衛(wèi)星姿態(tài)傳感器，同時具備光學元件。根據(jù)存儲的星表匹配星圖中的恒星，進而確定衛(wèi)星的三軸姿態(tài)，定姿精度可達1″～3″。目前星敏感器僅作為姿態(tài)傳感器應用于航天器。由于星敏感器不同于專用監(jiān)視衛(wèi)星，其固連安裝在衛(wèi)星本體無法主動跟蹤目標，但勢必存在多顆星敏感器視場交疊的時刻。此時，視場中出現(xiàn)的空間目標處于多星敏感器的同步觀測下，如圖1所示。

文獻[5]提出一種基于星敏感器的空間目標監(jiān)視網(wǎng)絡構(gòu)型，并通過仿真驗證了多星敏感器同步觀測空間目標的可行性。文獻[6]提出一種基于星敏感器僅測角數(shù)據(jù)的空間目標定軌方法，該方法的前提是對多星敏感器在相同或不同時刻拍攝的空間目標進行關聯(lián)，將相同目標的測角信息用于后續(xù)計算。當前初始軌道的確定方法(比如改進拉普拉斯方法)至少需要 3 min的連續(xù)測角數(shù)據(jù)方能定出較為精確的軌道。由于太空環(huán)境的復雜性，空間目標的觀測受到光照、遮擋、噪聲等條件制約，將連續(xù)觀測時長不足以確定空間目標初始軌道的航跡段稱為短弧，其觀測時長一般小于180 s。

文獻[7]中提出一種自適應中值濾波方法，能夠較為有效地去除星圖中的椒鹽噪聲，并依據(jù)運動補償算法對星圖中的空間目標、噪點、恒星進行區(qū)分，提取空間目標的質(zhì)心坐標。文獻[8]中根據(jù)同一時刻下多星敏感器協(xié)同觀測幾何構(gòu)型與多目視覺類似，利用對極幾何原理實現(xiàn)空間目標的同步關聯(lián)，在考慮星敏感器的抖動、測角測距誤差、噪聲的基礎上，關聯(lián)準確率可達90%。依據(jù)關聯(lián)結(jié)果，通過最小二乘法來求解空間目標的坐標。文獻[9]能夠以改進拉普拉斯方法確定初始軌道的航跡，利用模糊關聯(lián)原理實現(xiàn)中斷航跡間的關聯(lián)。文獻[10]提出一種基于正弦擬合的空間目標關聯(lián)方法，可區(qū)分來自不同軌道的空間目標，但是航跡間隔超過3 h時關聯(lián)準確率不高，對非地球同步軌道關聯(lián)效果并不好。

為解決光學測量短弧段的初始軌道估計問題，MILANI等[11]提出了容許域的概念，將空間目標按約束條件限制在由測量斜距、斜距變化率構(gòu)成的二維平面內(nèi)，平面中的每一點可代表一條軌道。文獻[12]通過對容許域進行剖分，將其網(wǎng)格化，再從有限的網(wǎng)格節(jié)點搜索出目標初始軌道，進行目標關聯(lián)。該方法有一些明顯的缺陷：容許域的約束條件較為寬松，搜索初始軌道過程繁瑣；在進行多對多的空間目標關聯(lián)時，軌道外推環(huán)節(jié)導致算法復雜度較高，運行時間長；在噪聲下空間目標關聯(lián)的準確率較低[12-13]。

筆者以上述研究為基礎，提出一種基于假設邊值的空間目標短弧關聯(lián)算法，不僅關聯(lián)準確率更高，而且能適用于多種軌道類型的航跡關聯(lián)。利用文獻[8]中的空間目標同步關聯(lián)方法及多星敏感器聯(lián)合定位算法，將僅測角數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成觀測目標的空間坐標，并假設新舊航跡關聯(lián)的所有情況，從新舊航跡中各取觀測點作為邊值，求解假設邊值條件下的目標軌道，再以馬氏距離衡量假設條件下的軌道與實際觀測的相似程度，最終從可能關聯(lián)的閾值中選擇最優(yōu)關聯(lián)結(jié)果。

1 基于假設邊值的空間目標短弧關聯(lián)算法

將間隔一定時長的航跡片段進行關聯(lián)，先觀測的航跡定義為舊航跡，后觀測的航跡定義為新航跡。算法步驟如下：

(1) 獲取m條舊航跡與n條新航跡在J2000坐標系下的位置坐標。

(2) 構(gòu)造m×n的矩陣，其中元素代表以對應舊航跡一點為起點、新航跡一點為終點作為邊界確定的軌道。

(3) 計算基于假設邊值確定的軌道與相應新舊航跡觀測值之間的馬氏距離。

(4) 選擇合適的閾值，小于閾值則接受關聯(lián)假設，相應新舊航跡進行預關聯(lián)；大于閾值則拒絕假設，相應新舊航跡不關聯(lián)。

(5) 進行關聯(lián)多義性處理，僅選擇相似度最高的航跡組合關聯(lián)，保證每條航跡最多與一條其他航跡關聯(lián)。

上述步驟涉及空間目標的同步關聯(lián)、多星敏感器協(xié)同定位、蘭勃特定軌問題求解、基于馬氏距離與卡方檢驗的關聯(lián)判定，基本原理如下。

1.1 基于對極幾何的空間目標同步關聯(lián)方法

在某一時刻，兩臺及以上星敏感器的視線自然交匯時，相當于對重疊視野內(nèi)的目標進行多角度的觀測。由于空間目標距離星敏感器達數(shù)萬公里，因此星圖上的空間目標成像與恒星類似，為不具備細節(jié)特征的亮點。對極幾何描述的是兩視圖內(nèi)在的射影關系。當目標較遠時，將目標抽象為一點，該點在兩個不同視角下像的坐標存在約束關系[8]：

(1)

式(1)為對極幾何約束，p1和p2代表空間目標在星圖上的像素坐標，第三維補1占位。3階方陣F稱為基礎矩陣：

(2)

(3)

F可根據(jù)相機標定原理求解，如式(2)所示。M1，M2分別代表星敏感器相機的內(nèi)參矩陣，由式(3)求解。R，S分別代表兩臺星敏感器的旋轉(zhuǎn)和平移矩陣。星敏感器的相機參數(shù)已知，星敏感器平臺定位誤差在百米內(nèi)，測角誤差在2″內(nèi)，因此每一時刻兩臺星敏感器間基礎矩陣可求解，每一時刻兩星敏感器拍攝空間目標是否關聯(lián)可判定。

式(3)中，fovx×fovy代表相機角度，Nx×Ny代表照片分辨率，f代表相機焦距，dx、dy代表像素的長度和寬度，u0、v0為主點像素坐標。上述變量均已知。

由于存在星圖噪聲、星敏感器抖動、測角測距誤差，關聯(lián)坐標代入式(1)后結(jié)果并不嚴格為零。設定關聯(lián)閾值ε，某一時刻坐標代入式(1)后結(jié)果小于閾值的目標判定為關聯(lián)。重復上述過程，最終整理出所有時刻下，所有空間目標的關聯(lián)結(jié)果[8]。

1.2 多星敏感器協(xié)同定位求解

當同一時刻多星敏感器下的空間目標關聯(lián)問題得到解決時，利用空間目標在同一時刻的多視角觀測，根據(jù)多目視覺原理可求解空間目標的具體位置。本文空間目標的坐標在J2000坐標系中描述。J2000是經(jīng)典的地心慣性坐標系，其X軸指向平春分點，Z軸指向北天極。空間目標位置的確定采用一種基于最小二乘的多星敏感器協(xié)同定位方法[8]。

(4)

方向向量與赤經(jīng)赤緯轉(zhuǎn)換關系為

(5)

(6)

(7)

為求解未知量r(x，y，z)，將其寫成線性方程組的形式，為

A·X=b，

(8)

其中，

上述3N個方程中2N個相互獨立。求解3個未知量，最少需兩個星敏感器觀測才可求解。當N>2時，其解為

X=(ATA)-1ATb。

(9)

1.3 基于假設邊界的蘭勃特問題求解

經(jīng)上述過程，待關聯(lián)空間目標的觀測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成了J2000坐標系下的坐標，且待關聯(lián)航跡的間隔時間已知。這是一個典型的蘭勃特問題，即當已知空間目標起點和終點的位置和運行時間時，可求解起點和終點的運行速度，繼而求解空間目標的運動軌道[14]。BATTIN對此類問題進行了充分的研究。BATTIN法是求解蘭勃特邊界問題的經(jīng)典解法。

圖2 蘭勃特問題幾何關系

圖3 蘭勃特問題轉(zhuǎn)換形式

由圖2所示，蘭勃特問題中若起始位置ri、終點位置rf確定，飛行時間是轉(zhuǎn)移軌道半長軸a的函數(shù)，即

t=f(a，ri，rf) 。

(10)

根據(jù)蘭勃特問題理論，若轉(zhuǎn)移軌道開始和結(jié)束位置p1，p2固定，則|ri|+|rf|和半長軸在運行中不變，轉(zhuǎn)移軌道初始焦點和虛焦點可以不受飛行時間約束，轉(zhuǎn)移軌道形狀不變。

如圖3所示，轉(zhuǎn)換后軌道p2點的真近點角為

(11)

其中，θ為圖2中ri與rf之間的夾角。

飛行時間函數(shù)為

(12)

其中，偏心率為e；μ=398 600.44 m3/s2，代表地球引力常數(shù)。根據(jù)式(12)，可推導出式(13)～(15)：

(13)

(14)

(15)

可通過迭代方法求解y[15]。最終軌道起始位置的速度vi為

(16)

中間量p為

(17)

1.4 基于馬氏距離與卡方檢驗的中斷航跡關聯(lián)判定

從舊航跡取一點作為起點，從新航跡取一點作為終點。若有m條舊航跡，n條新航跡，則共有mn種可能的運動情況；若舊航跡i與新航跡j屬于同一目標，則在相同觀測時刻，軌道上目標的理論位置必與舊航跡i和新航跡j的觀測值接近，航跡的相似度利用馬氏距離衡量[16]。在觀測時刻k，舊航跡i和新航跡j關聯(lián)理論值與觀測值的馬氏距離為

(18)

其中，Σ為協(xié)方差矩陣，可根據(jù)星敏感器的誤差獲得。

求出N個觀測時刻的馬氏距離，并求均值：

(19)

由于可能存在某條新航跡無法與任意一條舊航跡關聯(lián)的情況，因此設置門限d。當新舊航跡平均馬氏距離大于d，則判定為相應新舊航跡不關聯(lián)。門限d的選取參考χ2檢驗法[17]?？臻g目標坐標為三維，應服從三自由度的卡方分布。顯著性水平α=0.01，門限d=11.344。

對任一條航跡，從其滿足門限d的所有候選關聯(lián)航跡中選擇平均馬氏距離最小的航跡判定為關聯(lián)，并保證每條航跡至多有一條關聯(lián)航跡。

2 仿真校驗

2.1 多星敏感器協(xié)同定位精度仿真

利用衛(wèi)星工具包(Satellite Tool Kit，STK)平臺構(gòu)建觀測模型。觀測平臺位于太陽同步軌道，軌道參數(shù)參考美國優(yōu)思科學家聯(lián)盟的觀測數(shù)據(jù)。觀測平臺的軌道傾角范圍為96.8°～98.5°，軌道半長軸為6 778.14 km，偏心率為0，每個平臺正交安裝兩臺視場為2°×2°的星敏感器。觀測目標位于軌道半長軸為42 126.1～42 805.9 km的地球同步軌道，軌道傾角為0°～2°。共進行了200次地球同步軌道目標的協(xié)同定位，計算了空間目標定位坐標與實際坐標的誤差。為模擬任務中星敏感器定姿誤差及平臺自身的位置誤差，對測角、測距數(shù)據(jù)加入噪聲。仿真中設置了3種噪聲水平，(a″，b)意味著對星敏感器的測角數(shù)據(jù)加入均值為零、標準差為a″的高斯白噪聲，對星敏感器的位置矢量加入均值為零、標準差為b的高斯白噪聲。圖4反映了200次計算中空間目標在X，Y，Z軸的定位誤差情況。

(a) X軸誤差

(b) Y軸誤差

(c) Z軸誤差

三軸定位誤差的標準差如表1所示。當噪聲(1″，100 m)增大到(2″，100 m)時，定位誤差改變了0.922 3 km；當噪聲(2″，100 m)時增大到(2″，1 000 m)時，定位誤差僅改變了0.794 4 km。測角誤差多1″，就會對定位結(jié)果產(chǎn)生明顯的影響?？梢妳f(xié)同定位算法對測角誤差更為敏感。星敏感器測角越準，定位精度越高，后續(xù)關聯(lián)效果將越好。

表1 三軸定位誤差的標準差

2.2 空間目標短弧關聯(lián)仿真

采用實測數(shù)據(jù)與仿真相結(jié)合的研究方法，將真實的地球同步軌道數(shù)據(jù)導入衛(wèi)星工具包。軌道半長軸為42 126.1～42 805.9 km，軌道傾角為0°～2°。圖5為2019年12月1日0時在軌533個地球同步軌道目標在J2000坐標系下的分布密度圖，縱軸代表1°×1°區(qū)域內(nèi)空間目標個數(shù)?？芍繕嗽谥袊?、俄羅斯、美國的上空較為密集。據(jù)統(tǒng)計，大多數(shù)地球同步軌道目標分布的赤道緯度接近于0°，且都為近圓軌道，最大偏心率為0.075，其中80%目標的軌道傾角小于1°。

仿真中觀測平臺建立在傾角范圍為96.8°～98.5°、軌道半長軸為6778.14 km、偏心率為0的30個太陽同步軌道上，每個平臺正交安裝兩臺視場為2°×2°的星敏感器，組成空間目標監(jiān)視網(wǎng)。利用衛(wèi)星工具包平臺獲取連續(xù)時刻及對應時刻坐標作為航跡數(shù)據(jù)。根據(jù)節(jié)2.1的結(jié)果對航跡坐標添加噪聲，每組噪聲下共進行了500次的關聯(lián)仿真。定義觀測時長180 s以下的弧段為短弧。為著重突出短弧關聯(lián)效果，選擇觀測時長為50～120 s的航跡數(shù)據(jù)進行關聯(lián)。一般空間目標的重訪時間為20～50 min，可關聯(lián)的航跡間隔時間越長，數(shù)據(jù)的利用率越高。仿真中最大間隔時間為10 h，可滿足絕大部分的中斷航跡關聯(lián)需求。在雙核Intel 2.5 GHz的MacBook pro上，采用Matlab2018a版本進行航跡關聯(lián)仿真。

關聯(lián)性能由真正類(True Positive，TP)、真負類(True Negative，TN)、假正類(False Positive，F(xiàn)P)、假負類(False Negative，F(xiàn)N)4個量來描述，TP指正確關聯(lián)相同目標，TN指正確拒絕不同目標，F(xiàn)P為誤關聯(lián)不同目標，F(xiàn)N指漏關聯(lián)相同目標。圖6所示為基于假設邊值的關聯(lián)算法在不同噪聲條件下的關聯(lián)正確率。隨著間隔時間增加，關聯(lián)準確率呈下降趨勢。根據(jù)現(xiàn)有星敏感器的性能，測角誤差為2″、位置誤差為100 m的噪聲更符合工程應用實際。參考三角記號折線，航跡間隔10 h，關聯(lián)準確率達95%。表2展示了在此噪聲條件下，不同間隔時間下的具體關聯(lián)結(jié)果。

圖5 地球同步轉(zhuǎn)道目標分布密度圖

圖6 關聯(lián)準確率與間隔時間的關系

表2 關聯(lián)結(jié)果統(tǒng)計

仿真中的關聯(lián)門限值d取11.344。若新舊航跡平均馬氏距離大于d，則判定為不相關航跡。門限值與關聯(lián)同一目標的概率有關[18]。門限值取得過小，會將同一目標拒絕，造成漏關聯(lián)；門限值取得過大，則可能將不同的目標誤判為關聯(lián)。關聯(lián)同一目標概率隨門限取值變化如圖7所示，曲線先增大后緩慢減小。由于來自于同一目標觀測數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)的馬氏距離往往比來自不同目標的馬氏距離小，因此達到最大關聯(lián)概率后的下降趨勢相較于上升趨勢平緩得多。

圖8為目標關聯(lián)的可視化展示。圖中3個方塊代表3個觀測時刻，依次間隔為1 h，觀測目標為地球同步軌道目標，成功關聯(lián)的目標用相同標記表示，可知共有4個地球同步軌道目標。地球同步軌道目標繞地心運動的角速度約15°/h，與圖8中地球同步軌道運動狀態(tài)相吻合。

圖7 關聯(lián)概率與閾值的關系

圖8 關聯(lián)結(jié)果示例

3 短弧關聯(lián)算法對比

為測試基于假設邊值的航跡關聯(lián)算法解決短弧關聯(lián)問題的性能，通過仿真從關聯(lián)準確率、運行時間兩個角度，與基于正弦擬合和基于容許域的短弧關聯(lián)算法進行對比。容許域算法通過將目標的軌道限制在測量斜距與斜距變化率的平面的一定范圍內(nèi)，以尋找和觀測值誤差最小的軌道作為初軌，根據(jù)目標的半長軸、軌道傾角等特點可以進一步縮小約束范圍?；谡覕M合的關聯(lián)算法利用同一軌道的赤道經(jīng)緯度的變化，近似正弦分布的規(guī)律，區(qū)分軌道傾角不同的軌道。仿真中添加噪聲為(2″，100 m)的高斯白噪聲，仿真中的關聯(lián)閾值d取11.344。3種算法分別對不同間隔時間進行100次仿真，統(tǒng)計關聯(lián)準確率如圖9所示，并在上述仿真過程中對5、10、30、60個目標同時關聯(lián)的平均運行時間進行計算，如圖10所示。

基于假設邊值的短弧關聯(lián)算法與基于正弦擬合的短弧關聯(lián)算法[10]利用了多星敏感器同步關聯(lián)結(jié)果，融合了多星敏感器的同步觀測數(shù)據(jù)，而容許域方法針對單平臺僅測角數(shù)據(jù)，因此基于容許域方法的關聯(lián)準確率最低，且容許域約束相對寬松。基于容許域方法對每個觀測目標都需要在容許域內(nèi)尋找最優(yōu)初軌，再外推到下一時刻與后一時刻的目標進行關聯(lián)，過程復雜，關聯(lián)時間也是最長的?；谡覕M合的空間目標關聯(lián)算法[10]可以較為便捷地區(qū)分傾角不同的軌道，對于同軌道不同相位或僅軌道高度不同的空間目標需增加額外約束條件，因此難以適應多種軌道類型的目標關聯(lián)，并且隨關聯(lián)間隔時間增加，關聯(lián)準確率下降明顯；由于無須進行軌道確定及軌道外推，運算最快?；诩僭O邊值關聯(lián)算法的運算時間略高于基于正弦擬合關聯(lián)算法，但關聯(lián)準確率在3種算法中最高；從仿真結(jié)果看，當航跡間隔在10 h內(nèi)時，進行關聯(lián)的準確率均比較高。

圖9 準確率的對比

圖10 運行時間對比

4 結(jié) 論

在多星敏感器觀測的空間目標同步關聯(lián)結(jié)果基礎上，使用最小二乘方法將相同時刻多星敏感器觀測的測角數(shù)據(jù)融合，解算出各空間目標在J2000坐標系下的坐標。當星敏感器位置誤差的標準差為100 m、測角數(shù)據(jù)誤差的標準差為2″時，空間目標定位誤差的標準差為1.977 1 km，足以滿足后續(xù)關聯(lián)步驟的精度需求?；诩僭O邊值和基于正弦擬合關聯(lián)算法的應用前提是需至少兩臺星敏感器對空間目標進行觀測，根據(jù)文獻[5]相關研究，90%同步軌道帶目標可被兩臺以上星敏感器同步觀測。

從新舊航跡中各取一點作為邊界，建立所有假設邊界的集合，計算出所有假設邊界條件下空間目標軌道的理論值，并利用馬氏距離與卡方檢驗作為航跡關聯(lián)準則。經(jīng)仿真驗證，當噪聲為(2″，100 m)的高斯白噪聲時，對兩組間隔10 h航跡關聯(lián)的準確率可達95%。與其他短弧關聯(lián)算法相比，基于假設邊值的航跡關聯(lián)算法在關聯(lián)準確率上具有明顯優(yōu)勢，同時保持了較快的運行速度。

仿真中采用的最短觀測僅50 s，無法用常規(guī)軌道確定方法確定初始軌道，符合短弧定義?；诩僭O邊值的航跡關聯(lián)算法實現(xiàn)了因觀測弧段過短無法確定初軌的航跡關聯(lián)問題，而且算法不僅局限于短弧關聯(lián)，對一般的航跡關聯(lián)問題同樣適用。若未來星間鏈路能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星間數(shù)據(jù)共享，則空間目標關聯(lián)的過程可在衛(wèi)星上實現(xiàn)，無需再將大量數(shù)據(jù)下傳回地面。由于衛(wèi)星的運算資源是有限的，因此算法不宜過于復雜。在3種短弧關聯(lián)算法中，基于假設邊值的航跡關聯(lián)算法更有利于實現(xiàn)星上數(shù)據(jù)處理。

考慮到各平臺的實際測量誤差可能有所不同，后續(xù)將對不同平臺的觀測誤差賦予相應的權重，進一步提高空間目標的定位精度。目前，工程中星敏感器僅作為姿態(tài)傳感器應用，通過實測數(shù)據(jù)與仿真軟件相結(jié)合的手段，可為后續(xù)工程應用提供借鑒。隨著新型小視場、高極限星等星敏感器的研發(fā)，后續(xù)將在真實星圖下進一步進行空間目標提取研究。