鄭碩，孫小淳

（中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

“盈不足術(shù)”是我國古代一項(xiàng)非常重要的數(shù)學(xué)成就，它對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展同樣產(chǎn)生過重大影響［1］。在公元前二世紀(jì)初的數(shù)學(xué)書《算數(shù)書》中，就有通過“盈不足術(shù)”計(jì)算面積為一畝的正方形田地邊長的記載［2］。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》中專門有一章介紹“盈不足術(shù)”的各種形式及其應(yīng)用。將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題通過兩次精巧的假設(shè)，轉(zhuǎn)化成盈不足問題的形式，進(jìn)而求解。這種以特定的數(shù)學(xué)模型來處理一大類應(yīng)用問題的方法，正是中算家所擅長的［3］。

基于“盈不足術(shù)”這種“萬能性”，數(shù)學(xué)史家在考察“盈不足術(shù)”時(shí)，傾向于把它描述成是一個(gè)可以不斷擴(kuò)展其運(yùn)用范圍的方法，“盈不足術(shù)”中蘊(yùn)含的是一種“模型化”方法，可用于解決各種數(shù)學(xué)問題。這種樂觀進(jìn)步的編史學(xué)思路大體上也符合“盈不足術(shù)”的一般情況，但在一些特殊情況下，“盈不足術(shù)”在解題上的拓展就出現(xiàn)了問題。本文探討的“蒲莞相生”問題，就屬于這種情況。

“盈不足術(shù)”可以從線性問題拓展到非線性問題的求解，就是一個(gè)典型的編史學(xué)誤讀。錢寶琮認(rèn)為，使用“盈不足術(shù)”求解一次函數(shù)問題時(shí)，這種解法是準(zhǔn)確的；求解非一次函數(shù)時(shí)，得的數(shù)值是所求數(shù)的一個(gè)近似值［4］。李繼閔也認(rèn)為“盈不足術(shù)”解決問題給出線性問題的精確解和非線性問題的近似解［5］。白尚恕同樣指出一次方程問題，以“盈不足術(shù)”計(jì)算，都得確切解，非一次方程問題，所得為近似解［6］。這里所謂“非線性問題”，指的是《九章算術(shù)》中的“蒲莞并生”“良駑相逢”“兩鼠對(duì)穿”等問題。本研究以“蒲莞并生”問題為例進(jìn)行分析。結(jié)果表明，“盈不足”章中的“蒲莞并生”問題并不是非線性問題，而是分段線性問題，所以使用“盈不足術(shù)”求解“蒲莞并生”問題得到的不是近似解，而是精確解。

本文對(duì)《九章算術(shù)》中使用“盈不足術(shù)”求解的二十個(gè)問題入手，對(duì)“盈不足術(shù)”的問題類型作出了劃分，可以分為“一盈一不足”“兩盈”“兩不足”“一盈一適足”“一不足一適足”5種情形［7］。然后對(duì)“盈不足術(shù)”問題的拓展進(jìn)行分析。當(dāng)遇到“蒲莞并生”問題，原來“從線性問題”拓展到“非線性問題”的看法就成問題了。沈康身對(duì)“蒲莞并生”做出了正確的理解，用分段線性函數(shù)來描述蒲莞的生長，解決的還是非線性問題［8］。本文在此基礎(chǔ)上，對(duì)這一問題做更加精細(xì)的解讀，以求對(duì)“盈不足術(shù)”有更加深刻的理解。

1 《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”

《九章算術(shù)》成書于東漢（公元25年到220年）時(shí)期［9］，是一部數(shù)學(xué)問題集，包括246個(gè)問題，并給出了解法。其中第七章叫“盈不足”，里面有20個(gè)問題，都是用“盈不足術(shù)”來解決。其中典型的是前4道題“今有共買物”“今有共買雞”“今有共買琎”和“今有共買?！??！毒耪滤阈g(shù)》中的盈不足問題，

一般地可表示為下列“共買物”的數(shù)學(xué)模型［10］。

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問：人數(shù)、物價(jià)各幾何？

答曰：七人，物價(jià)五十三。［11］288

今有共買雞，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。問：人數(shù)、雞價(jià)各幾何？

答曰：九人，雞價(jià)七十。［11］288

今有共買琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。問：人數(shù)、琎價(jià)各幾何？

答曰：四十二人，琎價(jià)十七。［11］288

今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。問：家數(shù)、牛價(jià)各幾何？

答曰：一百二十六家，牛價(jià)三千七百五十。［11］289

《九章算術(shù)》給出的標(biāo)準(zhǔn)“盈不足”術(shù)文為：

置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并以為實(shí)。并盈、不足為法。實(shí)如法而一。有分者，通之。盈不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，余，以約法、實(shí)。實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)。其一術(shù)曰：并盈、不足為實(shí)。以所出率以少減多，余為法。實(shí)如法得一人。以所出率乘之，減盈、增不足即物價(jià)。［11］291－292

設(shè)兩次付錢數(shù)（所出率）分別為a1和a2，盈（多余錢數(shù)）、不足（缺少錢數(shù)）分別為b1和b2?！爸盟雎?，盈、不足各居其下”，即矩陣維乘”也即交叉相乘，“并以為實(shí)”就是將交叉相乘的結(jié)果相加a1b2+a2b1作被除數(shù)；“并盈、不足為法”是將盈數(shù)和不足數(shù)相加b1+b2作除數(shù)；“實(shí)如法而一”即就是“不盈不朒”時(shí)每人要出的錢數(shù)。

“置所出率，以少減多”是以兩次假設(shè)人均出錢數(shù)a1和a2作差，|a1－a2|；“余，以約法、實(shí)。實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)”是以|a1－a2|為除數(shù)，將“實(shí)”a1b2+a2b1和“法”b1+b2代入算式；便得到物品價(jià)錢為和買家人數(shù)為將a1，a2，b1，b2代入算式，即得物品價(jià)錢和買家人數(shù)。“其一術(shù)”即另一種方法是用較大的“所出率”乘以人數(shù)需要“減盈”，以較小的“所出率”乘以人數(shù)則需要“增不足”。即物價(jià)同樣可以求得物品價(jià)錢。

上述實(shí)際為“盈不足”問題的一般解法的代數(shù)表達(dá)?？紤]到實(shí)際解題過程是一個(gè)試驗(yàn)值的過程，會(huì)出現(xiàn)“一盈一不足”型、“兩盈”型、“兩不足”型、“一盈一適足”型、“一不足一適足”型5種情形，分別對(duì)應(yīng)于b1＞0，b2＞0；b1＞0，b2＜0；b1＜0，b2＞0；b1＞0，b2=0；b1＜0，b2=0的情況?！毒耪滤阈g(shù)》對(duì)上述五種情況都給出了例題?！耙挥徊蛔恪毙途褪巧厦媪信e的第1題至第4題。

“兩盈”型的例題是第5題“今有共買金”，“兩不足”型的例題是第6題“今有共買羊”。

今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問：人數(shù)、金價(jià)各幾何？

答曰：三十三人，金價(jià)九千八百。［11］294

今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問：人數(shù)、羊價(jià)各幾何？

答曰：二十一人，羊價(jià)一百五十。［11］294

對(duì)這兩種情況《九章算術(shù)》給出的解法術(shù)文為：

兩盈、兩不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，余為實(shí)。兩盈、兩不足以少減多，余為法。實(shí)如法而一。有分者，通之。兩盈兩不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，余，以約法、實(shí)，實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)。其一術(shù)曰：置所出率，以少減多，余為法。兩盈、兩不足以少減多，余為實(shí)。實(shí)如法而一，得人數(shù)。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價(jià)。［11］294－295

依據(jù)術(shù)文，可知解“兩盈”“兩不足”型問題的公式為

式（1）、（2）、（3）分別表示每人要出的錢數(shù)、物品價(jià)錢、買家人數(shù)。這三個(gè)公式實(shí)際就是針對(duì)兩個(gè)特殊情況把上述典型的解式重新表達(dá)一下。

“一不足一適足”型的例題是第7題“今有共買犬”，“一盈一適足”型的例題是8題“今有共買豕”。

今有共買犬，人出五，不足九十；人出五十，適足。問：人數(shù)、犬價(jià)各幾何？

答曰：二人，犬價(jià)一百。［11］297

今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問：人數(shù)、豕價(jià)各幾何？

答曰：一十人，豕價(jià)九百。［11］297

同樣地，《九章算術(shù)》也給出了這兩種類型問題的術(shù)文：

盈適足、不足適足術(shù)曰：以盈及不足之?dāng)?shù)為實(shí)。置所出率，以少減多，余為法。實(shí)如法得一人。其求物價(jià)者，以適足乘人數(shù)，得物價(jià)。［11］297

依據(jù)術(shù)文，可知解“一不足一適足”“一盈一適足”型問題的公式為

式（4）（5）分別表示物品價(jià)錢、買家人數(shù)。因?yàn)檫m足的正是人均出錢數(shù)，所以每人要出的錢數(shù)就是a2。因?yàn)樵凇毒耪滤阈g(shù)》中并沒有明確零的概念，本文表述使用的a1、a2、b1、b2均為正數(shù)，且都是以少減多。如果引入負(fù)數(shù)，用負(fù)的盈數(shù)表示不足，負(fù)的不足表示盈，再用零表示適足，那么，上述5種類型就可以統(tǒng)一化歸到第1種類型即標(biāo)準(zhǔn)的“盈不足”公式求解。

2 “盈不足術(shù)”問題的拓展

上述8道例題中第1題至第4題即是標(biāo)準(zhǔn)的“一盈一不足”型問題，第5題至第8題分別是“兩盈”型、“兩不足”型、“一不足一適足”型、“一盈一適足”型問題。這8道題目都符合盈不足問題的基本形式，數(shù)理關(guān)系簡單明了，都有明確的兩次假設(shè)及相應(yīng)的結(jié)果，依據(jù)術(shù)文即可方便求解，可以說是“盈不足術(shù)”的“范型”問題，亦可稱作“盈不足術(shù)”的“本術(shù)”問題。本文認(rèn)為這應(yīng)是《九章算術(shù)》為拓展使用“盈不足術(shù)”所做的“模型”，為的是對(duì)號(hào)入座，將一般問題都劃歸為這5個(gè)“模型”解法。

通常求解數(shù)學(xué)問題的方法是依據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)，一步步推演得到結(jié)果。因?yàn)槊恳活悊栴}有其特殊的思維過程，碰到新問題如果不得要領(lǐng)，新問題就如同“黑箱”。但對(duì)于一個(gè)一般的數(shù)學(xué)問題，先假設(shè)一個(gè)結(jié)果，代入題目中驗(yàn)算，肯定是盈、不足、適足三種情況之一。只需要通過兩次假設(shè)，就可以把原來的問題劃歸為“盈不足”問題再進(jìn)行求解，而無須考慮題目中紛繁的數(shù)量關(guān)系。就如“黑箱”，雖然不能觀察其內(nèi)部的系統(tǒng)狀態(tài)，但只用分析其輸入、輸出變量，依然可以確定其結(jié)構(gòu)參數(shù)。

《九章算術(shù)》“盈不足”章里接下來列舉的12道例題，就是將一般的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)“盈不足”問題來處理。即，雖然所舉例題不符合“盈不足術(shù)”的“范型”問題的形式，但仍可利用兩次假設(shè)將其劃歸為“盈不足術(shù)”的“本術(shù)”問題。錢寶琮主張非標(biāo)準(zhǔn)“盈不足”問題可分為四類“：互換”類，簡單的比例問題（第9題、第15題）；“合率”類，分工合作問題（第10題）；“推解”類問題（第13題、第16題、第17題、第20題）“蒲莞”類問題（第11題、第12題、第19題）；“方程”類，方程本術(shù)問題（第14題、第18題）［12］。這里分別列舉說明：

“盈不足”章第15題。

今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和余漆。問：出漆、得油、和漆各幾何？

答曰：出漆一斗一升四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升四分升之三。［11］305

術(shù)曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升。［11］306

題意是知道3份漆可換得4份油，4份油可調(diào)和5份漆，現(xiàn)在有3斗漆，要用其中一部分換油，再用換來的油調(diào)和剩余的漆，問換油要多少漆，換得多少油，又調(diào)和了多少漆？按照術(shù)文，3斗就是30升，假設(shè)出9升漆，則可以換得12升油，調(diào)和15升漆，但30升漆出9升還余21升，15升漆有油可以調(diào)和，有6升漆沒有油可以調(diào)，所以是不足6升；再假設(shè)出12升漆，則可以換得16升油，調(diào)和20升漆，但30升漆出12升還余18升，而所換得的油可以調(diào)和20升漆，所以是多余2升。代入盈不足公式得應(yīng)出漆得油1升，和漆

“盈不足”章第10題。

今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺。問：幾何日相逢？瓜、瓠各長幾何？

答曰：五日十七分日之五，瓜長三尺七寸一十七分寸之一，瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。［11］299

術(shù)曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有余一尺二寸。［11］299

題意是知道有墻高9尺，瓜蔓自墻頂向下延伸，每日長7寸，葫蘆自墻角向上生長，每日長1尺，問幾日后兩者相遇，各自長了多少？按照術(shù)文，假設(shè)5日瓜、瓠相遇，瓜蔓生長5日長度是3.5尺，葫蘆生長5日長度是5尺，和9尺的墻相比少了5寸，這就是不足5寸；再假設(shè)6日瓜、瓠相遇，瓜蔓生長6日長度是4.2尺，葫蘆生長6日長度是6尺，和9尺的墻相比多了1.2尺，所以有余1.2尺。代入盈不足公式得相遇日數(shù)日，瓜長度尺，亦即3尺寸，瓠長度亦即5尺寸。

“盈不足”章第13題。

今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問：醇、行酒各得幾何？

答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。［11］303

術(shù)曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。［11］303

題意是知道醇酒每斗值50錢，行酒每斗值10錢，用30錢買2斗酒，醇酒和行酒各買多少？按照術(shù)文，醇酒5錢1升，行酒1錢1升。假設(shè)買5升醇酒、15升行酒，那么總價(jià)是5×5+1×15=40錢，盈10錢；再假設(shè)買2升醇酒，18升行酒，總價(jià)是5×2+1×18=28錢，不足2錢。代入盈不足公式得升，即買醇酒升，買行酒升。

“盈不足”章第14題。

今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛。問：大、小器各容幾何？

答曰：大器容二十四分斛之十三，小器容二十四分斛之七。［11］303

術(shù)曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。［11］304

題意是知道5件大器，1件小器容量是3斛，1件大器，5件小器容量是2斛，問1件大器和1件小器容量各是多少？按照術(shù)文，3斛就是30斗，先設(shè)大器容量是5斗，根據(jù)已知條件一，則小器容量是30－5×5=5斗，推得1件大器，5件小器容量是30斗，較已知條件二余了10斗；再假設(shè)大器容量是5.5斗，按已知條件一得小器容量是30－5×5.5=2.5斗，推得1件大器，5件小器容量是18斗，較已知條件二不足2斗。代入“盈不足”公式得大器容量是斛，小器容量是亦即斛。

從以上幾題可以看出，題目中的已知條件和問題之間的關(guān)系并不十分明顯，甚至有些錯(cuò)綜復(fù)雜，但并不妨礙使用兩次巧妙的假設(shè)將題目轉(zhuǎn)化為“盈不足”問題，然后套用公式進(jìn)行求解，“盈不足術(shù)”的運(yùn)用由此得到了拓展。

3 “蒲莞并生”問題對(duì)“盈不足術(shù)”拓展的性質(zhì)

一般認(rèn)為，用“盈不足術(shù)”解數(shù)學(xué)問題，只有在求解一元一次方程的問題時(shí)，才能求出精確解。以現(xiàn)代的代數(shù)式表示

即如果假設(shè)x為所求的數(shù)，依照題目中所示的條件，通過兩次假設(shè)，算出f(a1)=b1和f(a2)=－b2代入公式（7）得

很明顯，如果問題屬于線性問題，f(x)就是通過(a1，b1)和(a2，－b2)的直線，其與x軸的交點(diǎn)就是f(x)的根；而為非線性問題時(shí)，通過(a1，b1)和(a2，－b2)的直線與x軸的交點(diǎn)并不是f(x)的根，“盈不足術(shù)”實(shí)際上是一種線性插值的方法，這種解法得到的結(jié)果只可能是近似解。

且看“盈不足”章第11題“蒲莞并生”問題。

今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。問：幾何日而長等？

答曰：二日十三分日之六，各長四尺八寸一十三分寸之六。［11］301

術(shù)曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半。［11］301

題意是知道蒲草第1日長高3尺，莞草第1日長高1尺，之后蒲草每日長高數(shù)是前一日的一半，而莞草是前一日的兩倍，問兩種植物多少日高度相等？按照術(shù)文，假設(shè)2日高度相等，則蒲草生長了4.5尺，莞草生長了3尺，相差1.5尺，所以是不足一尺五寸；再假設(shè)3日高度相等，則蒲草生長了5.25尺，莞草生長了7尺，超過1.75尺，這就是有余一尺七寸半。代入盈不足公式得長度相等日數(shù)日，各自高度尺，亦即4尺寸。

即這是一個(gè)指數(shù)方程，并非是一元一次方程，借助對(duì)數(shù)可求得x=log26≈2.59日，與“盈不足術(shù)”所得的解略有不同。這樣理解，“盈不足術(shù)”看起來是拓展到了“非線性問題”的求解，只不過所得解為近似解。

然而實(shí)際情況并非如此。其實(shí)關(guān)于“蒲莞并生”問題，“蒲生日自半，莞生日自倍”意思蒲和莞每日都是等速率生長的。即蒲第1日生長速率恒為3，第2日生長速率恒為第3日生長速率恒為莞第1日生長速率恒為1，第2日生長速率恒為2，第3日生長速率恒為4……其累加生長高度圖像是離散階梯式的，并非是連續(xù)的光滑曲線，如圖1所示。

圖1 蒲莞累加生長高度折線圖Fig.1 Line graph of cattail and bulrush accumulated growth height

所以“蒲莞并生”問題正確的解應(yīng)該是

其中L1為蒲生長長度，L2為莞生長長度。蒲和莞應(yīng)該在2＜x＜3時(shí)長度相等，列出方程1+2+22(x－2)，解得日［8］，因?yàn)樵谶@一段是線性方程，所以按照盈不足術(shù)求解可以得到日的精確解。

沈康身還指出，對(duì)于等比級(jí)數(shù)和等差級(jí)數(shù)來講，非正整數(shù)的項(xiàng)數(shù)在數(shù)學(xué)上是無意義的［8］。因此“蒲莞并生”問題根本不能用上述指數(shù)方程求解，需進(jìn)一步分析。判斷《九章算術(shù)》中問題的解題過程，不能僅依據(jù)“術(shù)曰”所說的方法。實(shí)際解題過程，應(yīng)該比“術(shù)曰”所講的更復(fù)雜，“術(shù)曰”很可能隱藏了一些中間的“試錯(cuò)”過程。

不妨來想象一下“試錯(cuò)”過程，分三種情況：

第一種情況：假令一日，不足兩尺；令之二日，不足一尺五寸。這樣這個(gè)問題就對(duì)應(yīng)上述的“兩不足”型問題，如第6題。照此求得的解為：

第二種情況：假令一日，不足兩尺；令之三日，有余一尺七寸半。這同“術(shù)曰”一樣，對(duì)應(yīng)的是“一盈一不足”型問題，如第1題至第4題，但假設(shè)的天數(shù)不一樣。答案是：

第三種情況：假令三日，有余一尺七寸半；令之四日，有余九尺三寸四分寸之三。對(duì)應(yīng)的是“兩盈”型問題，如第5題，則答案應(yīng)該是：

上面三種假設(shè)情況應(yīng)是在解題過程中可能出現(xiàn)的情況，但是得到的解與正確解大相徑庭，問題就在于：在假設(shè)的區(qū)間內(nèi)，蒲莞的高度變化根本不是線性的，而運(yùn)用只能用于求解線性問題的“盈不足術(shù)”求解，當(dāng)然會(huì)出問題。根據(jù)上面的數(shù)學(xué)式表述，“蒲莞并生”實(shí)際上是一個(gè)“分段線性問題”。《九章算術(shù)》“術(shù)曰”給出的解法，兩個(gè)“假令”值已經(jīng)處在其中一段線性區(qū)間，這時(shí)，問題已經(jīng)變成了“線性問題”，解就在這個(gè)區(qū)間中，因而解是精確的。實(shí)際解題不可能一次就到這一步，前面可能的“試錯(cuò)”過程被隱藏了。

4 結(jié)語

《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”構(gòu)造了解決一般數(shù)學(xué)問題的算法基礎(chǔ)，在運(yùn)用代數(shù)方法解決問題有困難時(shí)，這種利用兩次假設(shè)與結(jié)果對(duì)比的“雙設(shè)法”把表面非盈不足型問題劃歸為盈不足型問題然后再求解，為解決數(shù)學(xué)問題拓展了新思路。“盈不足術(shù)”是中國數(shù)學(xué)史上解應(yīng)用問題的一種別開生面的創(chuàng)造，它在我國古代算法中占有相當(dāng)重要的地位［13］。這種方法無疑是可以拓展到解決非線性問題的，但同時(shí)必須對(duì)非線性變化的細(xì)節(jié)有所分析。

本文分析的“蒲莞并生”問題，過去的研究者可能出于對(duì)“盈不足術(shù)”的自信，就直接認(rèn)為《九章算術(shù)》已經(jīng)把“盈不足術(shù)”拓展到非線性的問題解決了。但經(jīng)仔細(xì)分析表明，“蒲莞并生”問題并不是嚴(yán)格的“非線性問題”，而是分段的“線性問題”。當(dāng)試解值接近真值到一定區(qū)間時(shí)，在那個(gè)區(qū)間中就是“線性問題”，使用“盈不足術(shù)”求解的“蒲莞并生”問題仍然是線性問題，而并不是非線性問題。這樣，對(duì)《九章算術(shù)》使用“盈不足術(shù)”解決問題的范圍，就有了更加準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。