羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特010022）

因數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教師對中算史的認(rèn)識和應(yīng)用各有側(cè)重，將歷史的研究同現(xiàn)代發(fā)展聯(lián)系起來不乏成功的先例：吳文俊先生發(fā)掘宋元數(shù)學(xué)、揭示數(shù)學(xué)機(jī)械化的內(nèi)涵，應(yīng)用于機(jī)器證明，是古為今用的典范，彰顯出數(shù)學(xué)史研究的目的。本文舉出中算史8個例子，說明后人從區(qū)組設(shè)計(jì)和組合計(jì)數(shù)如何認(rèn)識、應(yīng)用和發(fā)展這些傳統(tǒng)題材。

1 洛書與拉丁方：組合設(shè)計(jì)應(yīng)用正交拉丁方構(gòu)造幻方

20世紀(jì)60年代以來興起的組合數(shù)學(xué)（combinatorial mathematics，combinatorics），是伴隨計(jì)算機(jī)科學(xué)而發(fā)展的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，當(dāng)年有影響的《組合數(shù)學(xué)》（1962）在介紹書名時寫道：“這是一門起源于古代的數(shù)學(xué)學(xué)科。據(jù)傳說中國皇帝禹（約公元前2200年）在一個神龜?shù)谋成嫌^察到縱橫圖?！保?］圖1所示的數(shù)字方陣為“洛書”，即三階幻方。洛書成為現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)起源的標(biāo)志，在國際上得到公認(rèn)。

圖1 洛書Fig.1 Luoshu

幻方的一種實(shí)數(shù)類比稱為雙隨機(jī)矩陣，應(yīng)用它可以找出達(dá)到最佳經(jīng)濟(jì)效益的多因素配置方案?，F(xiàn)代對幻方的研究，有奇數(shù)幻方、素?cái)?shù)幻方、級數(shù)幻方、雙重幻方（不僅行、列、對角線的和一定，而且它們的積也一定）［2］、復(fù)數(shù)幻方、優(yōu)美幻方等等，還向三維發(fā)展，討論幻體的構(gòu)造［3］。國際上對幻方功能、富蘭克林幻方等都有研究。

歐洲中世紀(jì)將撲克牌中A、K、Q、J四種16張牌排列成方形，使得每橫行、每縱列均包含這四種牌，這種方陣即拉丁方。其實(shí)這種排法至遲戰(zhàn)國時就出現(xiàn)在玄戈占星表上［4］（圖2）。

圖2 玄戈占星表構(gòu)成一個四階拉丁方Fig.2 Xuange astrology table forms a fourth order Latin square

在組合數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容區(qū)組設(shè)計(jì)（block design，BD）中，正交拉丁方成為西方的興趣點(diǎn)之一，例如1960年構(gòu)造出高階正交拉丁方，歐拉關(guān)于三十六軍官問題的猜想不成立①，轟動一時。而幻方研究一般卻歸于代數(shù)學(xué)［5－6］。

幻方構(gòu)造在中國既是一個古老的神秘課題，又是一個現(xiàn)代的研究對象［7－8］，有較多論著［9］。但一般未從組合數(shù)學(xué)BD的角度提出和解決問題。其實(shí)幻方與拉丁方有密切聯(lián)系。新近的研究表明，可通過構(gòu)造兩正交6m+3階拉丁方，將其組合而獲得6m+3階全對稱幻方，說明幻方與正交拉丁方存在內(nèi)在聯(lián)系，幻方能夠成為BD研究的一個新領(lǐng)域。

2 萊布尼茲怎樣看卦序與方位：伏羲六十四卦的對稱結(jié)構(gòu)

邵雍六十四卦方位圖（圖3）中，方圖的排序在諸本易卦中獨(dú)樹一幟，各卦彰顯出數(shù)字性質(zhì)。孫小禮［10］等學(xué)者的論文提到萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646—1716）在《二進(jìn)算術(shù)》（1679）中建立了二進(jìn)制的表示及運(yùn)算，1703年他給法國科學(xué)院提交“關(guān)于僅用0與1兩個符號的二進(jìn)制算術(shù)的說明，并附其應(yīng)用以及據(jù)此解釋古代中國伏羲圖的探討”。萊布尼茲將陰爻和陽爻與0和1對等，是發(fā)現(xiàn)這種對等關(guān)系的第一人。如果應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析易卦的卦序，以此為切入點(diǎn)，用二進(jìn)制的視角去研究易卦的性質(zhì)，這正是萊布尼茲方法的要點(diǎn)。要透徹認(rèn)識易經(jīng)，二進(jìn)制數(shù)學(xué)是一有力的工具。

圖3 伏羲六十四卦方位圖Fig.3 Fu Xi’s sixty-four hexagrams position map

現(xiàn)將邵雍所繪伏羲六十四卦方位圖（圖3）中的方圖按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°，得到一個菱形圖（圖4）：63乾在上，0坤在下，左07為否，右56為泰。垂直的乾坤軸與水平的否泰軸相交于菱圖的中心。然后按萊布尼茲二進(jìn)制，算出各卦位的卦值。如：

圖4 邵雍先天圖的中心方圖Fig.4 The central square of Shao Yong’s congenital chart

今本周易的卦位、卦名、卦值依序?yàn)椋?乾63，2坤0，3屯34，4蒙17，…，64未濟(jì)21。菱圖中在63的位置填入1，在0的位置填入2，…，在21的位置填入64。然后將1—2，3—4，…，63—64連接起來，得到周易卦序的結(jié)構(gòu)圖（圖5），本文稱其為邵雍先天二進(jìn)卦值菱圖（簡稱菱圖）。

菱圖具有三種基本置換和對應(yīng)，每種都決定了一個二元組（或有序?qū)Γ７治鰰l(fā)現(xiàn)圖5的映射和對應(yīng)關(guān)系，例如隨38?25蠱隨38?52歸妹隨38?11漸離45?18坎益35?28恒；等等。這說明乾坤軸與否泰軸的對等性。用二進(jìn)卦值表示的邵雍先天菱圖具有許多明顯的數(shù)學(xué)性質(zhì)，用細(xì)線將上述三種對應(yīng)連接起來，就構(gòu)成直觀的、對稱的幾何圖像；對縱、橫、斜線兩端的數(shù)字分別做四則運(yùn)算，能得到許多相仿而有趣的結(jié)果，此不詳論。于是，今本周易卦序結(jié)構(gòu)的真相完整地展現(xiàn)在世人面前［11］。周易的卦序呈現(xiàn)出優(yōu)美的對稱性和完備的均衡性，全部有序?qū)串嫵鲐孕虻慕Y(jié)構(gòu)，展示了深奧的易理意境和高超的構(gòu)造方法。因此可以提出“易經(jīng)卦序結(jié)構(gòu)”的概念。卦序可以轉(zhuǎn)換為形象的對稱結(jié)構(gòu)意味著什么？這給易理研究提出一個新課題。

圖5 周易卦序的對稱結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Symmetrical structure diagram of hexagram order in the Change Book

3 徐利治和高爾德如何將朱世杰-范德蒙公式拓展為現(xiàn)代研究

1923年錢寶琮“朱世杰垛積術(shù)廣義”［12］將《四元玉鑒》中一個垛積恒等式推廣，表述成現(xiàn)代形式——卷積型組合恒等式，后來形成了現(xiàn)代計(jì)數(shù)組合論中使用的術(shù)語“the Chu-Vandermonde formula”，即“朱世杰-范德蒙公式”，它是組合計(jì)數(shù)論的一個基本公式。

朱世杰《四元玉鑒》“茭草形段”第4題給出的關(guān)系利用組合與求和符號可表示為

而《四元玉鑒》“果垛疊藏”第6題可表示為

將上兩式推廣，獲得

現(xiàn)代科學(xué)史學(xué)科的奠基人、科學(xué)史家喬治·薩頓（G.Sarton）在他的名著《科學(xué)史導(dǎo)論》［13］中將錢先生總結(jié)的這一公式介紹到西方，1955年李約瑟的《中國的科學(xué)與文明》［14］第3卷數(shù)學(xué)中也引用了這一結(jié)果，西方數(shù)學(xué)家通過這一傳播渠道了解到朱世杰的工作。

算法和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的先驅(qū)者、美國斯坦福大學(xué)教授克努特（Donald E.Knuth，中文名高德納）在其榮獲圖靈獎的名著《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》［15］中，第59頁講“the Chu-Vandermonde formula”，指明朱世杰的組合公式在先，在第70頁還留了一道題目，要求證明“朱-范公式”。在國際組合數(shù)學(xué)界，“朱-范公式”已成為一個基本公式。

徐利治介紹朱-范公式的現(xiàn)代發(fā)展［16］，其中有他和美國高爾德（H.W.Gould）的成果。二百多年來，朱-范公式已有Rothe（1793），Gauss，Hagen（1891），Gould（1956），Handa和Mohanty（1969）等人的多種擴(kuò)充，應(yīng)用甚廣。從歷史上看，德國數(shù)學(xué)家高斯（Karl Friedrich Gauss，1777—1855）研究超比例級數(shù)時曾將類似的卷積關(guān)系推廣到復(fù)數(shù)的情形［17］，被稱為“Gauss-Vandermonde”公式。Rothe-Hagen-Gould的卷積型恒等式可寫成［18－19］

其中，Hagen的恒等式為［20］

有多種卷積公式均可由朱-范公式推廣而獲得，此不一一列舉和證明。注意到組合數(shù)學(xué)界感興趣的事實(shí)——?dú)v來公認(rèn)為Rothe-Hagen-Gould卷積型恒等式是朱-范公式的“非平凡推廣”（non-trivial extension），這里有必要說明，只需利用Hsu-Gould inversion［21］（徐利治-高爾德反演）公式，即可證明（4）式可由朱-范公式推證。說明（4）式實(shí)質(zhì)上仍與原始的朱-范公式等價，詳見文獻(xiàn)［18，21］。

4 Chinese Game of Nim：博弈論、圖論一個深奧的游戲模型

在古代數(shù)學(xué)書中數(shù)學(xué)游戲雖不見記載，但一些特殊的游戲確實(shí)包含了深奧的數(shù)學(xué)內(nèi)容。我國民間流傳一種二人數(shù)學(xué)游戲，其規(guī)則如下：有k堆物件，每堆物件數(shù)量不同，兩人輪流從中拿取，每次只能在其中一堆中至少取一個，至多取一堆，最后誰取完誰勝（或負(fù)）。k=3時北方叫作“抓三堆”；南方叫“擰法”或“翻攤”；國外稱為Chinese game of Nim［22］、simple game of Nim或Fan Tan［23］，表明這種游戲源于中國。Nim游戲從古代流傳至今，閃耀著先人智慧之光，現(xiàn)已遍及世界，引起了數(shù)學(xué)界的興趣和重視。

Nim作為數(shù)學(xué)游戲的名稱，在西方不遲于15世紀(jì)。美國人弗蘭克爾（A.S.Frankel）認(rèn)為Nim是世界上最古老的游戲，它起源于幾千年前的東方［24］。穆爾（E.H.Moore）提出了一種p階Nim，成為圖論Nim型對策第三定理的主要例子［23］。

可利用求布爾和來尋找Nim的制勝方法如下：將三堆的數(shù)目例如11，22，29，用二進(jìn)制表示出來（圖6），規(guī)定一種特殊的加法，即1加1為0，1加0為l，0加0仍為0。叫“點(diǎn)加”或“模2加”，加出來的和叫作“點(diǎn)和”或“布爾和”，這種加法在研究群、環(huán)、域的近世代數(shù)或邏輯代數(shù)中很有用。

圖6 二進(jìn)制數(shù)字的加法Fig.6 Addition of binary numbers

如果規(guī)定誰取最后1個誰輸，那么甲方取出的數(shù)字一定要保證所余三堆數(shù)字的布爾和為0，輪到乙方來取時，無論他取出多少，只要甲方步步不錯（即布爾和總保持為0），等待乙方的必然是取最后1個，失敗。

百年來隨著數(shù)論、近世代數(shù)、邏輯代數(shù)、特別是對策論、圖論和組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，當(dāng)用新的眼光觀察Nim時，它作為一種數(shù)學(xué)模型，又給人以新的啟示。于是Nim升格為一個新的數(shù)學(xué)名詞，開始在數(shù)學(xué)論文和專著中出現(xiàn)。

在圖論中Nim受到重視。法國貝爾熱（C.Berge）在《圖論及其應(yīng)用》（The Theory of Graphs and its Applications，1962）中開辟第六章介紹“在一個圖上的對策”，主要就是定義“Nim型對策”，這里的對策，即游戲或博弈（game）。這個圖不能有由首尾相接的有向邊所組成的圈，不然游戲就有可能無限進(jìn)行下去。經(jīng)過嚴(yán)格定義的Nim型對策，揭示了Nim的特性，擴(kuò)展了Nim的外延，使得一些圖的游戲、撲克游戲、數(shù)字游戲等都?xì)w于這一類。“抓三堆”Nim就成為一特例。從Nim型對策還可引出四個定理，能夠保證制勝的結(jié)局，此不贅言。

Nim制勝方案如表1，可視為Nim三元系。拓展的研究表明［25］：與斯坦納三元系相同。限于篇幅，這里不再對斯坦納（J.Steiner，1796—1863）三元系進(jìn)行說明。Nim制勝方案變成了一個區(qū)組設(shè)計(jì)的結(jié)果。特別有趣的是，它恰為科克曼（T.P.Kirkman，1806—1895）在1851年所給出的著名的“十五個女學(xué)生問題”的排列方案（只是區(qū)組順序有別）。這當(dāng)然不僅僅是巧合，中國古代Nim包含有深奧的數(shù)學(xué)道理，在組合數(shù)學(xué)中具有基本的重要性，其規(guī)則的簡明性與內(nèi)涵的深刻性互為表里，自相輝映。

表1 “抓三堆”Nim制勝方案Tab.1 Nim winning plan

5 明代王文素《算學(xué)寶鑒》“三同六變”題與科克曼“女生問題”

王文素（1465？—？），字尚彬，山西汾州（今汾陽市）人，明代數(shù)學(xué)家，1524年完成巨著《新集通證古今算學(xué)寶鑒》12本42卷，近50萬字，所惜當(dāng)時未能出版。民國年間由北京圖書館于舊書肆中發(fā)現(xiàn)一藍(lán)格抄本，收購入藏。1993年，王文素《算學(xué)寶鑒》抄本影印版由《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷》［26］刊出。2008年，《算學(xué)寶鑒校注》［27］由科學(xué)出版社出版，標(biāo)志著對王文素的研究進(jìn)入一個新階段。

《算學(xué)寶鑒》中有一問題“三同六變”（圖7）：“假令二十四老人，長者壽高一百，次者遞減一歲，止于七十七。共積總壽二千一百二十有四。卜①卜，占卜。用占卜的方法確定聚會的地址。會三社，八老相令（會）七百八歲，蓋因人情逸順，散而復(fù)令（會），更換六次，其積仍均七百有八，此見連用之道。”

該題意即：有m=2nk=24位老人聚會，年齡從100歲到77歲，依次相差1歲，共2 124歲。2k=8人分到一“社”（組，S），共有n=3組，每組年齡和皆p=708歲；3組為一變局（T）。問能編成多少不同組（S）？能構(gòu)成多少相異局（T）？

他給出的6種答案繪在圖7中，最后他說道：“其變尤多，不及備載”，明確指出求變局之?dāng)?shù)很難，這就提出了“王文素問題”，須找出共有多少種方案。

圖7 王文素《算學(xué)寶鑒》“三同六變”圖文Fig.7 The diagram and text of“Three sames and six changes”in Wang Wensu’s Suan Xue Bao Jian

這是一種復(fù)雜約束條件下的組合問題，李培業(yè)［28］②“李珍”是李培業(yè)署名。較早認(rèn)識到它的組合性質(zhì)。筆者認(rèn)為，“王文素問題”可分為三類子問題：連續(xù)數(shù)組、偶數(shù)組和奇數(shù)組問題（不詳論），運(yùn)用組合方法，可以得到［29］：

組（1）：｛78，80，82，88，90，94，96，100｝；組（10）：｛78，82，84，86，90，92，96，100｝；

組（2）：｛78，80，84，88，90，92，96，100｝；組（11）：｛78，80，84，86，90，94，96，100｝；

組（3）：｛78，82，84，88，90，92，94，100｝；組（12）：｛78，80，82，86，92，94，96，100｝；

組（4）：｛78，80，82，84，92，94，98，100｝；組（13）：｛80，82，84，88，90，92，94，98｝；

組（5）：｛78，80，82，86，90，94，98，100｝；組（14）：｛78，82，84，88，90，92，96，98｝；

組（6）：｛78，80，84，86，90，92，98，100｝；組（15）：｛78，80，84，88，90，94，96，98｝；

組（7）：｛78，80，86，88，90，92，96，98｝；組（16）：｛80，82，84，86，90，92，96，98｝；

組（8）：｛78，82，86，88，90，92，94，98｝；組（17）：｛78，82，84，86，90，94，96，98｝；

組（9）：｛80，82，86，88，90，92，94，96｝；組（18）：｛78，80，84，86，92，94，96，98｝。當(dāng)然這不是全部，還可以找到許多連續(xù)數(shù)組和奇數(shù)組。

王文素問題產(chǎn)生于500年前，把一個派生能力很強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題大眾化，使之普及，可推衍出形形色色的問題，極具生活情趣，可以使用集合論、計(jì)數(shù)組合學(xué)和設(shè)計(jì)的方法來解決。

數(shù)學(xué)史上不乏一些著名組合問題，如約瑟問題、科克曼女生問題、夫婦入座問題等，女生問題也并非一開始就變成了世界著名難題［30］，而是在百余年的認(rèn)識過程中逐步形成，它與王文素問題形式相似，條件不同，解法相異。王文素問題涉及連續(xù)自然數(shù)在不同約束條件下適當(dāng)配置，聚為一些等值數(shù)組，構(gòu)成若干相異數(shù)局，屬于在組合計(jì)數(shù)基礎(chǔ)上的區(qū)組設(shè)計(jì)。

6 明安圖-卡塔蘭數(shù)：高德納的評說和拉坎布的證明

卡塔蘭（E.C.Catalan，1814—1894）1838年提出了Cn，后來被稱為卡塔蘭數(shù)（Catalan numbers）［31］，Cn的定義式為

n≤10的數(shù)列如下：1，1，2，5，14，42，132，429，1430，4862，…。

1758—1759年間，數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）公布了對n＜23的正確的Cn值［32］，還給出了表示Cn+2的公式。畢納特（J.Binet）1839年獲得了Cn的生成函數(shù)［33］，卡塔蘭數(shù)有兩個遞推公式，在基礎(chǔ)論著《組合學(xué)導(dǎo)引》［34］中有詳細(xì)介紹，即

卡塔蘭序列至少有50種組合解釋，應(yīng)用廣泛，已成為與斐波那契數(shù)（Fibonacci numbers）、斯特靈數(shù)（Stirling numbers）類似的一個基本計(jì)數(shù)函數(shù)。在世界數(shù)學(xué)史上，第一個提出卡塔蘭數(shù)并有大量研究和應(yīng)用的，卻是清代蒙古族科學(xué)家、欽天監(jiān)監(jiān)正（國家天文臺臺長）明安圖（1692？—1763？）。他在《割圜密率捷法》（1839）第三卷（原稿1730年代撰成）中給出

這是一個數(shù)學(xué)界未知的公式。在計(jì)算中明安圖應(yīng)用了式（3），他并得到：（|α|＜π/2），

筆者1988年在《內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報》上發(fā)表《明安圖是卡塔蘭數(shù)的首創(chuàng)者》［35］。算法和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的先驅(qū)者、斯坦福大學(xué)Donald E.Knuth（克努特，中文名高德納）教授在獲圖靈獎的名著《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》中，論述了圖論中trees樹的概念，專辟一節(jié)回顧卡塔蘭數(shù)的歷史。其中“中國蒙古族數(shù)學(xué)家明安圖1750年前在研究無窮級數(shù)時算出了卡塔蘭數(shù)，但他沒有將其同樹或別的組合對象聯(lián)系起來”［36］，引用了筆者1988年的論文。

英國德爾比大學(xué)的拉坎布（P.J.Larcombe）博士在此基礎(chǔ)上，2001年發(fā)表《論卡塔蘭序列生成函數(shù)：一個歷史的透視》［37］，指出明安圖的方法是一種生成函數(shù)法，并證明了該法的正確性。拉坎布研究明安圖所創(chuàng)卡塔蘭數(shù)共發(fā)表了12篇相關(guān)論文。

明安圖的成果與卡塔蘭數(shù)西方早期研究相比，具有獨(dú)辟蹊徑的特點(diǎn)，即令對今天的學(xué)者來說，也是十分新奇的。由于明安圖是卡塔蘭數(shù)的首創(chuàng)者，早于卡塔蘭約100年，李文林教授主張，Cn應(yīng)當(dāng)稱為“明安圖-卡塔蘭數(shù)”。

7 戴煦的正切數(shù)與歐拉數(shù)：區(qū)別于西方傳統(tǒng)的遞推公式

正切數(shù)T（ntangent number）和歐拉數(shù)E（nEuler number）是兩種重要計(jì)數(shù)函數(shù)，也是特殊函數(shù)和遞歸函數(shù)。西方對正切數(shù)的研究1857年開始，遠(yuǎn)不及對歐拉數(shù)的認(rèn)識［38］。

戴煦（1805—1860），字鄂士，浙江錢塘（今杭州市）人，晚清著名數(shù)學(xué)家。1852年在《外切密率》［39］第四卷中使用具有特色的遞歸方法，同時獲得現(xiàn)今所說的正切數(shù)和歐拉數(shù)的遞推公式（略），成績斐然。他算出前十個正切數(shù)（圖8）：

圖8 戴煦求得的正切數(shù)表Fig.8 Table of tangent numbers obtainedby Dai Xu

T1=1（原著未列）；T2=2（第一乘法）；

T3=16（第二乘法）；T4=272（第三乘法）；

T5=7936（第四乘法）；T6=353792（第五乘法）；

T7=22368256（第六乘法）；T8=1903757312（第七乘法）；

T9=209865342976（第八乘法）；T10=29088885112832（第九乘法）。

他已完全掌握了正切數(shù)T n的遞推規(guī)律，得到

戴煦同樣正確地算出了前十個歐拉數(shù)（圖略）：

E0=1（原著未列）；E1=1（第0乘法）；

E2=5（第一乘法）；E3=61（第二乘法）；

E4=1385（第三乘法）；E5=50521（第四乘法）；

E6=2702765（第五乘法）；E7=199360981（第六乘法）；

E8=19391512145（第七乘法）；E9=2404879675441（第八乘法）。

可知他已完全掌握了歐拉數(shù)E n的遞推規(guī)律，從而獲得正割冪級數(shù)展開式

經(jīng)比較，戴煦把T n和E n相提并論，定義酷似，且相補(bǔ)充。他的基本思想是兩者相匹配、相“對稱”。因而在他的原著中，全部論述和結(jié)果都保持這種“對稱性”，這與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中將歐拉數(shù)同伯努利數(shù)（Bernoullinumbers）相提并論的做法是不一樣的。

20世紀(jì)西方對正切數(shù)的文獻(xiàn)有：Estanave［40］（1902）研究tgx、secx展開式系數(shù)；Schwartz［41］（1931）應(yīng)用麥克勞林公式展開tgpx；Toscano［42］（1936）給出了有關(guān)交錯置換和正切數(shù)的另一種表述；Entrenger［43］（1966）和Knuth，Buckholtz［44］（1967）用組合數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)的觀點(diǎn)，通過歐拉數(shù)與伯努利數(shù)來研究正切數(shù)，后者給出正切數(shù)前60個數(shù)值。

8 李善蘭、夏鸞翔、華蘅芳的冪和公式與現(xiàn)代發(fā)展

冪和問題具有悠久的歷史［45］，晚清算家亦有不凡貢獻(xiàn)。限于篇幅，這里只提出部分結(jié)果。

李善蘭（1811—1882）獨(dú)創(chuàng)歐拉數(shù)（表2），見于《垛積比類》（1845？）第7表，李氏還給出它的遞歸定義（略）。

表2 歐拉數(shù)A n，k（比較《垛積比類》第7表）Tab.2 Eulerian numbers A n，k

《垛積比類》“乘方垛解義”獲得式（13），據(jù)“乘方垛求積術(shù)”求自然數(shù)前m項(xiàng)n次冪和式（14）為

即李善蘭將冪和分解成n類組合之和，每類組合的個數(shù)依歐拉數(shù)分布。這個冪和公式簡潔優(yōu)美，可求任意次冪和。

夏鸞翔（1823—1864）在《洞方術(shù)圖解》“單一起根諸乘方諸較圖”中創(chuàng)“夏氏數(shù)”（表3），表出乘方公式（15），繼而獲得自然數(shù)前m項(xiàng)的冪和公式（16）為

表3 夏氏數(shù)（據(jù)單一起根諸乘方諸較圖）Tab.3 Xia Luanxiang’s numbers

表3 夏氏數(shù)（據(jù)單一起根諸乘方諸較圖）Tab.3 Xia Luanxiang’s numbers

X nk=01234567 k n=0 1 1 1 1 2 1 3 2 3 1 7 126 4 1 15506024 5 1 31180390360120 6 1 63602210033602520720 7 1 1271932102062520031920201605040

即將冪和分解成n+1類組合之和，每類組合的個數(shù)依夏氏數(shù)分布。運(yùn)用計(jì)數(shù)函數(shù)求冪和的公式中，如以計(jì)算量衡量，該式最簡，迄今仍是佼佼者。

華蘅芳（1833—1902）《積較術(shù)》“諸乘方正元積較表”用現(xiàn)今所說的有限差分法提出一種計(jì)數(shù)函數(shù)“華氏數(shù)”（表4），給出它的遞推定義式，將它應(yīng)用于求乘方以及求冪和

李善蘭從垛積術(shù)（和分）、華蘅芳從招差術(shù)（差分）各自獲得冪和公式，可謂殊途同歸。華氏數(shù)具有優(yōu)秀的性質(zhì)，將它的定義稍作改變，即將表4中的數(shù)字取絕對值，針對冪和問題可以建立起“取盒—放球”模型，給它一個全新的組合解釋［46］。

表4 華氏數(shù)（據(jù)諸乘方正元積較表）Tab.4 Hua Hengfang’s numbers

表4 華氏數(shù)（據(jù)諸乘方正元積較表）Tab.4 Hua Hengfang’s numbers

hnk=012345678 k n=0 1 1 0 1 2 0－12 3 0 1－66 4 0－114－3624 5 0 1－30150－240120 6 0－162－5401560－1800720 7 0 1－1261806－840016800－151205040 8 0－1254－579640824－126000191520－14112040320

冪和問題極富趣味性和挑戰(zhàn)性，形成一個專題、一種文化。數(shù)學(xué)家和愛好者構(gòu)造各種數(shù)論函數(shù)孜孜以求，公式的簡明性和算法復(fù)雜性可一較高下。李善蘭、夏鸞翔、華蘅芳的結(jié)果具有類似而不同的結(jié)構(gòu)，形式簡潔優(yōu)美，對計(jì)數(shù)組合論發(fā)展的貢獻(xiàn)深遠(yuǎn)。

Sum of power of integer這樣一個具有魅惑力的問題不乏現(xiàn)代興趣，吸引著一些數(shù)學(xué)家。筆者查閱，僅從1968年 到1980年 ，J.Riordan［47］、J.L.Paul［48］、S.L.Gupta［49］、M.J.A.Sharkey［50］、H.W.Gould［51］、B.Turner等人提出或用不同方法證明了這一問題或與它相關(guān)的、用組合表達(dá)的若干公式。迄今互聯(lián)網(wǎng)上仍有不少網(wǎng)頁涉及，盛況空前。

9 結(jié)語

綜上，產(chǎn)生幾點(diǎn)聯(lián)想。

（1）上古河圖洛書、八卦九疇等不符合數(shù)學(xué)起源的唯生產(chǎn)論，曾被斥之為迷信。在數(shù)學(xué)書出現(xiàn)之前，音樂、占卜、游戲中內(nèi)涵潛在的數(shù)學(xué)，體現(xiàn)排列、配置、排序、對稱、集合、映射、對應(yīng)等的應(yīng)用，研究商周數(shù)學(xué)思想無法回避，應(yīng)當(dāng)予以正視。

（2）中算以計(jì)數(shù)見長，長期保持算法傾向、離散性、寓理于算、程序性、機(jī)械化的特征。400年前當(dāng)西方已進(jìn)入微積分時代，中算卻跌入低潮，停留在離散數(shù)學(xué)早期，未能進(jìn)入連續(xù)數(shù)學(xué)時代。當(dāng)然并非一無是處，在計(jì)數(shù)理論中還有一些閃光點(diǎn)。

（3）數(shù)學(xué)原理在本質(zhì)上保持一致，算法途徑古今中外總有差別，因此，東西方對某一對象采用不同數(shù)學(xué)方法卻獲得類似的結(jié)果，可謂殊途同歸，在這一問題上各有千秋。因處于不同歷史發(fā)展階段，如用單一坐標(biāo)予以高下之分，似有“輝格”之嫌。

（4）數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)中的位置決定了它自身的發(fā)展目標(biāo)，因此它不會淪為隨意拈來使用的工具。基本史實(shí)不可動搖。值得慶幸的是，在大數(shù)據(jù)時代，人們可以從不同的途徑獲取真相的各個方面，有可能揭示出被遺忘的成就，從而對歷史有一較全面的認(rèn)識。