李方方，郭世榮

（內蒙古師范大學 科學技術史研究院，呼和浩特010022）

劉彝程（1837？—1920？）［1－4］，字省庵（菴）［5－6］，號醒庵［7－9］，①田淼根據(jù)劉彝程的經(jīng)歷及其父親的生平年代推算他生于1835年左右；李迪、查永平給出劉彝程生于1833年左右；楊抱樸根據(jù)鹿傳霖在《簡易庵算稿》序言中說“當是時，余與君皆少壯耳”推斷兩人生于同年，即1836年。劉彝程父親劉熙載生于1813年，根據(jù)他的生平活動來看，1847－1856年多數(shù)時間他居住在北京，尤其自1850年起，有他逐年在京任職、參加考試等記載。1856年年底，劉熙載以病乞假回興化，此后六七年間，四處設館授徒，以維持生計。劉彝程自言“弱冠從父學習天元正負歌”，從鹿傳霖序文又可看出，劉熙載至少在1857至1858年于山東、定興設館授徒時有帶劉彝程在身邊，因此筆者推斷劉彝程從父學習時間應不早于1856年、不晚于1858年。即其生年為1837年左右。學者多稱劉彝程字為“省庵”?！叭C”為“庵”的異體字，李善蘭至華蘅芳信件中有“劉彝程省菴”之稱，華蘅芳在《微積溯源》序言中有“劉君省菴”之稱。劉彝程的“割圓闡率自識”、胡傳1870年日記、上?？h續(xù)志均有“醒庵”之稱。江蘇興化人。其父劉熙載（1813—1881）是清末著名學者，文藝理論家、教育家、書法家。劉彝程曾任上海廣方言館算學教習（1873春—1904？）、上海求志書院算學齋齋長（1875—1898冬），在數(shù)學、數(shù)學教育方面深有研究，為晚清數(shù)學以及數(shù)學教育的發(fā)展做出重要貢獻，是清末重要數(shù)學家之一。

《九章實義》（1901）全名《簡易庵九章實義》，是劉彝程應友人之邀為初學者編寫的一部算書。此書與劉彝程代表作《簡易庵算稿》（1900）均冠名“簡易庵”，是因劉氏“闡發(fā)算理，以簡易為上，曩嘗顏所居曰‘簡易庵’，今即以名所著吁”［3］。兩書因書名、卷數(shù)、刊印時間相近，部分學者將二者誤認為是同一著作［10］，這是《九章實義》早年鮮為人知的原因。時至今日，學界對《九章實義》的介紹依然很少，主要原因在于：《簡易庵算稿》是劉彝程二十余年“心目所注”的集成，江南制造局曾刊印多次，流傳甚廣，且涉及數(shù)學知識較深，代表了劉彝程數(shù)學研究的最高成就，學者提及劉彝程必言此書；《九章實義》是為初學者所寫，從其書名與目錄來看，容易讓人誤以為是對《九章算術》內容的重組，因而不被學者所重視。

事實上，《九章實義》將西方傳入的比例知識與中國傳統(tǒng)數(shù)學相結合，使中西數(shù)學融為一體，其“西算分類方式是中國數(shù)學完全由傳統(tǒng)過渡到近代的一個標志”［11］。觀其內容，涵蓋了初等計算知識以及當時盛行的勾股和較術、勾股測圓術、垛積術、方程等知識，條理清晰、分類得當，論述有詳有略，不僅可使讀者“簡而易舉”，亦為讀者留有足夠的“探索”空間。

1 《九章實義》的成書過程及編纂思想

1.1 成書過程

劉熙載的好友郭嵩燾（1818—1891）于1876年奉旨帶留學生出訪英國，過上海時問劉彝程：“行攜有出洋學生將使學算，宜以何書入門？”答：“向乏善本，無已，惟有自著?！保?2］郭嵩燾囑咐劉氏盡快寫成，愿為之刊刻。1879年，郭嵩燾回國，劉彝程因還未編好深感抱歉，許以異日，而后又因“主上海求志書院算席、兼課廣方言館算學生講授”［12］，課務繁重，無暇顧及，此事便暫且擱置。1899年，劉彝程將自己在上海求志書院任職期間的歷年算稿精選集成《簡易庵算稿》，請好友鹿傳霖（1836—1901）為之作序。鹿傳霖見后稱善，并自比李光地，建議劉彝程編寫“算學簡要門徑之書，以嘉惠來學?！保?］劉彝程從教二十余年，所見算書無數(shù)，但“求其淺近易學、可以入門而無弊者，則罕見之”，為此他深感遺憾，“嘗欲自著一書，引申淺近算理、藉示初學津梁”，種種原因一直未能完成。［12］劉彝程“常耿耿負郭公之厚意，至是又懼無以報鹿公，遂乃屏絕塵事，”［12］歷時半年，撰成《九章實義》。

1.2 編纂思想

上海廣方言館算學課程規(guī)定“學習算術，無論筆算、珠算，先從加、減、乘、除、開方入手。中算則熟習算經(jīng)十書，前賢代有著述，皆可瀏覽。西算則幾何、重學、代數(shù)諸書，循序而漸進焉?！保?3］由此可知，廣方言館初學算學以“九章”內容為主。劉彝程在廣方言館任教近三十年，編寫簡要算書時首先便想到“九章”內容較為合適，但他對“九章”的分類方式不甚贊同，認為其分類“重復多而名實亦不甚相稱”，并指出若要講解“九章”知識，則需“運其理而不泥其名”。［12］比劉彝程稍早的羅士琳（1789—1853）也有類似看法，他說：“‘九章’之名最古，后人不解九章，乃備數(shù)而設，遂嘩九章為牢不可破之格，膠柱鼓瑟，其謬甚矣。”［14］

羅士琳與劉彝程在用新算法統(tǒng)領“九章”時也有相似之處。羅士認為：“九章”中的方田、少廣、商功、勾股問題皆可稱為“度”，即計量長短、面積、體積等幾何問題；粟布、衰分、均輸、盈朒、方程問題均可稱為“算”，即計量數(shù)目大小等算術問題。解決這些問題所依賴的加、減、乘、除等運算，“推其原，不過以小比大、以寡比多、以虛比實、以假比真、以彼比此、以舊比新而已”［14］。若知其間比例之率，則一切問題皆可由比例之法解決，“與其因比例之不同分作九章”［14］，使其法混淆，不如將它們歸入不同的比例之中，以達到“畫一”的效果。于是，羅士琳“把比例分為十二種，對‘九章’重新排比，按問題的解法歸入不同的比例算法之下，試圖以比例的觀點統(tǒng)一研究數(shù)學”［15］。

劉彝程對比例的看法與羅士琳基本相同，他稱“比例為算學第一要務”“無論何題，皆可由比例而得其理”［12］。但同時他也指出：比例雖“為算法大宗，最靈最簡，以運九章，可囊括無遺”，但若僅以比例闡釋九章，部分算理又略顯舍近求遠。因比例之外的面體積之理，對“相乘、開方諸法，舍之即無由成算”；方程（指多元一次方程組）僅不便于解決開方類問題，對“九章”其他問題“無不易舉”。因而劉彝程在講解比例算法的同時，還以面體積之理講解了各種開方方法，介紹了列方程的方法以及方程運算過程中的正負號變化問題。

可以看出，羅、劉二人均是把比例當作一種算法工具，只是羅士琳的“目的在于利用這種工具來從整體上研究數(shù)學”［15］，劉彝程則僅是為了以之講解“九章”相關內容。雖然，《九章實義》中也有諸如“權衡輕重”類的西算題，僅是其算理簡單、日常易見、便于初學，與劉彝程創(chuàng)作此書目的相同。

2 《九章實義》內容分析

《九章實義》四卷，前三卷由上、下兩部分組成，第四卷由上、下、附三部分構成。前三卷上部分和第四卷上、下部分為理論知識，對應卷下和卷附則為理論之應用及詳解。此書完稿于光緒辛丑（1901）夏，辛丑仲冬劉氏簡易庵石印。全書校算與繪圖由劉彝程在廣方言館的五名學生負責，校算由無錫郁贊廷耀卿、寧鄉(xiāng)戴騰奎巨蓀、泰興張文廉若泉、泰興朱鳳翔文卿四人負責，繪圖由高郵楊贊卿翊猷完成。

前文提到羅士琳曾將“九章”內容歸于十二種比例之下，其書名曰《比例匯通》。此書分為四卷，分類方式、內容講解均與《九章實義》不同?！侗壤齾R通》卷一介紹了各種數(shù)學計算中用到的比例定率以及正比例、轉比例、合率比例的概念及應用，卷二介紹了設色、雙套等九種比例，并以題詳解，卷三與卷四主要講解借根方、借根方御比例法、借根方開方知識?！毒耪聦嵙x》卷一專講比例相關知識，論及比例的概念、性質以及如何使用比例方法求解“九章”相關問題；卷二為面體積，給出各種開方的方法與口訣，以便易于求解“九章”有關開方的題目；卷三是方程，講解了列方程的方法以及方程運算過程中的正負號變化問題；因勾股“題境繁多”，單列章節(jié)、分類闡釋才可統(tǒng)觀其全，于是又設卷四以比例講解勾股和較術與勾股測圓術，并附《測圓海鏡》中部分算題進行詳解。劉彝程自言：“維以此分類，視九章分類，較得實義”，因而此書得名“九章實義”。［12］劉彝程是否見到《比例匯通》，他未做說明，但他對比例相關知識的講解與之大不相同。

《比例匯通》給出的比例定義與《數(shù)理精蘊》中所給相同：“凡物彼此相形，并之而用加，較之而用減，聚之而用乘，散之而用除，觀之不過兩率，然乘除之間四率之理已默寓其中。……無一非由比例而得。蓋以兩數(shù)為比例，用今有之數(shù)即可以得未有之數(shù)也?！保?6《］九章實義》則給出比例更為確切的定義：“何為比例？乃以已知二件為例，而以今有之件與欲求之件比之。”并指出“比例法即四率法”，三率比例、連比例等皆與四率比例理同，知四率比例之理，則一切比例之法皆可由之而得。即《九章實義》的四率比例包含了《比例匯通》《數(shù)理精蘊》中的十余種比例，只是在具體列式時根據(jù)題意已知與求解之間關系的不同略有變化。

為避免初學者排四率式時茫無端緒，劉彝程特創(chuàng)新法，為四率冠以“彼、即、此、必”四字，以便讀者列式時有據(jù)可循。如“已知有若干物，值若干錢，今有物求錢或今有錢求物”類題目，按劉彝程之法則排的四率分別為“彼物、既值彼錢、此物（此錢）、必得此錢（必買此物）”，彼此相對，不易混淆。計算時依“二、三率相乘，一率除之，得四率”。劉彝程將排四率式方法總結為五句口訣：“一定有求，二立名目，三加彼此，四借二率，五作一率?！倍ㄓ星螅幢鎰e孰為三率、孰為四率。立名目，即依次書寫一至四率之名。加彼此，即在四率名目之下分別加“彼、即、此、必”四字。此三句為簡單之題而設，也即《數(shù)理精蘊》《比例匯通》中的正比例、轉比例可解之題。劉彝程還指出，若能熟練操作第三句，則可直接通過“彼、即、此、必”四字辨別四率，“二立名目”之條便可省去。若遇一、二率沒有明確給出題目，則需熟練掌握“四借二率，五作一率”兩句口訣。如：“設有金二千九百七十五兩，令甲、乙、丙、丁四人二八納之，問：各幾何？”劉彝程給出解法如下：

別得：由丁而上遞大四倍。乃借“一”為丁差（一差猶言一分也），則“四”為丙差，“十六”為乙差，“六十四”為甲差。各為二率，此二率皆系借數(shù)，故曰“四借二率”。次以四人之差相并，得八十五差，為一率，此一率系并成之數(shù)，故曰“五作一率”。

從上述解法可以看出，解題所需“二率”是根據(jù)題意而設的，“一率”則由“二率”而得，故稱此法為“借二率、作一率”?！稊?shù)理精蘊》《比例匯通》中的合率比例、雙套比例等類型題目便可用此法解決。

此外，劉彝程還總結出比例的性質四條，即，若a∶b=c∶d成立，則下列四行公式均成立。

理解比例的原理及用法，則“九章”之題均可依之解決。但“可解”不代表“最簡、最適”。劉彝程從教近三十年，有著豐富的教學經(jīng)驗，對何種方法便于求解何種題目已了如指掌。因而比例之后有面體積、方程兩卷之設。

“面體積”卷主要是借面體積之理解釋各種開方問題。此卷講解了開平方、歸除開平方、開帶縱平方、開立方、開高次方的方法以及和較自乘相乘之理。其中，開平方、開帶縱平方、開立方有給出口訣，歸除開平方講解開方定位問題、和較相乘自乘之理給出三個公式，后兩法已至簡潔，不必再費心思巧立口訣。開帶縱平方法與和較自乘相乘之理在其后的勾股卷用處廣泛，現(xiàn)對之簡單介紹。

開帶縱平方法用于解決“已知兩數(shù)之和（或兩數(shù)之較）與兩數(shù)之積（也稱長方積，兩數(shù)稱作長與寬），求兩數(shù)”的問題，此法先根據(jù)等式(x+y)2－4xy=(x－y)2或(x－y)2+4xy=(x+y)2求得兩數(shù)之較或和，再根據(jù)[(x+y)+(x－y)]/2=x；[(x+y)－(x－y)]/2=y即可求得兩數(shù)?！昂洼^自乘相乘之理”則給出三個等式：(x+y)2=x2+y2+2xy，(x－y)2=x2+y2－2xy，(x+y)(x－y)=x2－y2，(x＞y)。現(xiàn)今稱前兩個為完全平方公式，最后一個為平方差公式。

“方程”卷所講方程僅是“多元一次方程組”內容，主要用于求解粟米、衰分、商功、均輸、盈不足以及方程本門相關算題。此卷詳細講解了方程計算過程中的正負號變化法則，此法與劉熙載的《天元正負歌》［17］無異，僅做了略微改動。此卷所講列方程的方法、符號變化法則與今天所講多元一次方程組的應用無太大差別，此處不再詳細介紹其內容。方程之后還有“勾股”一卷，借助比例方法講解勾股和較術與勾股測圓術，此卷內容在后文詳細論述。

從前三卷的內容安排可以看出，所講知識難度在逐步增加，比例最簡單，開方需要熟記各種口訣，方程相較而言最難理解。劉彝程在比例之后設面體積、方程兩卷，其目的是為了讀者在解題時不必局限于一種解題、計算方法，可隨題取其輕便之法為用。

3 以比例釋勾股和較術、勾股測圓術

一般認為，勾股形知識隨著后世的發(fā)展逐漸形成三個分支：即“勾股測望術、勾股和較術、勾股測圓術”［18］，勾股卷所講為后兩種。勾股卷上開篇指出：“勾股題類繁多，且一題可求諸數(shù)，其義尤多。若一義一解，不可勝解。即便解之，頭緒綦繁，學者轉滋眩亂?！比粢U釋其中算理，“宜先握其大綱，分題為數(shù)類，一類數(shù)題，每類之題，所求不同，而立術則概不外乎公理”。此法“自古無書”，唯見項名達的《勾股六術》“分諸題為六種，每種共一公術，而以其異題仍可以加、減化作本題者，各附于后”。劉彝程對項名達總結勾股和較術為六種之舉甚是贊同，認為“項術理本至公，若與之故立異同，則雖命意新奇，轉恐未恰于理”，但對項氏的編排方式持不同見解。

首先，《勾股六術》開篇先述六術，其后附六術中未設、使用加減運算可化為六術已有之數(shù)題，分四類概述。劉彝程認為，若以比例御六術，可約之為三類，分類敘述更易解釋其中算理，至于“應以加減化作本題者，在熟于加減者，自能化得，毋庸贅述”。其次，項氏將算法與算理分開，即先講明六術，于其后一一作圖解。劉彝程對此很不贊同，他認為理法不可拆分，以法明理、以理釋法，二者相輔相成，缺一不可。最后，項氏指出，第三術是后三術之源，以比例闡釋其中關系，則四術有一氣渾成之效果，因而在圖解之后又作“重論第四、五、六術”［19］詳述之。對此，劉彝程認為，后三術既可用比例之理明之，圖解則略顯多余，若須證明，則可找一圖統(tǒng)領，不必一一作圖明之。所以，勾股卷上內容并未原版照抄項氏之書，而是劉彝程經(jīng)多方考量、重新規(guī)劃，將六術以一種全新的視角介紹給讀者。即，分“勾股六術”為條段、三率比例、四率比例三類，每類數(shù)種，每種歸結為一題，給一通法，緊挨其后講明算理，繼而以理述題。如此編排，條理清晰、層次分明，使讀者“簡而易舉”，亦符合理法之設。

“條段”類為《勾股六術》前兩術。第一術用于求解“勾、股、弦，知二求三”類問題，使用勾股定理即可解決；第二術用于求解“知弦與勾股和（較），求勾、股”類問題，使用等式（1）即可。

因兩術所用等式非比例形式，因此稱之為“條段”類。劉彝程在敘述兩術的問題及解法時與項氏基本相同，只是項氏分題敘述，劉彝程則將之合為一題概述。在證明兩術所給算法，二者差異較大。項氏的證明沿用中國傳統(tǒng)數(shù)學中的一貫做法——使用圖形的平移、割補來證明，劉彝程所給證明則頗有新意。

根據(jù)《九章實義》中的敘述以及用圖，現(xiàn)用a表示勾，b表示股，則書中證明前兩術所用之圖如圖1和圖2所示。書中對“第一術”之理，即勾股定理的證明過程概略如下：

圖1是邊長分別為勾、股的兩個正方形相切，添作兩條虛線后，亦可看作是兩個長為股、寬為勾的長方形和一個邊長為勾股較（即b－a）的正方形，由此可知

圖1 證明插圖一Fig.1 Proof illustration 1

由圖2可知勾股和冪內又四直積、一較積，“弦冪內亦為二直積一較冪”。即：

圖2 證明插圖二Fig.2 Proof illustration 2

“依圖理，則句、股二冪和必等于弦冪，皆為二直積、一較冪故也?！奔矗海?）式與（4）式等號右邊相等，則等號左邊相等，即第一術得證。倍（4）式得（5）式，（3）式和（5）式左右相減得（6）式，（5）式兩邊同時減去“(b－a)2”得（7）式，因（7）式與（3）式等號右邊相等，則左邊亦相等，既得（8）式，即第二術得證。

“三率比例”的第一種是項氏的第三術，用于求解“知勾與股弦和（較），求股、弦；知股與勾弦和（較），求勾、弦”問題，依等式（9）和（10）即可解答。對于此術，劉彝程結合卷二所講的和較相乘之理和勾股定理進證明，并未作圖。即：根據(jù)(x+y)(x－y)=x2－y2，(x＞y)可知(c+b)(c－b)=c2－b2.又根據(jù)第一術可知c2－b2=a2，則根據(jù)等式性質，等式（9）得證。同理，等式（10）也可得證。

從三術證明過程可以看出，“等量代換”代數(shù)思想方法暗含其中，第三術還運用了“平方差公式”。這表明，西方代數(shù)學知識在清末已經(jīng)全面?zhèn)魅胫袊啾恢袊鴮W者深入學習與理解，劉彝程便是一例。

至于第三術與后三術之間聯(lián)系，劉彝程所講內容與《勾股六術》相差無幾，僅是在講述時將題目、解法以及每一術如何由第三術得來放在一起，限于篇幅此處不錄其具體做法，四術之間的具體變換可參加李兆華的《清代算家的勾股恒等式證明與應用述略》一文。

闡述勾股六術之后，劉彝程指出：勾股和較之術雖明，但其間包含公式繁多，若“一一為之圖說，則頭緒繁劇，難得提綱挈領”，今思得《測圓海鏡》圖（即圓城圖式）“左宜右有、頭頭是道”，若于圖中增加數(shù)線，則可括勾股全義。于是，在卷四下，劉彝程為圓城圖式添作四條直線，以一圖表示出“十三率勾股形”［22］，并給出這13個勾股形十三事之間的等量關系①李兆華稱李善蘭圖中的13個勾股形為“十三率勾股形”，因劉彝程、李善蘭圖中所指勾股形相同，本文沿用此說法。。劉彝程此舉將勾股和較術與勾股測圓術結合，相互映襯，勾股之理更加簡單明了。《九章實義》所給之圖如圖3所示，現(xiàn)根據(jù)《九章實義》中的描述，整理“十三率勾股形”十三事之間的等量關系見表1。

表1 “十三率勾股形”十三事之間的等量關系Tab.1 T he equivalent relation between the thirteen events of 13-rate pythagorean

從表1可知，每一個勾股形的十三事分別與13個勾股形的某一事（其中，△EUK和△CGU是添作GU線后構成的，圓城圖式中原本沒有）相等，即通勾股形（△CAB，簡稱“通”，后文其他勾股形也均用其簡稱）的十三事分別與13個勾股形的弦和和相等，邊（△DAY）的十三事分別與13個勾股形的股弦和相等，……叀（△OXY）的十三事分別與13個勾股形的股弦較相等。以通勾股形為例，它的弦和和即其自身的弦和和，剩余十二事則分別與剩余12個勾股形的弦和和相等，即通的股弦和、弦較和、勾弦和、勾股和、弦、股、勾弦較、股弦較、弦較較、勾、弦和較、股弦較分別與邊（△DAY）、大差（△EAW）、底（△FVB）、合（△CGU）、極（△HVY）、高（△IAV）、明（△JV W）、斷（△EUK）、小差（△LXB）、平（△MYB）、虛（△NWX）、?。ā鱋XY）的弦和和相等。其余勾股形之間的等量關系類似，此處不再贅述。此外，劉彝程還總結出十條比較特殊的等量關系，即上表中的“識別要義”。

在劉彝程之前，李善蘭也曾為圓城圖式添作直線［20］，其中一條直線與圖3中的GU線相同。雖然，劉、李二人添作此線的目的都是為了在同一圖中表示“十三率勾股形”，但兩人添作的其他直線不同。李善蘭圖中還有方邊、半徑和中垂線，因無必要文字說明，此三種線的作用不明［21］。劉彝程添作的其余三條直線來源于圖4，此圖是他在講解勾股形的十三事時所給之圖（圖中表示出的“勾、股”等線段為截取，其他線段為計算所得），其目的是為了在圖中構造全等勾股形（如△LXB和△STB，△MYB和△RHY，△RVH和△HUZ等），進而使十三率勾股形十三率之間的相等關系更加明確。

圖3 十三率勾股形表示Fig.3 Shisanlv pythagorean’s expression

圖4 勾股和較關系Fig.4 Gougu hejiao’s expression

除表1中的等量關系外，十三率勾股形還彼此相似，因此各勾股形的十三事也相應成比例。劉彝程認為“《測圓海鏡》以天元御句股，誠能鉤深索隱、變化萬千”，但“治天元者，往往恃其靈妙，而貴惜其心思，遂沉溺其中、幾至廢本，法為不足道”，為“使學者知天元外、自有本法不可偏廢”，他將勾股形之間的等量關系與比例關系相結合，選《測圓海鏡》中部分算題作為卷四的附卷，借助比例算法一一求解。

劉彝程給出勾股容圓、勾上容圓、股上容圓等10道題目的解法基本相似，前3題每題兩法如下：

通三和∶倍通股=平三和∶倍平股；通三和∶倍通勾=高三和∶倍高勾。

邊股弦和∶倍邊股∶平股弦和∶倍平股；邊股弦和∶倍邊勾∶高股弦和∶倍高勾。

底勾弦和∶倍底股∶平勾弦和∶倍平股；底勾弦和∶倍底勾∶高勾弦和∶倍高勾。

可以看出，每題均是以兩個勾股形對應之事相比，前兩率為已知勾股形之事，第三率根據(jù)十三率勾股形之間的相等關系可得，第四率則為容圓直徑。除題中所給兩法，在保證四率中有一率為容圓直徑的前提下，對應變換一、三率或二、四率均可求解。如勾股容圓之法還可以是：

通勾股和∶倍通股=平勾股和∶倍平股；通三和∶倍通弦較和=大差三和∶倍大差弦較和。

劉彝程僅給出求解“倍平股”“倍高勾”兩法，一方面是因為此類題目在選題講解的最開始，對于讀者而言，“倍平股”“倍高勾”可直觀感受到它可代表直徑；另一方面，在劉彝程看來，“引導”讀者發(fā)現(xiàn)算法的立法之原比直接告訴讀者算法有什么更重要，唯有親自推演算法之間的關系，才可算是對算法真正的理解。此外對于所給條件非同一勾股形之事時，可根據(jù)表1中的相等關系，將之轉化至同一勾形中求解即可。

4 結語

綜上所述，《九章實義》內容豐富，不僅以比例方法講解了“九章”所涉及的內容，還介紹了開方、方程等適用于某類算題的方法，并在比例思想指導下將勾股和較術與勾股測圓術相結合，以一圖總括勾股全義，使兩術之算理簡單明了。通過對《九章實義》內容的詳盡分析可以看出，此書并非是對已有數(shù)學知識的重組，它不僅講解方式獨特，其中也有不少劉彝程在知識上的創(chuàng)新，應引起學者們的重視。