歐拉是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1707年，小歐拉出生在瑞士的巴塞爾城。他從小就對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，不滿10歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。即使對一些成年人來說，這本書都很難讀懂，但是小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，他就用筆做個記號，事后再向數(shù)學(xué)老師請教。雖然小歐拉成績很好，但他同時也是一個讓老師頭疼的孩子，還因為頂撞老師而被學(xué)校開除。一次，小歐拉問老師天上有多少顆星星。老師答不上來，但是為了維護自己的威嚴，他不懂裝懂，答非所問：“星星是上帝鑲嵌在天空上的。

的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數(shù)學(xué)史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事不是盡人皆知。但是，歐拉離我們并不遙遠，我們熟悉的各種數(shù)學(xué)符號如用π表示圓周率；用sin、cos表示正、余弦；用f（x）表示函數(shù)……統(tǒng)統(tǒng)是歐拉的創(chuàng)造；今天計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），也是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)?；鸨W(wǎng)的李永樂老師說，歐拉提出

王德貴在數(shù)論中，歐拉定理（Euler Theorem），也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理，是一個關(guān)于同余性質(zhì)的定理，它也是數(shù)論四大定理（威爾遜定理、費馬小定理、孫子定理、歐拉定理）之一。數(shù)學(xué)史上公認的4名最偉大的數(shù)學(xué)家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉沒有戲劇性的故事卻讓人印象深刻。然而，幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理

,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r，文[1]建立了歐拉不等式的一個三角形式：文[2]給出了歐拉不等式的一個三角形式的類似結(jié)論：上述不等式是從三角函數(shù)和的形式對歐拉不等式進行加強，在三角形中還有熟知的積形式：2 構(gòu)建新的歐拉三角不等式3 定理的證明由歐拉不等式知，顯然成立.

的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數(shù)學(xué)史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事不是盡人皆知。但是，歐拉離我們并不遙遠，我們熟悉的各種數(shù)學(xué)符號如用π表示圓周率;用sin、cos表示正、余弦;用f（x）表示函數(shù)……統(tǒng)統(tǒng)是歐拉的創(chuàng)造;今天計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），也是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)?；鸨W(wǎng)的李永樂老師說，歐拉提出

，α(G)都是超歐拉圖。一個有向圖稱為是歐拉有向圖，是指它有一條包含所有弧的閉跡。如果一個有向圖D包含一個生成歐拉子有向圖，則稱D是超歐拉有向圖。文獻［15］和［16］給出了若干有向圖是超歐拉圖的充分條件。受到廣義棱柱較多的研究成果及應(yīng)用、以及有向圖的超歐拉性的相關(guān)研究的啟發(fā)，本文主要討論兩個有向圖的廣義棱柱的超歐拉性質(zhì)。我們將無向圖G的廣義棱柱的概念推廣到有向圖上，給出了如下定義（最后一節(jié)將指出這一定義與圖G的α-廣義棱柱α(G)的聯(lián)系）。設(shè)D和H是兩個

潘學(xué)文關(guān)于判定超歐拉圖的分離結(jié)合法陳宇龍 張 林 韋美雁 潘學(xué)文（湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖南 永州 425199）本文基于判定超歐拉圖的收縮法和撕裂法，將兩種方法進行了結(jié)合改進，提出一種新的超歐拉圖的判定方法——分離結(jié)合法，并進行了實例判定。超歐拉圖；分離結(jié)合法；收縮；分裂判定一個圖是否是超歐拉圖的方法最早為Catlin在1988年提出的收縮法[2]。收縮法的關(guān)鍵是找到有效的可折疊子圖，但是在實際中對于可折疊子圖的尋找十分不容易。鑒于此，我國的

王超飛0 前言歐拉旋轉(zhuǎn)定理[1]是由瑞士著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉提出的：剛體繞定點的任意有限轉(zhuǎn)動可由繞過該點某根軸的一次有限轉(zhuǎn)動實現(xiàn)?？衫斫鉃閯傮w從一個姿態(tài)運動到任意一個姿態(tài)可由繞某根軸一次轉(zhuǎn)動某個角度實現(xiàn)。該軸稱為歐拉一次轉(zhuǎn)軸，該角稱為歐拉一次轉(zhuǎn)角。歐拉旋轉(zhuǎn)定理是剛體運動學(xué)中非常經(jīng)典的定理之一，其研究意義在于：一方面，它是轉(zhuǎn)動四元數(shù)和歐拉四元數(shù)姿態(tài)坐標的理論依據(jù)；另一方面，該定理蘊含了剛體姿態(tài)問題的幾乎所有內(nèi)容，理解了該定理也就弄清了剛體姿態(tài)

天王。他的名字叫歐拉。一生堪稱傳奇，拍一部電視劇80集都不用劇本虛構(gòu)。萊昂哈德·歐拉雖然出生在瑞士的一個牧師家庭，可他父親對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣。特別喜歡給歐拉講數(shù)學(xué)故事。由此把歐拉帶上了數(shù)學(xué)這條路。而且歐拉的父親認識當(dāng)時大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家約翰伯努利。他由此成為了伯努利的弟子。伯努利家族大家應(yīng)該都聽說過吧，三代人出了8位科學(xué)家。這個家族自稱研究數(shù)學(xué)就像酒鬼碰上了烈酒。而約翰伯努利則是伯努利家族成就、地位最高的三人之一。 這就相當(dāng)于什么呢？中科院院長手把手教學(xué)帶你

的微分方程被稱為歐拉方程，是變系數(shù)微分方程中應(yīng)用最為廣泛的類型之一，受到了很多學(xué)者的關(guān)注[1-5]。如王慧等[1]就研究了二階變系數(shù)線性微分方程何時可以轉(zhuǎn)變?yōu)?span id="syggg00" class="hl">歐拉方程，常秀芳[2]研究了齊次歐拉方程的通解。但因為歐拉方程的系數(shù)不是常數(shù)，非齊次歐拉方程的求解較為困難，獲得的成果也較少。本文用變量代換的方法研究一類特殊的高階歐拉方程。若記，該類方程表達式為1 二階方程表1 齊次方程（4）的通解2 三階歐拉方程表2 齊次方程（8）的通解3 n階方程（n≥3）

08)0 引 言歐拉函數(shù)φ(n)是數(shù)論中重要內(nèi)容之一，其在理論研究和實際應(yīng)用中都有著十分重要的意義[1].對于包含歐拉函數(shù)φ(n)的方程的正整數(shù)解的研究有著大量的研究成果，如文獻[2-8].在將 Lehmer同余式從模素數(shù)的平方推廣到模任整數(shù)的平方時[9]，Cai[10]引入了廣義歐拉函數(shù)φe(n).對于廣義歐拉函數(shù)φe(n)的性質(zhì)以及方程解的研究，有文獻[11-16]進行了一定的研究，為探討歐拉函數(shù)φ(n)與廣義歐拉函數(shù)φe(n)結(jié)合的性質(zhì)，本文將討論廣

747300）歐拉羊的體型龐大，身體堅實，肌肉發(fā)達，四肢修長有力，是青藏高原一種較為特殊的品種。優(yōu)良的體態(tài)，能夠適應(yīng)高原等特殊的氣候，并且隨著青藏高原等地區(qū)的畜牧業(yè)發(fā)展，適當(dāng)?shù)募竟?jié)性休牧能夠改善青藏高原的生態(tài)環(huán)境，防止過度放牧導(dǎo)致草原退化。因此，藏羊如果在當(dāng)年進行育肥出欄就能很好實現(xiàn)季節(jié)性減員，實現(xiàn)季節(jié)性休牧。歐拉羊養(yǎng)殖就能很好地解決這一問題。1 歐拉羊的繁育技術(shù)1.1 配種年齡良好的飼養(yǎng)條件能夠促進歐拉羊的快速繁育，因此，適當(dāng)?shù)呐浞N年齡一般選擇在1.5

的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數(shù)學(xué)史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事沒有盡人皆知。但是，歐拉離我們并不遙遠，我們熟悉的各種數(shù)學(xué)符號如用π表示圓周率；用sin、cos表示正、余弦；用f（x）表示函數(shù)……統(tǒng)統(tǒng)是歐拉的創(chuàng)造；今天計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），正是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)?；鸨W(wǎng)的李永樂老師說，歐拉提出

300387）歐拉多項式是組合數(shù)學(xué)中一類極其重要的多項式，歐拉數(shù)也是一類非常重要的組合數(shù)，它們在組合數(shù)學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用和意義，因而被廣泛研究并取得了豐碩的成果[1-2].1998 年，Ehrenborg 等[3]通過對歐拉數(shù)加以限制給出了一個關(guān)于單位立方體中相鄰2 個切片混合體積的組合解釋.在此基礎(chǔ)上，2008年，Brenti 等[4]在經(jīng)典歐拉多項式和歐拉數(shù)的基礎(chǔ)上，通過限制排列的第一位提出了限制歐拉多項式和限制歐拉數(shù)的概念，并研究了它們的相關(guān)性

線性微分方程——歐拉方程[1-4]。1 概念定義形如的方程，稱為歐拉方程。其中：p1,p2,…,pn-1,pn是常 數(shù)且p1≠0, 當(dāng)f(x)≡0 時 ，方 程xny(n)+p1xn-1xy(n-1)+… +pn-1xy′+pny=0 稱為n階線性齊次歐拉方程。當(dāng)f(x)≠0 時，方程xny(n)+p1xn-1y(n-1)x+…+pn-1xy′+pny=f(x)稱為n階線性非齊次歐拉方程。歐拉方程用微分算子表示為由解的結(jié)構(gòu)知：只要能求得n階線性齊次歐拉的通

t+1。2.2 歐拉法歐拉法公式：un+1=un+hf(tn，un)。2.3 梯形法2.4 改進歐拉法2.5 RK法其中Wi，αi，βij均為待定系數(shù)，實際計算時，用un代替u(tn)，上述公式稱為s級RK方法。2.6 Adams法Adams方法是一種線性多步法。Adams四階預(yù)測—校正格式(PECE)，這是一個四步方法，計算un+4時要用到un+3，un+2，un+1，un，因此它不是自開始的，一般需要四階RK法為其提供出發(fā)值：u1，u2，u3。(p為階

65年，大數(shù)學(xué)家歐拉建立了一個重要的幾伺不等式，現(xiàn)被稱為歐拉不等式，即三角形外接圓半徑至少是其內(nèi)切圓半徑的兩倍，近年來，許多學(xué)者在探究歐拉不等式的加強，如2015年文[1]中研究著名的外森比克不等式的加強時提出了幾個關(guān)于歐拉不等式加強的問題，其中包括如下優(yōu)美不等式（1）;2016年文[2]中首次給出了不等式（1）的證明.

=EG,則稱G是歐拉圖。如果一個圖G包含一條閉跡使得VW=VG,或包含一個生成歐拉子圖，則稱G是超歐拉圖。定義1 在圖G中，如果對于每一個點v∈VG，滿足點刪除子圖G-v是超歐拉圖，那么G稱為D-超歐拉圖。定義2 在超歐拉圖G中，如果對于每一個點v∈VG，滿足點刪除子圖G-v是超歐拉圖，那么G稱為T-超歐拉圖。Boesch,Suffel和Tindell[3]在1977年提出了超歐拉問題，他們致力于刻畫出包含生成歐拉子圖的無向圖，與此同時，他們表示這個問題是

50108)關(guān)于歐拉不等式一個猜想的改進黃銀珠福建省福州市閩侯縣上街實驗學(xué)校 (350108)設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r，此即為著名的歐拉不等式.文[1]提出歐拉不等式的如下加強猜想.文[2]中給出該猜想的驗證.事實上，早在1974年，就已有如下更強的結(jié)論[3]因為(a+b+c)(a3+b3+c3)-(a2+b2+c2)2=∑ab(a-b)2≥0(Σ表示輪換對稱求和).本文將式(1)作進一步的改進，建立

5000)重力場歐拉反褶積最優(yōu)解提取周 勇1，3，4， 曹書錦2,3， 侯萍萍2， 楊子龍2(1. 湖南文理學(xué)院 資源環(huán)境與旅游學(xué)院，常德 415000；2. 湖南科技大學(xué) 頁巖氣資源利用湖南重點實驗室，資源環(huán)境與安全工程學(xué)院，湘潭 411201；3. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙 410083;4.湖南文理學(xué)院 洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟區(qū)建設(shè)與發(fā)展湖南省協(xié)同創(chuàng)新中心，常德 415000)在傳統(tǒng)重力場歐拉反褶積中，單一構(gòu)造指數(shù)難于表征多個異弱常源；而枚舉構(gòu)

637100）歐拉不等式的兩個三角形式的加強鏈楊永剛（南充市高坪中學(xué)，四川 南充 637100）對文[1,2]中歐拉不等式的加強或加強鏈作了進一步的優(yōu)化，得到兩個三角形式的加強鏈．歐拉不等式；三角形式；加強鏈設(shè)R，r分別為△A B C的外接圓及內(nèi)切圓半徑，則有R≥2 r，當(dāng)且僅當(dāng)△A B C為正三角形時取等號．這就是著名的歐拉不等式．文[1]給出了歐拉不等式的一個三角形式的加強鏈：引理1設(shè)R，r分別為△A B C的外接圓及內(nèi)切圓半徑，則有文[2]對以上結(jié)

315) 何 燈歐拉不等式一個加強的類似福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r.文[1]中建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強不等式定理1 設(shè)R,r分別為ΔABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)綜上可得f(s)≥0，從而得定理2成立.[1]鐘建新.歐拉不等式的一個三角形式的加強鏈[J].數(shù)學(xué)通報,2012,51(1):63.

5) 何 燈關(guān)于歐拉不等式一個猜想的證明福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，有不等式R≥2r.文[1]提出歐拉不等式的如下加強猜想當(dāng)t∈(10,+)，由引理3得顯然此時式(2)也成立.[1]馬占山,何慧敏.一個與歐拉不等式相關(guān)的不等式問題的證明[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2016,2,19-20.[2]何燈,田芳松. 歐拉不等式的一個加強猜想的驗證[J],福建中學(xué)數(shù)學(xué),2016,6,9

連通有向圖Γ稱作歐拉圖,當(dāng)且僅當(dāng)Γ滿足下列條件之一:1)?i∈A,φ(i)=02)?p,q∈A,使φ(p)=1,φ(q)=-1,且?i∈A<[p,q},φ(i)=0Swan定理[1]若歐拉圖Γ有V個頂點,E條邊,且E≥2V,則Π(Γ)中奇偶置換各半.構(gòu)造1用歐拉圖構(gòu)作多重線性多項式.令Γ是有N條邊e1,e2,…,eN的歐拉圖,利用Π(Γ)及E={e1,…,eN}所對應(yīng)的非交換未定元集X={x1,…,xN},我們可以構(gòu)作與Γ相應(yīng)的多重線性多項式構(gòu)造2用矩陣單

(d)是Γ的一條歐拉路,具有歐拉路的有向連通圖稱為歐拉圖.眾所周知,連通圖Γp,q有從p到q的歐拉路,當(dāng)且僅當(dāng)下列兩個條件之一成立:a)p=q時,φ+(i)=φ-(i)(?i=1,…,k);b)p≠q時,φ+(p)=φ-(p)+1,φ-(q)=φ(q)+1,且φ+(i)=φ-(i)(?i∈{1,…,k}(〗p,q}).推論0.1[1]令Γp,q是歐拉圖,且|V(Γp,q)|=k,|E(Γ)|=d,若d≥2kn,則fΓp,q(x1,…,xd)=0是Mn(F)

(N)是Γ的一條歐拉路,具有歐拉路的有向連通圖稱為歐拉圖.眾所周知,連通圖Γp,q有從p到q的歐拉路,當(dāng)且僅當(dāng)下列兩個條件之一成立:a)p=q時,φ+(i)=φ-(i)(?i=1,…,k);b)p≠q時,φ+(p)=φ-(p)+1,φ-(q)=φ(q)+1,且φ+(i)=φ-(i)(?i∈{1,…,k}(〗p,q}).由定理0.1立即可以得到推論0.1[1]令Γp,q是歐拉圖,且|V(Γp,q)|=k,|E(Γp,q)|=N,若N≥2kn,則fΓp,q(x

魚昆歐拉（Euler，1707～1783），瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域我們都可以看到他的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數(shù)論的歐拉函數(shù)、變分法的歐拉方程、復(fù)變函數(shù)的歐拉公式……作為數(shù)學(xué)家，歐拉所做出的貢獻是無人能夠比擬的，作為一個普通人，他同樣是優(yōu)秀的。在歐拉的身上，我們讀到了這樣三個詞：叛逆、頑強和謙遜。追求科學(xué)真相的“叛逆”少年歐拉從小就聰明好學(xué)，特別是進入神學(xué)院受到的一系列教育，更增加了他對學(xué)習(xí)的

把形如的方程稱為歐拉方程，（其中 a1,a2,…, an是常數(shù)），并給出了其解法，如果定義形式僅局限于此，對于更深刻的理解歐拉方程，掌握歐拉方程的應(yīng)用很不利，因此有必要將其從形式到解法進行推廣，使其應(yīng)用更廣泛。1 推廣的歐拉方程及解法定義1 形如的方程（其中 a, b, a1, a2,… ,an均為常數(shù)）稱為推廣的歐拉方程。a=1，b=0則方程(2)轉(zhuǎn)化成方程(1)，因此方程(1)是方程(2)的特殊情況。在方程（2）中令t=ax+b，則代入(2)中得即方程

頓，１８世紀則是歐拉的天下。他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生完成的論文和著作有８８６篇或部，其中數(shù)學(xué)著作占了一大半。正如貝多芬耳聾之后并未阻擋他對音樂創(chuàng)作的激情一樣，歐拉在晚年雙目失明的１７年中，依然保持了驚人的創(chuàng)造力，依靠口述完成了大量的著作和論文。歐拉不是純粹的數(shù)學(xué)家，他在物理學(xué)、天文學(xué)領(lǐng)域均有很深的造詣，在生理學(xué)和文學(xué)方面，也是知識淵博的學(xué)者。１７０７年４月１５日，歐拉生于瑞士的巴塞爾，他的父親是一位牧師，早年畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，是數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利的

李美珠歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、微積分等數(shù)學(xué)領(lǐng)域都取得了出色的成就。不過，這個大數(shù)學(xué)家在小時候因為對上帝提出懷疑而被學(xué)校除了名，回家后無事，小歐拉就一面幫爸爸放羊，一面讀書。他讀的大多是數(shù)學(xué)書。爸爸的羊漸漸地增多了，達到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量了一塊長40米、寬15米的長方形地，一算周長是110米，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米，爸爸正打算動工的時候，卻發(fā)現(xiàn)材料只夠圍100米的