李織蘭 李春蓮 徐娟

【摘要】本文針對小學數(shù)學教師常把“植樹問題”教成普通的“數(shù)學應(yīng)用題”的現(xiàn)狀，論述引導(dǎo)學生構(gòu)建“植樹問題”數(shù)學模型并廣泛應(yīng)用該模型的途徑，認為教師可以根據(jù)課本中的問題創(chuàng)設(shè)情境，滲透對應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學生構(gòu)建“植樹問題”數(shù)學模型，讓學生經(jīng)歷“實際情境—畫點線圖—觀察圖形—歸納規(guī)律”的過程，運用不同層次的練習，讓學生體驗數(shù)學模型的抽象性和廣泛應(yīng)用性，培養(yǎng)學生的數(shù)學致善精神。

【關(guān)鍵詞】植樹問題 致善精神 數(shù)學建模 小學數(shù)學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）21-0032-03

“植樹問題”因其具有較高教育價值和魅力而被編入幾乎所有版本的小學數(shù)學教材。但是，很多小學數(shù)學教師把這樣一個魅力無窮的問題教成了一道普通的“數(shù)學應(yīng)用題”，單純引導(dǎo)學生解決“植樹問題”、得到答案，不能將“植樹問題”延伸和演繹，不能把“植樹問題”的解決方法類推到其他問題解決中，未能挖掘“植樹問題”蘊含的豐富的數(shù)學思想、數(shù)學文化和數(shù)學精神。

一、“植樹問題”的教學分析

在小學數(shù)學教學中，教師通常把“植樹問題”設(shè)計為等距離植樹，教學流程是把“小路”抽象成一條線段，把“樹”抽象成點，點把線段平均分成若干段（間隔），“探究”后發(fā)現(xiàn)“間隔數(shù)=路的總長÷間距”;三種不同植樹要求，分成三種情形找間隔數(shù)和點數(shù)（棵數(shù)）之間的數(shù)量關(guān)系——“點數(shù)=間隔數(shù)+1”（兩端都種）、“點數(shù)=間隔數(shù)-1”（兩端不種）、“點數(shù)=間隔數(shù)”（只種一端），并要求學生熟背這一規(guī)律，然后變化問題情境訓練解題技能，使學生面對類似的新情境時能不假思索地機械應(yīng)用。實際教學效果不盡如人意，學生在解決“樓梯問題”“鋸木頭問題”等過程中屢屢出錯。學生分不清具體問題中的“樹”和“間隔”，不能把“植樹問題”的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進行知識鏈接，導(dǎo)致解題錯誤百出，同時也束縛了學生思維的發(fā)展，沒能更廣泛地將“植樹問題”應(yīng)用在生活中。

經(jīng)過對原有課堂教學的反思和對教學文獻的分析，解讀課標和小學數(shù)學教材，我們達成了以下幾點共識。

第一，重視“模式化”，讓學生弄清楚“樓梯問題”“鋸木頭問題”等都與“植樹問題”有相同的數(shù)學結(jié)構(gòu)：“植樹問題”數(shù)學模型。以“植樹問題”的現(xiàn)實原型為背景，根據(jù)“樹”與“間隔”所呈現(xiàn)出來的內(nèi)在規(guī)律，通過適當?shù)慕虒W手段幫助學生建立“點段關(guān)系模型”，這是本節(jié)課的關(guān)鍵。

第二，“植樹問題”的實質(zhì)就是“點段關(guān)系模型”中的點與段的對應(yīng)關(guān)系。在教學實踐中，強調(diào)并要求記憶“兩端都種”“只有一端種”“兩端不種”三種情況相應(yīng)的計算法則。面對新的類似問題時，多數(shù)學生只會機械應(yīng)用，不能完整無誤地寫出“植樹問題”三種類型的數(shù)量關(guān)系，部分學生弄反了數(shù)量關(guān)系中的棵數(shù)和段數(shù)。就“植樹問題”而言，是否真的就只有“兩端都種”“只種一端”“兩端都不種”這樣三種情況？也許還會存在“由于道路中間有一段是我們學校的大門，在學校大門前（某一段的若干個間隔）不需要種樹”等特殊情況。其實，所謂的三種情形相應(yīng)的計算規(guī)律只是針對具體情況進行的適當變化，學生需要感悟“一一對應(yīng)”的數(shù)學思想，并依據(jù)基本模式，通過適當變化以適應(yīng)各種情況。因此，比有規(guī)律地機械應(yīng)用更重要的是思維的靈活性。

第三，“100米的小路，每5米作為一小段，共有多少段”是小學階段常見的“平均分”模型的常見問題，我們在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，這種簡單的計算對高年級的學生來說，通過一番“探究”得到“間隔數(shù)=路的總長÷間距”顯得多余，因此，我們沒有把它作為知識目標之一。“雙基”不應(yīng)求全，而應(yīng)求變。

第四，“植樹問題”不一定都是植樹的問題，建好的“植樹問題”模型要回歸到現(xiàn)實情境，“植樹問題”模型同樣適合于設(shè)置公交車站、大路兩旁安裝路燈、樓層與臺階、鐘樓大鐘敲鐘報時、鋸木頭、男女生間隔排列等問題，學生運用模型解決這類問題時，真正的困難是對同模結(jié)構(gòu)的識別——把哪些對象看成“點”，哪些對象看成“段”。

基于此，我們的教學設(shè)計分兩個階段：第一階段是從尋找規(guī)律走向建構(gòu)模型，第二階段是從應(yīng)用模型走向培養(yǎng)致善精神。

二、從尋找規(guī)律走向建構(gòu)模型

建立數(shù)學模型的過程可以描述為：根據(jù)建模的目的和掌握的信息（如數(shù)據(jù)、現(xiàn)象等），將實際問題翻譯成數(shù)學問題，用數(shù)學語言準確地表述出來。（如圖1）將現(xiàn)實對象的信息加以翻譯、歸納，用精準的數(shù)學語言表述對象的內(nèi)在特征，建立數(shù)學模型;再經(jīng)過求解、演繹，得到數(shù)學上的解答;然后經(jīng)過翻譯再回到現(xiàn)實對象，給出分析、預(yù)報、決策、控制的結(jié)果;最后，這些結(jié)果必須經(jīng)受實際的檢驗，完成“實踐—理論—實踐”這一循環(huán)。

學生在小學一年級學習過比多少，假設(shè)在桌面上有一些杯子和蓋子，如果想知道是杯子多還是蓋子多，常用的方法有兩種：一種是分別數(shù)出杯子和蓋子的數(shù)量，比較哪個數(shù)大就行了;另一種是將每個蓋子蓋在杯子上，然后看看是否有杯子缺蓋子，或者是否有蓋子剩余，或者剛好既沒有杯子缺蓋，也沒有蓋子剩余。由于第一種方法要數(shù)出元素的數(shù)目，這對很多情況來說是辦不到的，而第二種方法不計元素的數(shù)目也能進行比較，因此第二種方法更具普適性。在數(shù)學中，我們選擇第二種方法作為比較“多與少”的標準方法，這種方法蘊含“一一對應(yīng)”的數(shù)學思想。只有讓學生理解了一一對應(yīng)，他們才能真正明白“植樹問題”數(shù)量關(guān)系中的“+1”“-1”和“一樣多”的含義。

教師在教學“植樹問題”時，可以根據(jù)課本中的具體的問題（如圖2）創(chuàng)設(shè)情境，滲透對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建“植樹問題”模型，讓學生經(jīng)歷“實際情境—畫點線圖—觀察圖形—歸納規(guī)律（點數(shù)與段數(shù)的數(shù)量關(guān)系）”，以及逐步加深認識的過程，進而使他們獲得一個清晰的“植樹問題”數(shù)學模型：點的個數(shù)與小段的段數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。

形式上的抽象性和應(yīng)用上的廣泛性與是數(shù)學所具有的顯著特點，數(shù)學的抽象程度越高，數(shù)學的應(yīng)用就越廣泛。正是追求更廣泛的應(yīng)用，促成了數(shù)學的進一步抽象化。因此，我們在教學中將“線段”更一般化為“線”（不一定是線段，如圖3所示），線上的“點”也不一定是等分點。

三、從應(yīng)用模型走向培養(yǎng)致善精神

教學中，教師首先要引導(dǎo)學生通過畫圖，抽象出實際問題對應(yīng)的植樹問題模型中的“點”和“段”，再利用具體的“點”“段”的對應(yīng)關(guān)系解決問題;變式練習的設(shè)計，要從“近”到“遠”、從低級到高級，不同層次的練習層層推進，增強學生對同模結(jié)構(gòu)的識別能力，發(fā)展學生思維，培養(yǎng)學生的致善精神，讓學生體驗到數(shù)學模型的抽象性及其應(yīng)用的廣泛性。

第一題組，教師可以安排一個完全同類的題組（如圖4所示）。第一題的情境不變，“樹”是真樹，只是改變了數(shù)量。第二題將“樹”變式成“公車站”。兩題與課本原型完全同模，旨在增強學生用“植樹問題”模型解決問題的熟練度。

第二個題組，充滿生活氣息。如圖5所示，第一題屬于可逆性變式，袋鼠每跳一下的距離是間隔的長度，腳印是“樹”，小路的全長是原型的條件，在這里成了問題。第二題屬于條件性擴展變式，道路的兩側(cè)常常被學生忽略。

第三個題組，主要目的是讓學生在“植樹問題”數(shù)學模型的廣泛應(yīng)用中受到激勵。第一題是“敲鐘”問題（如圖6所示），我們把看不見卻能聽得見的鐘聲當成了“樹”，相鄰兩次敲響的鐘聲之間的時間成了“間隔”。

第二題是“鋸木頭問題”（如圖7所示）：“樹”是鋸口處，這是不容易看見的“樹”;因為題目沒有要求把木頭分成一樣長的小段，所以“樹”不一定是等距離排列，間隔也不一定是相等的。題目還可以改編成：“我交代工人把一根木頭鋸成10段。我走出車間，聽到電鋸響了10次。雖然我沒有親眼看到，但是我已經(jīng)知道這位工人鋸的木頭不符合我的要求，這是為什么？”以增強趣味性。

第三題的原題是：“一節(jié)課有40分鐘，老師擔心來不及講完所有內(nèi)容，所以設(shè)置了手機提醒。上課鈴聲響后，老師的手機每隔5分鐘就振動一次，提醒老師要把握時間。一節(jié)課下來，手機要提醒老師幾次呢？”雖然它與課本上的原型類似，但是由于各教學環(huán)節(jié)所用的時間并不相等，所以這樣的提醒設(shè)置對老師沒什么用處。我們進行了如圖8的改編，“線”上的“點”不一定是等分點，也許會有更廣泛的應(yīng)用。

第四題（如圖9所示）中，梧桐樹是“樹”，相鄰兩棵梧桐樹中間的銀杏樹就不是“樹”了，而是“植樹問題”模型中的“間隔”。因此，“間隔”未必就是“一段”，只是我們可以把它們“畫”成段。教師向?qū)W生明確，“植樹問題”不一定是要植樹的，“樹”不僅僅是樹，有時候不是樹卻可以看成“樹”，而有的時候真樹又可以看成“間隔”，這就是“植樹問題”的奇妙。

我們通過改變問題中的已知條件，體現(xiàn)一題多練，通過對比讓學生發(fā)現(xiàn)解決“植樹問題”不是簡單地“+1”或“-1”，而是要看清已知條件和所求的問題。

教師要讓學生感受“植樹問題”的無窮魅力，超越具體的感性的解題方法，上升到抽象的思想方法與策略，引領(lǐng)學生建構(gòu)解決這類問題的數(shù)學模型，探究出解決此類問題的“通則”“通法”，激勵學生在日常生活和生產(chǎn)中更廣泛地運用數(shù)學模型，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學致善精神。

【作者簡介】李織蘭（1967— ），女，廣西百色人，在職碩士，副高職稱，現(xiàn)就職于桂林師范高等?？茖W校，研究方向為小學數(shù)學教育;李春蓮（1977— ），女，大學本科學歷，一級教師，現(xiàn)就職于桂林市臨桂區(qū)第三小學，研究方向為小學數(shù)學教育;徐娟（1978— ），女，廣西靈川人，大學本科學歷，一級教師，現(xiàn)就職于桂林市靈川縣第三小學，研究方向為小學數(shù)學教學。

（責編 秦越霞）