楊 威,劉永祥,付耀文,黎 湘

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

目標(biāo)檢測(cè)是雷達(dá)的基本功能,不僅影響雷達(dá)的探測(cè)性能,也深刻影響著后續(xù)雷達(dá)目標(biāo)跟蹤與識(shí)別等任務(wù),其魯棒性決定了雷達(dá)應(yīng)用的成敗。雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)就是在含有噪聲的雷達(dá)回波中,完成對(duì)“目標(biāo)存在與否”假設(shè)的檢驗(yàn)判斷。鑒于噪聲的隨機(jī)特性以及雷達(dá)目標(biāo)回波幅度隨著姿態(tài)、頻率、極化等多因素影響,雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)常在貝葉斯理論框架下建模為NP(Neyman-Pearson)問(wèn)題[1],即將虛警概率限定在一個(gè)有限的水平,使檢測(cè)概率最大化。通過(guò)相干或非相干積累，可以進(jìn)一步提升雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)性能[2-5]。

實(shí)際應(yīng)用及理論研究中,大多假設(shè)雷達(dá)目標(biāo)由多個(gè)獨(dú)立散射體構(gòu)成,每個(gè)散射體的雷達(dá)散射截面積(radar cross section,RCS)獨(dú)立且不變,但位置隨機(jī)。根據(jù)電磁散射理論和中心極限定理,此類(lèi)目標(biāo)經(jīng)線性檢波器輸出的雷達(dá)目標(biāo)回波幅度服從瑞利分布[6]。對(duì)于目標(biāo)的回波幅度，也有部分學(xué)者建模時(shí)采用高斯混合分布[7-9]、瑞利混合概率密度函數(shù)[10-11]、多自由度卡方概率密度函數(shù)[6]、混合伽馬分布[12]、混合Gp分布[13-15]。在貝葉斯理論框架下,NP檢測(cè)的最終依據(jù)就是當(dāng)線性檢波器輸出電壓大于等于某門(mén)限,則判定有目標(biāo)；當(dāng)輸出電壓小于某門(mén)限,則判定無(wú)目標(biāo)[16-18]。其中,門(mén)限值由目標(biāo)的平均幅度、噪聲功率和虛警概率3個(gè)參數(shù)決定。一方面,針對(duì)上述NP檢測(cè)原理,在雷達(dá)對(duì)抗領(lǐng)域提出了不少欺騙式干擾策略,即提高干擾源的功率、漸進(jìn)地誘騙跟蹤鎖定波束,從而實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)術(shù)逃逸[19-21]。另一方面,由于目標(biāo)回波起伏特性,極可能導(dǎo)致檢測(cè)方法作出過(guò)于自信的決策,從而存在信息損失,如當(dāng)輸入待檢測(cè)回波幅度觀測(cè)值很大時(shí),既有可能是目標(biāo)回波幅度起伏特性導(dǎo)致,也有可能是由外來(lái)干擾產(chǎn)生,這種信息在NP準(zhǔn)則下是無(wú)法進(jìn)行合理表征的。因此,上述NP方法缺乏檢測(cè)魯棒性,在有電子干擾的場(chǎng)景中,其恒虛警特性將受到破壞。對(duì)于外來(lái)干擾,既可以是先驗(yàn)假設(shè)目標(biāo)之外的外來(lái)實(shí)體目標(biāo),也可以是先驗(yàn)假設(shè)目標(biāo)之外的欺騙式干擾目標(biāo),反映此類(lèi)目標(biāo)回波幅度特性的平均RCS大于先驗(yàn)假設(shè)目標(biāo)的平均RCS。同時(shí),外來(lái)干擾也可以是先驗(yàn)假設(shè)噪聲之外的噪聲,反映此類(lèi)噪聲回波幅度特性的平均RCS小于先驗(yàn)假設(shè)噪聲的平均RCS,其中先驗(yàn)假設(shè)噪聲也即建模噪聲,可稱(chēng)為模型噪聲。

針對(duì)該問(wèn)題,本文利用連續(xù)信任函數(shù)理論[22-24]在不確定性信息表征方面的優(yōu)勢(shì),嚴(yán)格推導(dǎo)了一種魯棒檢測(cè)器,使其同時(shí)對(duì)模型噪聲和外來(lái)干擾都具備一定的判斷力,體現(xiàn)在可以提供更豐富更準(zhǔn)確的決策量化信任度。針對(duì)該檢測(cè)器不存在解析解的難題,提出了一種通過(guò)查表進(jìn)行數(shù)值擬合近似的策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的魯棒性。

1 連續(xù)信任函數(shù)理論基礎(chǔ)

假設(shè)一個(gè)離散的辨別框架Θ={θ1,θ2,…,θC},其中θc表示第c類(lèi)假設(shè),C表示總假設(shè)數(shù)目。經(jīng)典的貝葉斯理論是將所有的信任(即可能性)分配給上述辨別框架的每一個(gè)假設(shè),稱(chēng)之為各假設(shè)成立的概率。而在信任函數(shù)理論[25]框架中,其信任是分配給辨別框架的任意子集S?Θ,如下所示:

(1)

式中:m(·)為基本信任分配(basic belief assignment,BBA)函數(shù)。

空集?上所獲得的基本信任質(zhì)量m(?)表示外來(lái)干擾的可能性,而全集Θ上所獲得的基本信任質(zhì)量m(Θ)表示完全無(wú)知的可能性大小。通常,任意子集S?Θ所獲得的基本信任質(zhì)量m(S)>0表示假設(shè)來(lái)自于該子集的可能性,但無(wú)法判定該子集中到底哪個(gè)假設(shè)成立,S稱(chēng)之為焦元。當(dāng)所有焦元滿足嵌套關(guān)系時(shí),該基本信任分配函數(shù)被稱(chēng)為一致基本信任分配函數(shù)。

基于m(·)函數(shù),可以推導(dǎo)得到信任函數(shù)bel(·)和似然函數(shù)pl(·),三者間滿足一一映射關(guān)系：

(2)

(3)

式中：任意集合?Θ。

在最終輸出硬判決時(shí),基于最小投注原理,可以將m(·)函數(shù)轉(zhuǎn)換為投注概率函數(shù)BetP(·)：

(4)

判決具有最大投注概率的假設(shè)成立,其中|S|表示集合S的勢(shì),即其元素?cái)?shù)目。

這些函數(shù)是定義在離散辨別框架Θ內(nèi)的,但是大部分實(shí)際觀測(cè)空間為連續(xù)實(shí)數(shù)域R。在連續(xù)實(shí)數(shù)域中,基本信任分配函數(shù)可擴(kuò)展為基本信任密度(basic belief density,BBD)函數(shù),假設(shè)實(shí)數(shù)域中所有連續(xù)閉區(qū)間集合F={[a,b]|a≤b},則BBD函數(shù)定義為fF:F→[0,+∞],即mF([a,b])=fF(a,b)。在連續(xù)實(shí)數(shù)域內(nèi),相關(guān)的信任函數(shù)、似然函數(shù)與投注概率函數(shù)的定義如下所示:

(5)

(6)

(7)

在連續(xù)信任函數(shù)理論框架內(nèi),假設(shè)知識(shí)由條件投注概率密度函數(shù)BetfR[θc](·)表示,其中?θc∈Θ。文獻(xiàn)[25]已經(jīng)證明,在最小投注概率準(zhǔn)則條件下,當(dāng)條件投注概率密度函數(shù)滿足單峰特性時(shí),由其可推導(dǎo)得到一個(gè)唯一的一致基本信任分配函數(shù),其對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)見(jiàn)定理1所示。

定理1假設(shè)BetfR[θc](·)函數(shù)的峰值所處位置為μ∈R,且X=[x,y],當(dāng)x>μ時(shí),似然函數(shù)如下所示：

(8)

式中:γ(t)<μ且BetfR[θc](γ(t))=BetfR[θc](t),γ(t)也被稱(chēng)為t的等投注概率投影。

為論述方便,令t=γ-1(t)。事實(shí)上,對(duì)于一個(gè)單峰條件投注概率密度函數(shù)BetfR[θc](·),假設(shè)其對(duì)應(yīng)的一致基本信任分配函數(shù)為mR[θc](·),則任意實(shí)數(shù)域上的點(diǎn)觀測(cè)z∈R,當(dāng)z=min(z∈X)且min(z∈X)>μ時(shí),或者當(dāng)z=max(z∈X)且max(z∈X)<μ時(shí),則滿足plR[θc](z)=plF[θc](X)。因此,在最小投注概率準(zhǔn)則條件下,當(dāng)獲得的點(diǎn)觀測(cè)z∈R且z≥μ時(shí),其條件觀測(cè)似然函數(shù)為

(9)

當(dāng)z<μ時(shí),其條件觀測(cè)似然函數(shù)為

(10)

由廣義貝葉斯定理(general bayes theorem,GBT),當(dāng)所有的條件似然函數(shù)已知時(shí),其在離散辨別框架Θ上基本信任分配函數(shù)為

(11)

實(shí)際應(yīng)用中,不可能獲得嚴(yán)格意義上的條件投注概率密度函數(shù)BetfR[θc](·),常取為條件概率密度分布函數(shù),即令BetfR[θc](·)=pθc(·)[5]。文獻(xiàn)[26-27]對(duì)于高斯分布、α-穩(wěn)態(tài)分布等典型的單峰條件投注概率密度函數(shù)給出了對(duì)應(yīng)的條件似然函數(shù)plR[θc](·)計(jì)算公式。但是,在雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)域,目標(biāo)回波幅度隨著觀測(cè)視角、探測(cè)頻率、極化方式等多因素影響,其起伏模型往往被建模為瑞利概率密度函數(shù)：

(12)

2 問(wèn)題描述與魯棒雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)

2.1 問(wèn)題描述

假設(shè)雷達(dá)回波幅度觀測(cè)值為z∈R+,表示檢波器輸出的電壓絕對(duì)值,其模型噪聲條件觀測(cè)似然函數(shù)值為noise(z)=和真實(shí)目標(biāo)條件觀測(cè)似然函數(shù)值為當(dāng)兩者都極小時(shí)或當(dāng)兩者比值接近于1時(shí),外來(lái)干擾的可能性或模型噪聲與真實(shí)目標(biāo)間的不可區(qū)分度都急速上升,給目標(biāo)檢測(cè)決策帶來(lái)了巨大風(fēng)險(xiǎn)。但按照NP準(zhǔn)則,當(dāng)模型噪聲幅度的條件概率密度函數(shù)和真實(shí)目標(biāo)幅度的條件概率密度函數(shù)已知時(shí),給定一個(gè)固定的虛警概率,判斷觀測(cè)z是否大于某一個(gè)門(mén)限,當(dāng)大于該門(mén)限時(shí)判斷為真實(shí)目標(biāo),當(dāng)小于該門(mén)限時(shí)判斷為模型噪聲,這種檢測(cè)方法無(wú)法區(qū)分外來(lái)干擾,在高度不確定的條件下也會(huì)給出一個(gè)明確結(jié)論,缺乏魯棒性。引起該問(wèn)題的核心原因在于貝葉斯理論中將所有信任質(zhì)量賦予辨別框架Θ={θ0,θ1}中的單一元素子集,其中θ0表示模型噪聲假設(shè),θ1表示真實(shí)目標(biāo)假設(shè)。

如前所述,連續(xù)信任函數(shù)理論框架可以更好地表征不確定信息。針對(duì)目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題,可以將基本信任質(zhì)量賦予空集表示外來(lái)干擾的可能性大小,賦予全集表示真實(shí)目標(biāo)和模型噪聲完全無(wú)法區(qū)分的可能性大小。然而,有效運(yùn)用連續(xù)信任函數(shù)理論,必須解決由非對(duì)稱(chēng)的單峰條件投注概率密度函數(shù)計(jì)算如式(8)～式(10)所示的條件觀測(cè)似然值,最后再利用GBT在離散辨別框架上完成信任函數(shù)構(gòu)造,基于此完成目標(biāo)檢測(cè)的軟判決。

2.2 瑞利密度函數(shù)的條件觀測(cè)似然值計(jì)算策略

prls(η)=2ηexp(-η2)

(13)

圖1 標(biāo)準(zhǔn)瑞利概率密度函數(shù)曲線Fig.1 Standard Rayleigh probability density function curve

表1 標(biāo)準(zhǔn)瑞利概率密度函數(shù)的近似等投注概率對(duì)Table 1 Approximate Iso-pignistic points for standard Rayleigh probability density function

(14)

(15)

由式(15)可以得到等投注概率對(duì)變換公式：

(16)

(17)

(18)

因此,根據(jù)如式(13)和表1所示的標(biāo)準(zhǔn)瑞利概率密度函數(shù)的等投注概率表,查詢(xún)獲得t的近似值為

(19)

由此獲得近似求和的下限為

(20)

則可完成條件觀測(cè)似然函數(shù)計(jì)算。

2.3 基于信任函數(shù)理論的魯棒雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)算法

依據(jù)第2.1節(jié)和第2.2節(jié)所述,具體算法的偽代碼如表2所示,圖2給出了該檢測(cè)方法的結(jié)構(gòu)示意圖。

表2 基于信任函數(shù)理論的魯棒雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)算法Table 2 Robust radar target detection algorithm based on trust function theory

圖2 基于連續(xù)信任函數(shù)理論的魯棒雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)器結(jié)構(gòu)Fig.2 Configuration of the robust radar detector based on the continuous belief function theory

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析

基于本文所提如表2所示的步驟1和步驟2,則可以畫(huà)出任意點(diǎn)觀測(cè)z∈(0,+∞)對(duì)應(yīng)的條件觀測(cè)似然函數(shù)plR[θn](·)和plR[θt](·)的分布曲線,如圖3所示，其中橫坐標(biāo)表示檢波器輸出的絕對(duì)值電壓，單位為伏特；縱坐標(biāo)表示輸出電壓的概率密度函數(shù)值及其對(duì)應(yīng)觀測(cè)似然函數(shù)值的大小，無(wú)量綱。由圖3可以看出,信任函數(shù)理論框架下的條件觀測(cè)似然函數(shù)plR[θn](z)或plR[θt](z)并不等于貝葉斯理論框架下的條件概率密度函數(shù),但根據(jù)定理1的假設(shè)可以知道,前者是由后者推導(dǎo)得來(lái)。

圖3 雷達(dá)模型噪聲和真實(shí)目標(biāo)回波幅度起伏概率密度函數(shù)和對(duì)應(yīng)條件觀測(cè)似然函數(shù)曲線Fig.3 Amplitude fluctuation probability density function for modeled-noise and true target and their corresponding conditional plausibility functions

圖4 條件化的基本信任分配函數(shù)Fig.4 Conditional basic belief assignment function

進(jìn)一步按照表2所示的步驟3,可以畫(huà)出這些點(diǎn)觀測(cè)所對(duì)應(yīng)的條件基本信任分配函數(shù)mΘ[z](·),如圖4所示。其中，橫坐標(biāo)表示檢波器輸出的絕對(duì)值電壓，單位為伏特；縱坐標(biāo)表示輸出電壓的基本信任分配函數(shù)值的大小，無(wú)量綱。由圖4可以看出,當(dāng)點(diǎn)觀測(cè)極小或者極大時(shí),賦予空集的基本信任質(zhì)量都趨近于1,即由于模型噪聲和真實(shí)目標(biāo)的條件觀測(cè)似然都很小,意味著此模型噪聲和真實(shí)目標(biāo)都不存在的可能性或外來(lái)干擾的可能性急速上升。當(dāng)點(diǎn)觀測(cè)在模型噪聲條件幅度起伏概率密度函數(shù)BetfR[θn](·)峰值位置附近時(shí),賦予模型噪聲假設(shè)的基本信任質(zhì)量相對(duì)最大；當(dāng)點(diǎn)觀測(cè)在真實(shí)目標(biāo)條件幅度起伏概率密度函數(shù)BetfR[θt](·)峰值位置附近時(shí),賦予真實(shí)目標(biāo)假設(shè)的基本信任質(zhì)量相對(duì)最大；當(dāng)點(diǎn)觀測(cè)在前述兩個(gè)峰值之間時(shí),模型噪聲與真實(shí)目標(biāo)間的不可區(qū)分度又增加,因此賦予全集的基本信任質(zhì)量達(dá)到最大值。由此可以看出,基于連續(xù)信任函數(shù)理論的雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)器具有更強(qiáng)大的信息表征能力。

最后按照表2所示的步驟4,可以計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的條件投注概率值BetP[z](·),如圖5所示。其中，橫坐標(biāo)表示檢波器輸出的絕對(duì)值電壓，單位為伏特；縱坐標(biāo)表示輸出電壓的條件概率值的大小，無(wú)量綱。在貝葉斯理論框架下,由于模型噪聲和真實(shí)目標(biāo)的先驗(yàn)概率未知,因此不同假設(shè)的概率P(·|z)與其條件概率密度函數(shù)f(·|θn)=BetfR[θn](·)或f(·|θt)=BetfR[θt](·)成正比。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中,NP準(zhǔn)則按照基于對(duì)虛警概率和檢測(cè)概率兩個(gè)指標(biāo)的需求,合理設(shè)定一個(gè)門(mén)限值Th,當(dāng)輸入點(diǎn)觀測(cè)z≥Th時(shí),則認(rèn)定為目標(biāo),否則認(rèn)定為模型噪聲。事實(shí)上,在現(xiàn)代電子干擾的背景下,采用距離、速度、角度、聯(lián)合多維度欺騙等對(duì)抗措施時(shí),干擾假目標(biāo)信號(hào)的幅度往往大于真實(shí)目標(biāo)的幅度觀測(cè),因此在NP準(zhǔn)則下很容易被誘騙,其恒虛警(constant false alarm ratio,CFAR)特性也將遭到破壞,缺乏魯棒性。由圖5曲線可以看出,連續(xù)信任函數(shù)理論框架下得到的投注概率與貝葉斯理論框架下得到的后驗(yàn)概率結(jié)果還是有區(qū)別的。與貝葉斯理論相比,連續(xù)信任函數(shù)理論不需要對(duì)未知的先驗(yàn)概率進(jìn)行先驗(yàn)配置,而且圖4表明后者具有更豐富的信息表征能力,可以高效表征模型噪聲、真實(shí)目標(biāo)與外來(lái)干擾的檢測(cè)不確定性,因此具有更高的魯棒性。

圖5 條件投注概率及貝葉斯后驗(yàn)概率Fig.5 Conditional bet probability and Bayesian posterior probability

4 結(jié) 論

本文針對(duì)雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題,在連續(xù)信任函數(shù)理論框架下,提出了一種魯棒檢測(cè)器。相比貝葉斯理論框架中的NP準(zhǔn)則,新檢測(cè)器可以更好地區(qū)分模型噪聲、真實(shí)目標(biāo)、外來(lái)干擾等,具有更豐富的信息表征能力。在計(jì)算時(shí),該檢測(cè)器需要求得瑞利概率密度函數(shù)的等投注概率投影點(diǎn),針對(duì)其不存在解析解的難題,設(shè)計(jì)提出了一種數(shù)值近似的解算方法。理論分析結(jié)果驗(yàn)證了該檢測(cè)器的魯棒性。相關(guān)檢測(cè)軟決策信息還可以輸入后端數(shù)據(jù)處理模塊,如特征輔助的多目標(biāo)跟蹤等。

目前,正在向更廣泛的噪聲和目標(biāo)幅度起伏模型推廣,包括但不限于高斯混合分布、瑞利混合概率密度函數(shù)、多自由度卡方概率密度函數(shù)、混合伽馬分布、混合Gp分布等；另一方面,未來(lái)將利用更多的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),對(duì)本文所提檢測(cè)算法的接收機(jī)工作特性曲線進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證,在難以推導(dǎo)得到接收機(jī)工作特性特性的解析解時(shí),可通過(guò)蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)方式獲?。蛔詈?利用信任函數(shù)理論中的融合規(guī)則,研究該檢測(cè)器的積累檢測(cè)性能也是值得探索的一大方向。