馬嘯宇,張金生,李 婷

(火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院,陜西 西安 710025)

0 引 言

近年,隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展以及數(shù)據(jù)規(guī)模的不斷擴(kuò)大,提高信息采集的效率成為了亟待解決的問題。各種新的信號(hào)處理方法被逐步提出,其中最具有代表性的就是于2006年所提出的壓縮感知理論。在壓縮感知理論中,任意一個(gè)信號(hào)都可以進(jìn)行壓縮觀測(cè),從而突破了Nyquist采樣定理的限制[1-3]。該理論實(shí)質(zhì)上是將信號(hào)采集端的計(jì)算壓力轉(zhuǎn)移到信號(hào)處理端,從而極大提高了信號(hào)采集的效率。壓縮感知在信號(hào)采集端性能受限的領(lǐng)域具有很大的應(yīng)用前景,如遙感系統(tǒng)、雷達(dá)成像、核磁共振成像、森林火災(zāi)預(yù)警等[4-7]。

壓縮感知理論主要可以分為信號(hào)稀疏表示、壓縮觀測(cè)和重構(gòu)算法3個(gè)部分[8-10]。信號(hào)稀疏表示主要采用離散傅里葉變換、離散余弦變換、離散小波變換等作為稀疏基[11]。重構(gòu)算法主要分為兩類,一是凸優(yōu)化算法,如內(nèi)點(diǎn)法、基追蹤法等,通過最小化l1范數(shù)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解,具有很高的重構(gòu)精度,但計(jì)算量很大;二是貪婪算法,主要有匹配追蹤、正交匹配追蹤、正則化正交匹配追蹤等,計(jì)算量較小,但需要稀疏度先驗(yàn)信息[12]。如今壓縮感知的研究主要集中在觀測(cè)矩陣的構(gòu)造方面,觀測(cè)矩陣主要分為確定性矩陣和隨機(jī)性矩陣兩類,確定性矩陣易于硬件實(shí)現(xiàn),但只針對(duì)于特定種類的信號(hào)具有較好的重構(gòu)效果。隨機(jī)性矩陣具有較高的適應(yīng)性,但由于難以在硬件上產(chǎn)生質(zhì)量較高的隨機(jī)數(shù)而應(yīng)用較少。

為提高隨機(jī)觀測(cè)矩陣在硬件上的可行性,不少學(xué)者都對(duì)將混沌理論應(yīng)用于壓縮感知進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[13]中利用混沌隨機(jī)序列構(gòu)造了近似服從高斯分布的觀測(cè)矩陣,同時(shí)通過實(shí)驗(yàn)證明了其具有良好的信號(hào)重構(gòu)效果,文獻(xiàn)[14]研究了不同于一維Logistic混沌系統(tǒng)以及伯努利分布的觀測(cè)矩陣構(gòu)造方法,文獻(xiàn)[15]也利用混沌信號(hào)生成了觀測(cè)矩陣,同時(shí)驗(yàn)證了其滿足約束等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP)。但上述文獻(xiàn)研究?jī)?nèi)容主要都集中在分析混沌序列構(gòu)建觀測(cè)矩陣的性能上,很少對(duì)實(shí)際硬件實(shí)現(xiàn)效果進(jìn)行研究。因此，本文研究了基于四階蔡氏電路的混沌觀測(cè)矩陣構(gòu)建方法,能夠有效提高壓縮感知理論的實(shí)用性能。

當(dāng)前除提高信號(hào)傳輸效率以外,安全性也是一個(gè)重要的研究問題。本文在對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣之后,利用事先生成的偽隨機(jī)序列對(duì)信號(hào)進(jìn)行置亂加密和灰度加密,從而形成了有效的信號(hào)壓縮加密方法。

1 基本原理

1.1 壓縮感知理論

對(duì)于一個(gè)原始信號(hào)x(x∈RN),假設(shè)其在一組正交基Ψ下的系數(shù)向量為z,則該信號(hào)可表示為

x=Ψz

(1)

式中:z為信號(hào)x在正交基Ψ下的系數(shù)向量。若z中只有K個(gè)元素非零或其他元素趨近于零,則稱該信號(hào)在基Ψ下是K稀疏的,Ψ稱為稀疏字典,因此z=ΨTx。此時(shí)如果使用一個(gè)大小為M×N的觀測(cè)矩陣Φ對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行觀測(cè),則觀測(cè)得到的信號(hào)y可表示為

y=Φx=ΦΨz

(2)

該方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù),一般情況下無法求解,但當(dāng)M小于K時(shí),可以通過最優(yōu)化l0范數(shù)的方法對(duì)該問題進(jìn)行求解。

min‖ΨTx‖0s.t.y=Φx=ΦΨz

(3)

為解決式(3)中的優(yōu)化問題,觀測(cè)矩陣Φ和稀疏基Ψ需要滿足一定的條件,因此兩個(gè)矩陣之間的關(guān)聯(lián)性可以定義為

(4)

1.2 蔡氏電路

20世紀(jì)80年代,蔡氏電路由美國(guó)貝克萊大學(xué)的蔡少棠所發(fā)明[16-18],由于蔡氏電路可表現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)的混沌理論行為以及電路制作容易而得到廣泛應(yīng)用。四階蔡氏電路是在三階蔡氏電路基礎(chǔ)上建立的，根據(jù)基爾霍夫定律,其狀態(tài)方程為

(5)

式中:f(VC1)為流過分段線性電阻N的電流IN,其伏安關(guān)系為

IN=f(VC1)=G1VC1+0.5(G0-G1)·

(|VC1+10E|-|VC1-10E|)

(6)

式(6)為有量綱狀態(tài)方程,難以進(jìn)行分析,因此轉(zhuǎn)化為無量綱狀態(tài)方程。

令t=τ/RC2,x=VC1/E,y=VC2/E,z=RiL/E,w=VC3/E,則式(5)可變?yōu)?/p>

(7)

式中:

(8)

式中:a、b、γ1、γ2為系統(tǒng)參數(shù)。從式(8)中可以看出,方程組中有4個(gè)自變量,細(xì)微的變化就會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生巨大的影響,下文中將利用此特性產(chǎn)生每幅圖像對(duì)應(yīng)的特定密文。

2 基于蔡氏電路的信號(hào)壓縮加密方法

2.1 混沌觀測(cè)矩陣構(gòu)建

為構(gòu)建符合實(shí)驗(yàn)要求的觀測(cè)矩陣,本文采用上述四階蔡氏電路作為信號(hào)源,將模擬信號(hào)化為二進(jìn)制隨機(jī)數(shù),從而構(gòu)成混沌隨機(jī)矩陣。具體實(shí)現(xiàn)過程如圖1所示。

圖1 混沌觀測(cè)矩陣壓縮感知流程Fig.1 Compressed sensing flowchart of chaotic observation matrix

為產(chǎn)生符合要求的隨機(jī)序列,利用8位ADC進(jìn)行蔡氏電路產(chǎn)生的模擬信號(hào)采集,具體方法為:首先對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行8位模數(shù)轉(zhuǎn)換,之后進(jìn)行移位邏輯運(yùn)算,最后選擇其中的有效位數(shù)作為二進(jìn)制輸出信號(hào)。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于在固定的采樣速率下,每次采樣都選取更多的有效隨機(jī)位數(shù),保證數(shù)據(jù)隨機(jī)性的同時(shí)提高了隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生速率。

為在使用一個(gè)信號(hào)源以及節(jié)約ADC采集資源的情況下進(jìn)一步提高隨機(jī)數(shù)的性能,本文同時(shí)對(duì)采集后的信號(hào)進(jìn)行數(shù)字移位差分處理,即將原始8位信號(hào)右移4位后與原信號(hào)進(jìn)行異或,獲得最終的隨機(jī)序列。圖2為移位差分的具體原理。

圖2 數(shù)字移位差分示意圖Fig.2 Schematic diagram of digital shift difference

2.2 圖像加密

文中主要對(duì)二維圖像的加密進(jìn)行具體地研究。對(duì)于經(jīng)過混沌觀測(cè)矩陣降維采樣后的圖像,結(jié)合蔡氏電路生成的偽隨機(jī)序列,通過圖像預(yù)處理、灰度加密和置亂擴(kuò)散后生成最終的加密圖像。具體過程如圖3所示。

圖3 圖像加密流程圖Fig.3 Flowchart of image encryption

2.2.1 圖像預(yù)處理

在圖像加密前,需要對(duì)壓縮采樣后的圖像進(jìn)行預(yù)處理。本文研究的圖像大小都為256×256,使用的觀測(cè)矩陣大小為64×256,即壓縮采樣后圖像大小為64×256。為方便后續(xù)處理,將采樣圖像劃分為8×8的圖像塊即分成256個(gè)同樣大小的圖像塊。具體方法如下。

(1)設(shè)采樣圖像為I,將其按照光柵掃描的順序轉(zhuǎn)化成一維向量T=[t1,t2,…,t64×256]。

(2)設(shè)x0,y0,z0,w0為混沌系統(tǒng)初始系統(tǒng)參數(shù),利用SHA-256算法對(duì)明文圖像生成特定的消息摘要作為擾動(dòng)因子,對(duì)蔡氏電路初始系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行擾動(dòng),從而使得混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的密鑰與明文圖像有一定的相關(guān)性,以提高算法對(duì)于已知明文攻擊和選擇明文攻擊的抵抗能力。由于SHA-256算法生成的是256位2進(jìn)制密鑰G,將其分為32個(gè)子密鑰,每部分的長(zhǎng)度為8位,即G=[g1,g2,…,g32],隨后利用式(9)更新混沌系統(tǒng)初始值。

(9)

(3)利用第2.1節(jié)的方法構(gòu)建4個(gè)大小為64×256的混沌觀測(cè)矩陣P1、P2、P3、P4用于后續(xù)加密過程。

2.2.2 灰度加密

設(shè)Xmn表示大小為m×n的壓縮采樣圖像,Y=(yij)mn,yij∈[0,1]是原始圖像按像素值歸一化后的圖像。灰度加密通過對(duì)Y進(jìn)行下面2個(gè)變換變換實(shí)現(xiàn)。首先對(duì)Y進(jìn)行點(diǎn)乘方和恒等變換,方法可表示為

M=α1Y∧k+α2P

(10)

式(10)具有唯一的逆變換:

Y=((T-α2P)/α2)∧k

(11)

式中:α1,α2,k為可變參數(shù),此變換的參數(shù)空間為Ω=(k,α1,α2,H)。

而后進(jìn)行灰度處理,即

(12)

2.2.3 置亂加密

本文使用位級(jí)同步置亂擴(kuò)散的方法進(jìn)行置亂加密[19]。首先,將混沌觀測(cè)矩陣P1、P2、P3、P4進(jìn)行分解生成位級(jí)密鑰流;其次將壓縮采樣的圖像同樣按照二進(jìn)制進(jìn)行位平面分解;再次對(duì)高4位和低4位平面分別進(jìn)行循環(huán)位移以及異或操作;最后利用參數(shù)傳遞的方法進(jìn)行圖像塊之間的擴(kuò)散。具體方法步驟如下。

步驟 3利用密鑰P′對(duì)二進(jìn)制圖像塊Y進(jìn)行加密,設(shè)經(jīng)過加密后的中間密文圖像為Z={z1,z2,…,zi,…,z256},zi表示第i個(gè)二進(jìn)制圖像塊。對(duì)zi的高四位和低四位分別進(jìn)行循環(huán)左移l位。

(13)

步驟 4對(duì)第i個(gè)二進(jìn)制圖像塊進(jìn)行擴(kuò)散加密,方法為

i=1,2,…,256

(14)

i=1,2,…,256;j=2,3,…,4×64

(15)

(16)

步驟 5重復(fù)進(jìn)行步驟3～步驟4,所有圖像塊完成加密后轉(zhuǎn)換為初始十進(jìn)制m×n大小圖像,生成最終加密圖像。

2.2.4 圖像解密

圖像加密的逆過程即為解密過程。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 隨機(jī)序列性能分析

本文利用NIST測(cè)試結(jié)果來驗(yàn)證上述方法生成的隨機(jī)序列的隨機(jī)性,測(cè)試數(shù)據(jù)為1 000組長(zhǎng)度為1 000 000的0/1隨機(jī)序列,結(jié)果如表1所示。

表1 NIST測(cè)試結(jié)果Table 1 Test result of NIST

從表1可以看出,通過文中方法生成的隨機(jī)序列通過了全部的測(cè)試指標(biāo),其中P為NIST測(cè)試輸出的評(píng)價(jià)指標(biāo),當(dāng)其大于0.01代表序列為隨機(jī)序列,Proportion為1 000組隨機(jī)數(shù)實(shí)驗(yàn)樣本全部通過測(cè)試的成功率,可以看到各項(xiàng)指標(biāo)成功率都在97%以上,能夠滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。

3.2 混沌觀測(cè)矩陣性能分析

為了檢驗(yàn)文中方法所構(gòu)建混沌觀測(cè)矩陣實(shí)際性能,與高斯隨機(jī)矩陣和伯努利隨機(jī)矩陣進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),采用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio,PSNR)、平均絕對(duì)誤差(mean absolute error,MAE)和均方根誤差(root mean square error,RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。對(duì)其在二維信號(hào)重構(gòu)中的效果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。

為檢驗(yàn)文中觀測(cè)矩陣對(duì)二維信號(hào)的重構(gòu)效果,采用256×256的Lena圖像作為原始圖像,離散小波變換作為稀疏矩陣,檢驗(yàn)其在不同的采樣率下的重構(gòu)結(jié)果。使用25%的采樣率,各觀測(cè)矩陣效果如圖4所示。

圖4 不同觀測(cè)矩陣圖像重構(gòu)效果對(duì)比Fig.4 Image reconstruction effects comparison of different observation matrixes

從圖4中可以看出,文中構(gòu)建的混沌隨機(jī)矩陣對(duì)于二維信號(hào)能夠取得與高斯隨機(jī)矩陣相近的重構(gòu)效果。同時(shí),本文選擇了10幅256×256的圖像對(duì)觀測(cè)矩陣性能進(jìn)行分析,在采樣率為25%、12.5%、6.25%下分別實(shí)驗(yàn);為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的穩(wěn)定性,各項(xiàng)指標(biāo)都重復(fù)進(jìn)行100次計(jì)算,最終計(jì)算的各指標(biāo)平均結(jié)果如表2～表4所示。從表2～表4可以看出,在各種采樣率下,文中生成的混沌隨機(jī)矩陣3種評(píng)價(jià)指標(biāo)的結(jié)果均優(yōu)于高斯隨機(jī)矩陣,達(dá)到了最初實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo)。

表2 25%采樣率下各觀測(cè)矩陣重構(gòu)圖像性能比較Table 2 Comparison of reconstructed images performance of observation matrix under 25% sampling rate

表3 15%采樣率下各觀測(cè)矩陣重構(gòu)圖像性能比較Table 3 Comparison of reconstructed images performance of observation matrix under 15% sampling rate

表4 6.25%采樣率下各觀測(cè)矩陣重構(gòu)圖像性能比較Table 4 Comparison of reconstructed images performance of observation matrix under 6.25% sampling rate

3.3 信號(hào)加密性能分析

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Matlab R2014A,為驗(yàn)證文中方法對(duì)圖像的加密效果,同樣對(duì)大小為256×256的灰度圖像“Lena”進(jìn)行壓縮加密。其壓縮觀測(cè)以及加密后的圖像如圖5所示。

圖5 Lena圖像加密解密結(jié)果Fig.5 Encryption and decryption results of Lena image

真實(shí)的圖像往往相鄰像素點(diǎn)之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性,因此只要削弱相鄰像素之間的相關(guān)特征,就能夠有效提高圖像加密的性能,提高破譯的難度。為檢驗(yàn)文中方法對(duì)統(tǒng)計(jì)攻擊的抵抗能力,與位級(jí)加密和像素級(jí)加密結(jié)合的算法、基于分塊的位級(jí)加密與像素級(jí)加密相結(jié)合的加密算法,以及和遺傳模擬退火算法和混沌系統(tǒng)的圖像加密方法進(jìn)行對(duì)比仿真分析。

對(duì)明文/密文圖像對(duì)分別選取10 000對(duì)像素點(diǎn),分別對(duì)其在水平、垂直、對(duì)角線方向的相鄰像素間的相關(guān)性系數(shù)進(jìn)行計(jì)算,其對(duì)比結(jié)果如表5所示。

表5 3個(gè)方向上的相鄰像素相關(guān)性系數(shù)對(duì)比Table 5 Correlation coefficients comparison of adjacent pixels in three directions

Lena明文圖像和加密圖像在水平、垂直、對(duì)角線方向上的相鄰像素相關(guān)性分布圖如圖6所示。從表5可以看出,明文圖像的相關(guān)性接近于1,所有算法加密圖像的像素相關(guān)性均遠(yuǎn)小于明文圖像,文中方法加密圖像的相關(guān)性系數(shù)略低于其他算法。從圖6可以看出,明文圖像在3個(gè)方向上的相鄰像素大部分都位于一條直線上,具有很強(qiáng)的相關(guān)性,而加密后的圖像幾乎均勻分布在整個(gè)像素空間中,可以有效掩蓋原圖像的統(tǒng)計(jì)信息,說明具有較強(qiáng)的抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊能力。

圖6 Lena明文圖像和加密圖像在不同方向的相鄰像素分布Fig.6 Distribution of adjacent pixels in difference directions of Lena plaintext images and encrypted images

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于蔡氏電路的圖像壓縮加密方法,該方法首先利用蔡氏電路生成的混沌信號(hào)經(jīng)過8位量化采集和數(shù)字移位差分生成混沌隨機(jī)序列,利用該序列同時(shí)生成隨機(jī)觀測(cè)矩陣以及加密密鑰,能夠在實(shí)現(xiàn)圖像壓縮觀測(cè)的同時(shí)進(jìn)行加密。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法既能在壓縮時(shí)保留原圖像絕大部分有效信息,又能保證信號(hào)傳輸?shù)陌踩?對(duì)提高信號(hào)的采集傳輸效率具有一定意義。