薛昌成，駱吉安，申屠晗

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

圖1 純方位角目標(biāo)定位

純方位角定位在目標(biāo)跟蹤、監(jiān)視、導(dǎo)航及通信等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1]。到達(dá)角度(Angle of Arrival，AOA)定位方法通過(guò)測(cè)量空間分散傳感器相對(duì)于目標(biāo)的方位角來(lái)獲得目標(biāo)位置的估計(jì)值，由于角度測(cè)量與待估計(jì)目標(biāo)位置是反正切函數(shù)關(guān)系，真實(shí)角度與目標(biāo)位置是非線性映射的函數(shù)[2]。在加性測(cè)量噪聲假設(shè)條件下，需要用統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理的方法進(jìn)行位置參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[3]采用偽線性估計(jì)(Pseudo-Linear Estimator, PLE)解決純方位角定位問(wèn)題，PLE算法易于實(shí)現(xiàn)，且復(fù)雜度較低，但隨著測(cè)量次數(shù)的增加，偏差并不會(huì)消失。在高斯測(cè)量噪聲假設(shè)條件下，極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法[4-5]實(shí)質(zhì)是一個(gè)非凸的非線性最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，需要采用梯度下降方法進(jìn)行迭代求解。相比于PLE算法，在傳感器個(gè)數(shù)增加或者測(cè)量次數(shù)增加時(shí)，MLE算法的估算性能越來(lái)越接近克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)。但該算法對(duì)初始條件敏感，且在觀測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量不足或傳感器與目標(biāo)之間存在非視距等條件下容易發(fā)散，導(dǎo)致難以獲得全局近似解[5]。本文使用蒙特卡洛重要性采樣(Monte Carlo Importance Sampling, MCIS)算法來(lái)得到純方位角定位問(wèn)題的近似全局解。應(yīng)用Pincus定理[6]得到全局解的多維積分形式，并使用蒙特卡洛重要性采樣算法來(lái)對(duì)其進(jìn)行近似計(jì)算[7]，在引入提議分布后，采用PLE作為初始值，有效計(jì)算出目標(biāo)位置。

1 問(wèn)題描述

1.1 系統(tǒng)模型

純方位角目標(biāo)定位問(wèn)題如圖1所示。假設(shè)N個(gè)方位角傳感器位置靜止且已知，rk=[rx,k,ry,k]T表示第k個(gè)傳感器位置，θk表示第k個(gè)傳感器與目標(biāo)位置的真實(shí)方位角。純方位角目標(biāo)定位原理是在某一時(shí)刻中，從有噪聲的方位角和傳感器位置中確定真實(shí)的目標(biāo)位置t=[tx,ty]T。圖1中，方位角、傳感器位置與目標(biāo)位置之間的關(guān)系如下：

(1)

假設(shè)方位角測(cè)量值受到獨(dú)立的零均值高斯噪聲的影響，可以寫(xiě)為：

(2)

1.2 最大似然估計(jì)

方位角測(cè)量值的似然函數(shù)為：

(3)

(4)

1.3 偽線性估計(jì)

將方位角測(cè)量方程線性化[3]，第k個(gè)傳感器測(cè)量方程如下：

akt=bk+ηk

(5)

At=b+η

(6)

(7)

2 基于蒙特卡洛重要性采樣定位算法

最大似然估計(jì)不僅需要采用梯度下降方法進(jìn)行迭代計(jì)算，而且對(duì)初始條件敏感，在觀測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量不足或傳感器與目標(biāo)之間存在非視距等條件下容易發(fā)散，難以獲得全局解。所以，本文采用蒙特卡洛重要性采樣算法獲得極大似然函數(shù)的近似全局解。

(8)

式中，λ是一個(gè)趨于無(wú)窮大的常數(shù)。根據(jù)Pincus定理，得到式(4)的全局解：

(9)

定義函數(shù)g(t)為：

(10)

g(t)作為概率密度函數(shù)，具有概率密度函數(shù)的所有性質(zhì)，將目標(biāo)位置t看作隨機(jī)向量，將式(9)寫(xiě)為：

例文(16)中，‘(餅干)’和‘(飲料)’的受事賓語(yǔ)沒(méi)有提及，因此對(duì)于句子意思而言就產(chǎn)生了歧義現(xiàn)象。如果改為‘’，這樣的句子意思就是‘老師給了我兩個(gè)餅干，和兩瓶飲料?！揪湓捑筒淮嬖谄缌x現(xiàn)象。但文章若是‘’的話，受事賓語(yǔ)是‘我們’，這時(shí)本句話就可以解釋為以下三種含義。

(11)

式(11)中的積分難以計(jì)算，但可以用蒙特卡洛重要性采樣算法對(duì)其進(jìn)行近似計(jì)算。蒙特卡洛重要性采樣算法就是從一定的概率分布中獲取大量樣本，用于計(jì)算函數(shù)在樣本概率分布上的期望。假設(shè)概率密度函數(shù)g(x)的隨機(jī)向量為x，則x的期望為：

(12)

積分項(xiàng)xg(x)一般都比較復(fù)雜，難以用解析的方法求解，但可以從g(x)中采樣得到近似解[8]，若xi(i=1,2,…,N)是從g(x)采樣得到的樣本，則x的期望可以用平均值近似表示為：

(13)

由式(13)計(jì)算得到的平均值是對(duì)式(12)計(jì)算得到的期望的無(wú)偏估計(jì)，根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)N足夠大時(shí)，兩者結(jié)果非常接近，這樣就把一個(gè)復(fù)雜的積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的求平均值的問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際概率分布g(t)比較復(fù)雜，不易直接從實(shí)際概率分布進(jìn)行采樣，可以引入與實(shí)際概率分布g(t)的定義域相同的概率分布q(t)，稱(chēng)為提議分布，使得：

(14)

(15)

(16)

(17)

不需要計(jì)算式(10)的分母，因?yàn)樗且粋€(gè)常數(shù)，并且在式(16)的計(jì)算過(guò)程中會(huì)約分消除。但是，g(t)的分子是指數(shù)的，可能產(chǎn)生很小的值，為了解決這一問(wèn)題，使用ω′(tm)替換ω(tm)，寫(xiě)為：

(18)

計(jì)算權(quán)重時(shí)，如何選擇λ的值是一個(gè)問(wèn)題。通過(guò)式(8)可以得知，當(dāng)λ→∞時(shí)，全局解達(dá)到最優(yōu)，但在實(shí)際應(yīng)用中，可以將λ設(shè)置為足夠大的值[10]。

3 仿真結(jié)果及分析

圖2 傳感器與目標(biāo)位置

3.1 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)算法性能的影響

實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖2所示，目標(biāo)真實(shí)位置和20個(gè)方位角傳感器位置隨機(jī)分布，傳感器的測(cè)量角度受到零均值獨(dú)立同分布的高斯噪聲影響，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差從π/180增加到8π/180，即1°～8°。

不同方位角噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，PLE，MLE，MCIS和CRLB的RMSE如圖3所示。從圖3可以看出，隨著噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的增加，PLE算法的RMSE與CRLB之間的差距越來(lái)越大，而MLE和MCIS的RMSE曲線始終與CRLB幾乎重合。PLE，MLE和MCIS的偏差如圖4所示。從圖4可以看出，MLE和MCIS的偏差幾乎相同且很小，而PLE算法的偏差隨著噪聲標(biāo)準(zhǔn)差增加而增加。綜上，MCIS算法和MLE算法在該場(chǎng)景中可以保證良好的性能，而PLE算法性能下降明顯。該場(chǎng)景隨機(jī)產(chǎn)生的目標(biāo)位置及傳感器也保證了MCIS算法具有良好的魯棒性。

圖3 不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差下的RMSE

圖4 不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差下的偏差

3.2 傳感器整體到目標(biāo)距離對(duì)算法性能的影響

圖5 傳感器及不同目標(biāo)位置

實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖5所示，20個(gè)方位角傳感器線性排列，傳感器測(cè)量值受到的高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為4°，在線性排列的傳感器的右上方設(shè)置5個(gè)不同的目標(biāo)位置，坐標(biāo)分別為[50,50],[60,60],[70,70],[80,80],[90,90]。傳感器到目標(biāo)位置不同距離的情況下，PLE，MLE，MCIS和CRLB的RMSE如圖6所示。從圖6可以看出，當(dāng)傳感器到目標(biāo)位置的距離不斷增加時(shí)，MLE和MCIS的RMSE與CRLB非常接近，而PLE算法的RMSE越來(lái)越大。PLE，MLE和MCIS的偏差如圖7所示，PLE算法偏差隨著距離的增加而增加，而MLE和MCIS的偏差很小且?guī)缀跸嗤?。綜上，MCIS算法一直保持著和MLE算法相同的性能，達(dá)到預(yù)期結(jié)果，PLE算法性能依舊不理想。

圖6 不同目標(biāo)位置下的RMSE

圖7 不同目標(biāo)位置下的偏差

3.3 傳感器數(shù)量對(duì)算法性能的影響

為了驗(yàn)證傳感器數(shù)量對(duì)算法性能的影響，傳感器位置如圖2隨機(jī)排列，數(shù)量從12個(gè)依次增加到28個(gè)，每次增加4個(gè)傳感器，傳感器測(cè)量值受到的高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為4°，目標(biāo)位置設(shè)定為[60,60]。在不同數(shù)量傳感器的情況下，PLE，MLE，MCIS和CRLB的RMSE如圖8所示，當(dāng)傳感器數(shù)量不斷增加時(shí)，MLE和MCIS的RMSE不斷減小，同樣也很接近CRLB，PLE的RMSE并沒(méi)有隨著量測(cè)數(shù)據(jù)的增加而減小。PLE，MLE和MCIS的偏差如圖9所示，PLE算法的偏差隨著傳感器數(shù)量不斷增加并沒(méi)有減小，而MLE和MCIS的偏差隨著傳感器數(shù)量增加而減小。綜上，在增加傳感器的情況下，MCIS和MLE的性能得到了明顯改善，并且這兩種算法性能幾乎相同，而PLE算法改善不明顯。

圖8 不同傳感器數(shù)量下的RMSE

圖9 不同傳感器數(shù)量下的偏差

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于蒙特卡洛重要性采樣的純方位定位算法。算法不需要使用迭代方法計(jì)算，其性能與MLE算法相同，進(jìn)一步提高了定位算法的可靠性，具有適用性廣，容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。但是，算法僅適用于高斯噪聲環(huán)境，下一步將在Alpha穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下展開(kāi)進(jìn)一步研究。