趙健 陳昭昀 莊希寧3) 薛程 吳玉椿2)? 郭國平2)3)

1) (中國科學技術大學, 中國科學院量子信息重點實驗室, 合肥 230026)

2) (合肥綜合性國家科學中心人工智能研究院, 合肥 230088)

3) (合肥本源量子計算科技有限責任公司, 合肥 230026)

經(jīng)典計算機的運算能力依賴于芯片單位面積上晶體管的數(shù)量, 其發(fā)展符合摩爾定律. 未來隨著晶體管的間距接近工藝制造的物理極限, 經(jīng)典計算機的運算能力將面臨發(fā)展瓶頸. 另一方面, 機器學習的發(fā)展對計算機的運算能力的需求卻快速增長, 計算機的運算能力和需求之間的矛盾日益突出. 量子計算作為一種新的計算模式, 比起經(jīng)典計算, 在一些特定算法上有著指數(shù)加速的能力, 有望給機器學習提供足夠的計算能力. 用量子計算來處理機器學習任務時, 首要的一個基本問題就是如何將經(jīng)典數(shù)據(jù)有效地在量子體系中表示出來. 這個問題稱為態(tài)制備問題. 本文回顧態(tài)制備的相關工作, 介紹目前提出的多種態(tài)制備方案, 描述這些方案的實現(xiàn)過程, 總結并分析了這些方案的復雜度. 最后對態(tài)制備這個方向的研究工作做了一些展望.

1 引 言

機器學習是一門人工智能領域的科學, 其通過計算機學習訓練已知的數(shù)據(jù), 并利用訓練好的數(shù)據(jù)模式預測未知數(shù)據(jù)的信息. 隨著計算機性能的不斷增強, 機器學習對數(shù)據(jù)的處理能力也不斷提升, 被廣泛應用到各個領域[1]. 這包括圖像識別[2,3]、人臉識別[4-6]等分類問題, 也包括最優(yōu)決策問題, 如Alpha Go[7], Alpha Zero[8]的圍棋對弈等. 經(jīng)典數(shù)據(jù)有許多處理和訓練方式, 如神經(jīng)網(wǎng)絡、聚類等方法. 為了準確提取未知數(shù)據(jù)的特征, 訓練方式的選擇需要參考相應的數(shù)據(jù)類型. 當處理大規(guī)模的數(shù)據(jù)時, 為了獲取數(shù)據(jù)特征, 往往采取深度學習的學習方式, 如包含數(shù)十億權重的神經(jīng)網(wǎng)絡[9], 這充分展示了深度學習在處理大數(shù)據(jù)時的效果.

當今的機器學習發(fā)展, 特別是在大數(shù)據(jù)的處理方面, 對經(jīng)典計算機的運算能力有很高的需求.1965年戈登·摩爾提出摩爾定律, 指集成電路上可容納的元器件數(shù)目約每兩年增加一倍. 一方面, 在不久的將來隨著晶體管在芯片上的間距接近1 nm,接近傳統(tǒng)工藝制造的物理極限; 另一方面數(shù)據(jù)的爆炸式增長, 對算力需求越來越高. 于是為了應對大數(shù)據(jù)的處理, 需要一個創(chuàng)新的計算體系結構. 量子計算作為一種新的計算模型, 比起經(jīng)典計算, 在一些特定算法上有著指數(shù)加速的能力, 有望為大數(shù)據(jù)的處理提供足夠的計算需求. 如果一個量子信息計算處理器能夠產(chǎn)生經(jīng)典計算機難以模擬的統(tǒng)計模式, 那么量子計算與機器學習結合便可能識別經(jīng)典機器學習難以識別的特征. 為此, 人們將量子運算和經(jīng)典的機器學習相結合, 提出了機器學習的量子版本, 稱為量子機器學習, 并將這種寄希望于量子機器學習的優(yōu)勢稱為量子計算在經(jīng)典機器學習中潛在的加速能力[10]. 量子機器學習包括用經(jīng)典機器學習的方法處理量子物理中的問題和用量子計算的方式解決經(jīng)典機器學習的問題. 前者需要將量子物理中的量子態(tài)轉(zhuǎn)換為經(jīng)典數(shù)據(jù), 再用經(jīng)典機器學習的方法來提取數(shù)據(jù)信息, 如構造經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡訓練這些經(jīng)典數(shù)據(jù)后, 得到某些量子態(tài)的特征. 后者在處理經(jīng)典數(shù)據(jù)時, 某些步驟中的計算過程可以通過量子態(tài)的酉變換來輔助實現(xiàn), 這其中不可避免地需要將經(jīng)典數(shù)據(jù)對應成量子態(tài).

量子機器學習中, 需要運用量子計算機處理經(jīng)典數(shù)據(jù), 這涉及經(jīng)典數(shù)據(jù)的在量子體系中的表示問題. 這種將經(jīng)典數(shù)據(jù)映射到量子計算機中的過程,稱為態(tài)制備問題[11,12]. 態(tài)制備的種類有很多, 大部分是將經(jīng)典數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為了量子態(tài), 也存在一些將經(jīng)典數(shù)據(jù)映射到哈密頓量的方式. 態(tài)制備種類的選擇直接影響了執(zhí)行機器學習算法的選擇, 這意味著不同的態(tài)制備方法決定了提取經(jīng)典數(shù)據(jù)信息的差異,影響了后續(xù)在量子系統(tǒng)里的操作, 影響整個機器學習算法的計算復雜度. 同時, 態(tài)制備作為量子機器學習的其中一部分, 其制備精度和成功率會影響整個機器學習算法的有效性.

態(tài)制備問題不受限于機器學習的應用, 它同樣是一些算法的基礎, 如解線性方程組的HHL量子算法[13]. 基于解線性方程組的量子算法, 有量子主成分分析算法[14], 可用于聚類和特征識別; 也有支持向量機算法[15], 用于對大規(guī)模的數(shù)據(jù)分類問題.這類量子算法的共同點都是為了解決實際的經(jīng)典問題, 需要以經(jīng)典數(shù)據(jù)為輸入和輸出. 這可以分為三個步驟: 首先運用態(tài)制備將經(jīng)典數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為量子態(tài), 再用量子計算機對量子態(tài)進行酉變換, 最后多次地量子測量概率性得到一個經(jīng)典結果. 整個算法的復雜度受各個步驟的影響, 本文僅列出不同態(tài)制備方式的復雜度. 如果考慮量子算法的復雜度, 可通過量子線路的語言, 對所需的基本量子操作, 即基本量子門計數(shù)得到所有門的個數(shù). 類比于經(jīng)典算法的分類方式, 量子算法分為不含黑箱(oracle)的顯式算法和含黑箱的算法. 前者的復雜度指的是所有基本量子門個數(shù), 后者往往勿略黑箱的執(zhí)行時間而考慮黑箱的執(zhí)行次數(shù), 稱為質(zhì)詢復雜度. 一般地,若數(shù)據(jù)規(guī)模是O(N) 的, 量子基本門的時間層數(shù)是O(Poly(logN))的, 稱量子算法的執(zhí)行時間是有效的. 在每個時間層, 允許多個量子比特同時執(zhí)行一次量子基本門. 同樣的數(shù)據(jù)規(guī)模, 若用到的量子比特是O(Poly(logN)) 的, 稱量子算法的比特數(shù)是有效的. 量子基本門的個數(shù)受量子比特數(shù)和時間層數(shù)的影響, 在一個時間層至多有量子比特數(shù)的量子門同時執(zhí)行, 故顯式算法的復雜度上界為量子基本門的時間層數(shù)與比特數(shù)的乘積.

從經(jīng)典計算機到量子系統(tǒng)態(tài)制備的方式叫作編碼. 編碼的種類大體上可以分為三種, 分別是基底編碼、振幅編碼和量子抽樣編碼[12]. 基底編碼用于處理二值數(shù)據(jù)向量, 將數(shù)據(jù)編碼到量子態(tài)的基底上; 振幅編碼是最為常見的態(tài)制備方式, 將數(shù)據(jù)編碼到量子態(tài)的振幅上, 數(shù)據(jù)向量可以是連續(xù)變量,數(shù)據(jù)特征信息體現(xiàn)到量子態(tài)的振幅大小; 量子抽樣編碼可以看成前兩種編碼的結合, 是對在整個計算基基底的經(jīng)典概率分布進行振幅編碼, 對于某個給定的經(jīng)典概率分布, 量子抽樣編碼退化為了振幅編碼. 上述由經(jīng)典數(shù)據(jù)編碼到量子態(tài)的過程, 在量子系統(tǒng)中也可以視為從初態(tài)到目標量子態(tài)的一種酉變換. 廣義上講, 可以稱從經(jīng)典數(shù)據(jù)到酉變換的過程為編碼, 如由經(jīng)典數(shù)據(jù)決定量子系統(tǒng)演化哈密頓量的方式也可以看成一種編碼, 這種編碼稱為哈密頓量編碼.

態(tài)制備中振幅編碼的相關工作最為豐富, 除了平凡的編碼方式, 振幅編碼可以從2002年Grover和Rudolph[16]的工作談起, 其將滿足條件可積的一種數(shù)據(jù)分布制備成了量子態(tài), 制備過程依賴于經(jīng)典函數(shù)的有效計算, 且沒有給出量子線路語言, 編碼的有效性需進一步探討. Kaye等[17]以類似的方式得到了任意量子態(tài)的制備, 給出了可稱之為含黑箱的量子線路. Soklakov和Schack[11]于2005年用其他形式的黑箱給出了在一定限制條件下的有效的概率性算法. 振幅編碼中不得不提到量子隨機存取存儲器(quantum random access memory,QRAM)的方法, 這是一種從已知量子態(tài)出發(fā), 由經(jīng)典數(shù)據(jù)直接得到新的量子態(tài)的過程.

本綜述簡要敘述各種態(tài)制備的編碼方式, 并給出一些簡單的例子. 根據(jù)各個編碼方式的適用情景, 對不同編碼進行比較, 列出態(tài)制備的復雜度,表明應謹慎樂觀對待量子態(tài)制備問題.

符號說明文中希爾伯特空間用H表示, 任意的單位化向量|ψ〉∈H 表示量子態(tài), 其中|0〉=(1,0)T,|1〉=(0,1)T. 泡利算符用σx,σy和σz表示,在Bloch 球上, 單比特的繞A軸旋轉(zhuǎn)門RA(θ)=e-iθσA/2=cos(θ/2)I-isin(θ/2)σA, 其中A=x,y,z.

2 編碼方式

這里給出態(tài)制備的問題模型. 對給定的經(jīng)典數(shù)據(jù), 不妨假定數(shù)據(jù)集D?Rn是有限集,|D|=l, 每個數(shù)據(jù)x=(x1,···,xn)∈D, 用一個單射f將D的所有子集構成的集合, 記為 2D, 映射到某個希爾伯特空間Hm, 使得對D′?D,f(D′)∈Hm. 稱f為態(tài)制備, 其中Hm中的元素都視為單位向量, 對應量子態(tài). 例如,D={x1=(1,0),x2=(0,1)}, 可以找到一種態(tài)制備的映射,使得f({x1})=|10〉 ,f({x2})=|01〉,f(D)=

2.1 基底編碼

這類編碼中, 限定所有數(shù)據(jù)是二元向量, 或二值化處理后的經(jīng)典數(shù)據(jù)是二元向量, 即D?{0,1}n.對任意數(shù)據(jù)集的子集D′?D,xj=

這種編碼方式將數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)據(jù), 編碼到量子態(tài)的計算基上, 等權疊加. 制備過程中用到的量子比特數(shù)為O(n). 制備的思路是運用迭代法.

以同樣的迭代方法, 可以得到|ψ1...l′〉 , 即得到f(D′).

2.2 振幅編碼

這類編碼要求的數(shù)據(jù)不再是二元向量, 可以是任意實數(shù). 對于任何

這里C為歸一化常數(shù),可以看出, 如果對數(shù)據(jù)集中所有數(shù)據(jù)振幅編碼, 當ln是 2 的冪次時, 只需要 l og(ln) 個量子比特便可以編碼ln個振幅. 例如,ln=4 時, 只需制備一個2 bit的量子態(tài), 使得在四個計算基|00〉,|01〉,|10〉 和|11〉上的振幅為數(shù)據(jù)大小即可. 振幅編碼問題可以簡化為, 給定一個單點集合X={x=(x0,···,xN-1)}?RN,N為 2 的冪次, 使得在忽略歸一化常數(shù)的條件下

2.2.1 顯式的編碼

1)用 l ogN個量子比特編碼.

基本的想法是利用迭代法, 用部分量子態(tài)對新粒子多重控制操作, 直到全部粒子完成態(tài)制備. 這個算法的執(zhí)行時間是O(N). 假定制備出的量子態(tài)的每個振幅的大小已知, 即每個計算基上測量得到相應的結果的概率已知, 并且我們定義邊際概率logN-1, 如圖1所示.

圖1 當 N =8 時所有的邊際概率Fig. 1. The marginal probabilities for N =8.

假定i=0,···,2k-1), 則態(tài)制備的整個迭代流程圖可以參看圖2.

圖2 N =8 時用 O (N) 的時間制備f(X)Fig. 2. Preparation for f (X) in O (N) time for N =8.

在用 l ogN個量子比特編碼時, 每個基底前的振幅都不能并行運算, 導致了這個方法的運行時間為O(N). 如果這些多重受控操作可以并行操作,運行時間將大大降低.

2)用N個量子比特編碼. 基于減少運行時間的考量, 可以增加量子比特, 使得編碼振幅的基底選擇性更多, 從而增加并行運算的可行性. 這里選取W態(tài)的基底, 得到態(tài)制備的映射為

令

可以注意到Y(θ)|01〉=cos(θ/2)|01〉+sin(θ/2)|10〉 ,Y(θ)|10〉=-sin(θ/2)|01〉+cos(θ/2)|10〉, 這類似于對 單 比特量 子 門RY(θ) 在|0〉 和|1〉 上的操 作, 故將Y(θ) 定義為由符號“×” 控制的RY(θ) 量子門. 這里直接給出N=8 時的整個迭代過程, 詳見圖3.

圖3 N =8 時用 O (logN) 的時間獲取振幅Fig. 3. Acquiring the amplitudes in O (logN) time for N=8.

2.2.2 含黑箱的編碼

這類編碼不考慮黑箱構造的問題, 有兩大類制備方案.

I) Grover等[16]和Kaye等[17]的工作

Grover在2002年提出將滿足條件可積的經(jīng)典數(shù)據(jù)制備成量子態(tài)的方法. 給定一個離散概率分布目標制備等價于給定單點集{x=(x0,···,xN-1),xi≥0}, 滿足歸一化條件制備的思路與顯式編碼相同, 都是運用迭代法, 為了描述方便, 仍然采用邊際概率的記號

之后進行退計算操作, 將θi擦除, 這步操作的量子比特數(shù)量與執(zhí)行時間及存儲θi相同, 同樣是含f的黑箱操作, 得到|ψ2〉.

運用迭代法, 由|ψk〉 得到|ψk+1〉 , 最終得到|ψlog2N〉 , 即目標量子態(tài)|ψ〉.

Kaye等[17]的態(tài)制備方法與Grover類似, 給出了量子線路的語言. 其中對存儲θi的步驟進行細化, 在已知|ψ〉 的前提下, 將(1)式改寫為

這步黑箱操作表明θi的獲得需要整個態(tài)|ψ〉 的各個分量的值, 并未給出黑箱操作的具體構造, 在這一點上與Grover的算法沒有本質(zhì)區(qū)別.

評價含黑箱的算法復雜度, 通常不考慮黑箱以外的線路, 這是由于黑箱的結構相比于顯式的量子線路更為復雜. 如果同時考慮黑箱內(nèi)部的執(zhí)行時間和黑箱外的量子門執(zhí)行時間, 對于任意N規(guī)模的量子態(tài), 是不可能用O(n) 的量子比特在有效時間完成的. 因此, 我們往往考慮黑箱的執(zhí)行次數(shù), 稱為質(zhì)詢復雜度, 以此來衡量含黑箱算法的計算復雜度. Kaye 的算法對于任意的量子態(tài)都可以制備,并且從含黑箱的角度看出是以(2)式為黑箱的振幅編碼, 該編碼方式具有有效的質(zhì)詢復雜度. 不過,值得說明的是Grover和 Kaye的算法原文中并沒有指明是含黑箱的算法. 給定數(shù)據(jù)集X, 制備過程可以視為含黑箱的量子算法. 若是未指明某個數(shù)據(jù)集上的經(jīng)典數(shù)據(jù), 對數(shù)據(jù)集中的元素隨機化處理,如數(shù)據(jù)集中的元素滿足某種概率分布函數(shù)g, 對這種分布的態(tài)制備問題可能是有效的, 因為g的參數(shù)可能不依賴于n. 這種含黑箱的編碼比較廣泛, 將在2.3節(jié)的量子抽樣編碼中再次提及.

II) Soklakov和Schack[11]的工作

真正意義上經(jīng)典的含黑箱的振幅編碼可參看Soklakov等的工作. 這類算法屬于概率性的量子算法, 態(tài)制備給出了理想態(tài)的近似量子態(tài). 數(shù)據(jù)向量不局限于實空間, 即X={x=(x0,···,xN-1)}?CN,N為 2 的冪次, 這里xi=|xi|eiαi,αi∈[0,2π) , 但|xi|不可以全相等. 理想的量子態(tài)為

該編碼的執(zhí)行時間受限于兩個因素. 一方面是數(shù)據(jù)集本身x各個分量實部的差異, 如果各個分量|xi|大小都比較接近, 那么編碼執(zhí)行時間會很快. 另一方面是對制備量子態(tài)結果保真度和成功率的要求,如果對態(tài)制備的結果要求嚴苛, 會導致執(zhí)行時間變慢. 令γ,λ,η∈(0,1) , 如果對任意的數(shù)據(jù)分量, 以不小于 1-γ的成功率制備的近似態(tài)為滿足, 所需要的計算復雜度為

算法的核心內(nèi)容是選擇合適的黑箱, 對獲取目標量子態(tài)所有分量振幅的大小做分割, 并從振幅大分量向振幅小的分量標記, 最終用 Grover搜索算法, 將目標態(tài)的近似態(tài)以一定的成功率找到.

2.2.3 QRAM

量子隨機存取存儲器(QRAM)是類比于經(jīng)典內(nèi)存存取數(shù)據(jù)的一種裝置, 可以將經(jīng)典數(shù)據(jù)存儲到相干的量子態(tài)各個分量地址中. 在讀取量子態(tài)的任意一個分量時, 每個分量地址上都需要附帶經(jīng)典數(shù)據(jù)的信息:

QRAM存取數(shù)據(jù)的過程中, 第一個寄存器存儲經(jīng)典數(shù)據(jù)作為指標, 要求對任意量子態(tài)分量都需要存儲經(jīng)典數(shù)據(jù)地址信息. 第二個寄存器是數(shù)據(jù)寄存器, 用于存儲經(jīng)典數(shù)據(jù)X. 這種裝置類似于(1)式, (2)式的操作方式, 故一定程度上, QRAM的模型包含了Grover和Kaye等的態(tài)制備工作.例如在量子推薦系統(tǒng)算法中[19], 概率分布被提前儲存到QRAM中, Grover的算法也可以實現(xiàn). 理論上, QRAM的模型可以通過增加大量的比特數(shù)來減小執(zhí)行時間. QRAM通過二分的樹狀圖和桶隊結構(bucket-brigade)來實現(xiàn), 這種實現(xiàn)方式可以做到O(n) 的時間復雜度, 但量子比特數(shù)是O(N)的. QRAM的量子線路語言實現(xiàn)方式種類較多[20,21]. 人們在后續(xù)的工作中更關心哪一種QRAM的實現(xiàn)方式更具有噪聲的抗性和可拓展性, Hann[22]給出了一種關于噪聲抗性的論證.

(1)式, (2)式以及QRAM的直接形式(4)式都是將經(jīng)典數(shù)據(jù)存儲到輔助比特上, 每個分量對應的輔助比特上都有經(jīng)典數(shù)據(jù)的信息. 特別地, 如果輔助比特可以寫成二進制數(shù), 這種變換稱為數(shù)字編碼. 與之對應的, Mitarai稱振幅編碼為模擬編碼[23], 并介紹了數(shù)字編碼和模擬編碼的轉(zhuǎn)換關系.利用這種數(shù)模轉(zhuǎn)換的關系, 可以得到振幅編碼的具體形式.

具體來講, 如果QRAM的操作完成后, 振幅編碼可以通過條件受控和后選擇的方式得到振幅編碼的概率性量子算法. 給定數(shù)據(jù)集X, QRAM可以將x=(x0,···,xN-1) 存儲到等權疊加的量子態(tài)上, 忽略歸一化, 得到

進行條件受控操作, 通過增加輔助比特和受控操作實現(xiàn),

(6)式中的受控旋轉(zhuǎn)操作可以將xi表示為t比特的二進制數(shù), 分別對輔助比特做控制RY(π/2t) 類似的操作來實現(xiàn). 最后一步進行后選擇的操作, 對輔助比特進行測量, 當測量到|1〉 態(tài)時, 制備失敗. 需要重復這個算法的流程, 直到測量值|0〉. 當測量值為|0〉態(tài)時, 成功制備, 成功率可以計算, 得到

(7)式得到的量子態(tài)與目標態(tài)還多了數(shù)據(jù)寄存器的數(shù)據(jù), 需要擦除. 這步擦除數(shù)據(jù)是退計算的過程,也是QRAM里(5)式的逆操作, 即

2.3 量子抽樣編碼

本節(jié)介紹基底編碼和振幅編碼的一種混合編碼方式——量子抽樣編碼. 振幅編碼的數(shù)據(jù)集X是單點集,X={x=(x0,···,xN-1)}, 如果用logN個量子比特, 時間復雜度為O(N). 在量子抽樣編碼中, 給定一種概率分布, 不妨假定為g(x′),x′∈[0,N], 表示量子態(tài)的在每個基底的概率為pi=數(shù)據(jù)集仍為單點集目標量子態(tài)是X對應的振幅編碼

這類編碼的編碼技術是從已有的量子態(tài)出發(fā), 根據(jù)經(jīng)典數(shù)據(jù)的分布g(x′) 得到新的量子態(tài), 與一般的振幅編碼相比, 這類編碼的g(x) 參數(shù)可能與N無關. 可以通過對分布函數(shù)g(x′) 做一些限制, 得到關于某些函數(shù)性質(zhì)有關的態(tài)制備方法.

在 Grover等[16]的工作中, 作者進一步提出對于很大一類被稱為“對數(shù)凸”的函數(shù), 都可以通過這種編碼方式進行制備, 這其中包括常見的正態(tài)分布和指數(shù)分布. 除了Grover的工作, Kitaev和Webb[24]也分析了高斯分布的量子態(tài)制備. 文獻[25]給出了一種基于矩陣積態(tài)(matrix product state)方法, 得到了當g(x′) 為光滑可微且導函數(shù)有界時的編碼方式. 該算法需要O(n) 個量子比特, 執(zhí)行時間為O(n). 實驗方面Vazquez和Woerner[26]給出了基于量子振幅放大算法簡化態(tài)制備的方法, 并在IBM的物理比特上展示了實現(xiàn)了該算法.

以機器學習的方式研究這類情形的態(tài)制備問題有大量的工作, 如生成對抗網(wǎng)絡[27], 給定經(jīng)典數(shù)據(jù)的分布, 利用含參數(shù)的量子線路生成一種量子分布, 再由對抗識別器對量子分布采樣, 反復調(diào)整, 直到識別不出經(jīng)典數(shù)據(jù)分布與生成的分布, 訓練完畢. 數(shù)值模擬過程中所需要的量子門數(shù)量控制在O(P(n)). 也有其他機器學習相關的工作, 如Arrazola等[28]用含參線路在光量子計算機模擬器演示了許多量子態(tài)的生成, 如ON態(tài)和 GKP態(tài).值得一提的是, 此類統(tǒng)計分布的態(tài)制備問題, 在量子蒙特卡羅模擬算法中處于非常核心的地位[29],而后者已經(jīng)被證明在很多金融和其他模擬問題中顯示出量子優(yōu)越性[30-32].

2.4 哈密頓量編碼

經(jīng)典數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為量子態(tài)的另一種方案是將經(jīng)典數(shù)據(jù)的信息編碼到某個量子系統(tǒng)的哈密頓量中,運用哈密頓模擬的方式代替將經(jīng)典數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為量子態(tài)的方法[33]. 記經(jīng)典數(shù)據(jù)集為X={x=(x0,···,xN-1)}, 記對應的哈密頓量為Hx, 表明哈密頓量依賴于經(jīng)典數(shù)據(jù)的選擇. 則對于量子系統(tǒng)的初態(tài)|ψ〉, 演化時間為t, 得到演化后的量子態(tài)為

哈密頓量的演化過程可以由量子線路語言實現(xiàn)[18]. 考慮一個n量子比特的量子系統(tǒng), 哈密頓量可以分解為一些哈密頓量的和, 即其中Hi為較易模擬的哈密頓量,L=O(P(n)). 由Trotter公式[33],

當n充分大時, 可以用多次的演化來實現(xiàn)量子模擬.Hi常見的選擇是泡利算符.

哈密頓量編碼的步驟分為兩大類. 一類是從哈密頓量H出發(fā). 1) 由經(jīng)典數(shù)據(jù)確定哈密頓量H, 如經(jīng)典數(shù)據(jù)為動能、勢能函數(shù)決定的參量; 2) 在某個量子系統(tǒng)中選定基底, 確定哈密頓量的矩陣元;3) 哈密頓量模擬. 模擬過程包含哈密頓量的分解,需要確定Hi. Matto等[34]用格雷碼序的方式對經(jīng)典數(shù)據(jù)進行哈密頓量編碼, 是一種比特數(shù)有效的編碼方案. 另一類是從分解后的哈密頓量Hi出發(fā).1) 選定Hi, 由經(jīng)典數(shù)據(jù)得到每個Hi的系數(shù); 2) 在某個量子系統(tǒng)中選定基底, 確定哈密頓量Hi的矩陣元; 3) 得到總的哈密頓量, 即為經(jīng)典數(shù)據(jù)的哈密頓量編碼. 例如用第二類的方法, 假定經(jīng)典數(shù)據(jù)x=(x0,···,x4n-1), 我們將經(jīng)典數(shù)據(jù)x編碼到n粒子哈密頓量中, 以泡利算符和單位算符在計算基上的表示為基底, 基底個數(shù)為 4n, 總的哈密頓量為

3 復雜度

當數(shù)據(jù)規(guī)模為O(N) 時, 基底編碼的執(zhí)行時間為O(N) 次, 需要的量子比特數(shù)為O(N) , 復雜度為O(N2). 振幅編碼適用范圍廣, 其中顯式振幅編碼的復雜度為O(N)logN, 對于含黑箱的振幅編碼,僅考慮質(zhì)詢復雜度, 可以做到有效制備, 即在一定條件下質(zhì)詢復雜度可以達到O(log(N)) , 但黑箱的執(zhí)行時間在實際操作中需要考量. QRAM的編碼方式從已知量子態(tài)獲取經(jīng)典數(shù)據(jù)得到新的量子態(tài),這個過程中需要O(N) 個量子比特, 但執(zhí)行時間可以做到O(n). 而量子抽樣編碼也是直接從量子態(tài)出發(fā), 比較目標量子態(tài)與量子初態(tài)的差異得到新的量子態(tài), 比特數(shù)和時間有效性都可以實現(xiàn), 這是由于給出的分布函數(shù)可以不依賴于數(shù)據(jù)量規(guī)模. 在哈密頓量編碼中, 哈密頓量的合理選擇可使得編碼方式中的比特數(shù)有效, 執(zhí)行時間取決于哈密頓量的矩陣形式和哈密頓量模擬的精度. 進一步的, 考慮到量子比特數(shù)和時間執(zhí)行次數(shù)的平衡和取舍, 噪聲抗性等因素, 態(tài)制備問題應該被仔細斟酌. 以上的復雜度分析可參看表1.

表1 態(tài)制備的不同編碼方式的復雜度分析Table 1. Complexity analysis of kinds of encoding methods for state preparations.

4 研究前景和展望

在未來, 經(jīng)典計算機芯片的工藝制程接近摩爾定律極限, 經(jīng)典計算機的算力發(fā)展達到瓶頸期. 而大數(shù)據(jù)的處理使得算力需求呈快速增長趨勢. 這之間算力的供需矛盾關系使得人們迫切地尋找新的計算模式. 研究量子機器學習的出發(fā)點是解決這種矛盾關系. 具體來說是希望在處理某一類問題時,量子機器學習的方法能夠大大縮短傳統(tǒng)經(jīng)典機器學習需要的時間, 繼而在更廣泛的問題中表現(xiàn)出加速能力. 量子計算機的實用化受限于量子比特、量子門的質(zhì)量和量子操作系統(tǒng)等諸多實驗因素, 故量子機器學習的研究大多停留在數(shù)值模擬或是構建理論模型的階段. 在這個大背景下, 人們不過多關注量子機器學習中的物理實現(xiàn).

目前態(tài)制備問題里更受關注的是量子抽樣編碼, 其中涌現(xiàn)出了許多利用量子機器學習研究態(tài)制備的工作. 這種編碼方式通過經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡與含參量子線路的結合, 以監(jiān)督學習的方式訓練參數(shù), 不斷優(yōu)化量子線路得到近似的目標量子態(tài). 復雜度的分析通?？紤]參數(shù)的數(shù)量, 但含參量子線路的表示能力與學習方式的選擇都會影響其編碼的有效性.這類工作比較豐富, 例如生成對抗網(wǎng)絡[27], 利用含參數(shù)的量子線路生成一種分布并由對抗識別器采樣, 機器學習的方式訓練參數(shù), 直到對抗識別器識別不出目標分布與生成的分布; Arrazola等[28]采用的是光量子計算機模擬器, 利用自動微分法優(yōu)化得到目標量子態(tài); 最近Zhou等[35]提出了一種自動微分的量子含參線路, 可以優(yōu)化得到任意的量子態(tài).

另一方面, 態(tài)制備問題作為經(jīng)典數(shù)據(jù)和量子態(tài)的橋梁, 在量子機器學習中的使用不可避免. 相較于經(jīng)典計算機編碼數(shù)據(jù)的方式, 量子計算機在態(tài)制備時編碼數(shù)據(jù)的指數(shù)級加速能力是沒有問題的, 但這是以大量量子比特數(shù)為前提的實現(xiàn)方式. 研究量子機器學習的初衷是實用化解決經(jīng)典問題, 更應該考慮其中的態(tài)制備方案的時間計算資源和空間計算資源. 對于復雜度的分析, 態(tài)制備的算法復雜度至少是數(shù)據(jù)自由度的量級, 既要分析時間復雜度,也要考慮量子比特數(shù)的規(guī)模. 單看時間復雜度, 得出具有加速能力的結論還不足以體現(xiàn)量子機器學習的能力, 分析時應該謹慎. 但同時也要樂觀對待量子機器學習的能力, 至少以發(fā)展的眼光去看待.例如, 大數(shù)分解的量子算法復雜度比已知最優(yōu)的經(jīng)典算法有指數(shù)級的提高, 而人們在大數(shù)分解算法提出前也不清楚量子計算的加速能力. 總的來說, 隨著量子計算機的發(fā)展特別是硬件水平的提升, 相信會有更多的人關注態(tài)制備問題.