田宇 林子棟 王翔宇 車良宇 魯大為

(南方科技大學(xué)物理系, 深圳 518055)

機(jī)器學(xué)習(xí)因其在模式識別等問題上的優(yōu)勢已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到各個(gè)研究領(lǐng)域, 然而其運(yùn)算能力在一定程度上受到經(jīng)典計(jì)算機(jī)算力的制約. 近年來, 隨著量子技術(shù)的高速發(fā)展, 量子計(jì)算加速的機(jī)器學(xué)習(xí)在諸多量子體系中進(jìn)行了初步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證, 并在某些特定問題上展示出了超越經(jīng)典算法的優(yōu)勢. 本文主要介紹兩類典型的自旋體系—核磁共振體系和金剛石氮空位色心體系, 并回顧近年來量子機(jī)器學(xué)習(xí)在這兩類體系上的一些代表性實(shí)驗(yàn)工作.

1 引 言

機(jī)器學(xué)習(xí)是人工智能的重要研究方向之一, 該領(lǐng)域主要采用的方法是對大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析, 以識別出數(shù)據(jù)中包含的信息, 進(jìn)而提取出數(shù)據(jù)特征[1].它起源于計(jì)算機(jī)科學(xué), 在近十年間備受矚目, 在科學(xué)技術(shù)等諸多領(lǐng)域產(chǎn)生了廣泛的影響[2—4]. 機(jī)器學(xué)習(xí)從基于學(xué)習(xí)方式上大致可以分為三大類: 監(jiān)督學(xué)習(xí), 無監(jiān)督學(xué)習(xí), 強(qiáng)化學(xué)習(xí). 監(jiān)督學(xué)習(xí)是通過已有的帶標(biāo)簽的數(shù)據(jù)調(diào)整數(shù)學(xué)模型參數(shù), 從而讓模型能夠解決分類或者回歸問題, 監(jiān)督學(xué)習(xí)算法包含支持向量機(jī)(SVM)、線性回歸、決策樹及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò). 無監(jiān)督學(xué)習(xí)則用來對沒有標(biāo)簽信息的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類或者對未標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理, 常用的算法有主成分分析(PCA)、詞嵌入及K最近鄰(KNN).強(qiáng)化學(xué)習(xí)則是通過決策行動得到的環(huán)境反饋的獎(jiǎng)懲信息作為模型參數(shù)的訓(xùn)練依據(jù), 最終使模型能夠解決規(guī)劃決策和模型優(yōu)化問題, 屬于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的算法有Q-learning、策略梯度算法、SARSA(stateaction-reward-state-action)算法. 上述算法盡管早在20世紀(jì)就已經(jīng)被提出, 但是由于計(jì)算機(jī)算力的限制以及數(shù)據(jù)的缺乏, 該領(lǐng)域一直發(fā)展緩慢. 直到2012年Hinton教授和他的學(xué)生Krizhevsky[5]設(shè)計(jì)的AlexNet在ImageNet競賽上表現(xiàn)優(yōu)異, 讓學(xué)界及工業(yè)界開始關(guān)注這種利用大數(shù)據(jù)和高性能圖形處理器(GPU)訓(xùn)練的復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的價(jià)值, 隨后許多優(yōu)秀的深度學(xué)習(xí)模型, 如VGGNet[6],ResNet[7], DenseNet[8]的出現(xiàn)標(biāo)志著深度學(xué)習(xí)時(shí)代的來臨.

盡管現(xiàn)在以深度學(xué)習(xí)為代表的機(jī)器學(xué)習(xí)算法在計(jì)算機(jī)視覺、自然語言處理、大數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域已經(jīng)有了重大的成就, 但是隨著模型的擴(kuò)大, 計(jì)算機(jī)硬件的算力不足及經(jīng)費(fèi)開銷已經(jīng)成為該領(lǐng)域發(fā)展的瓶頸. 例如2020年OpenAI公布的目前參數(shù)最多的自然語言模型GPT-3[9], 其訓(xùn)練大致需要512塊V100顯卡訓(xùn)練4個(gè)月, 訓(xùn)練成本已經(jīng)高達(dá)1200萬美元. 現(xiàn)如今, 經(jīng)典計(jì)算機(jī)再次無法滿足機(jī)器學(xué)習(xí)對算力日益增長的需求, 人們迫切地需要發(fā)起一場“計(jì)算革命”. 量子計(jì)算機(jī)便是這場革命運(yùn)動中的排頭兵.

量子計(jì)算機(jī)中的量子態(tài)具備糾纏、疊加等特性, 這些特性是經(jīng)典計(jì)算機(jī)所不具備的資源, 可以用來實(shí)現(xiàn)對于算法的加速, 稱為量子加速(quantum speedup)[10]. 量子計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)運(yùn)算單元為量子比特, 其狀態(tài)不似經(jīng)典比特只有0和1, 而是處在0和1的疊加態(tài)上. 因此, 量子比特所包含的信息容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于經(jīng)典比特, 而且量子比特之間可以被糾纏起來, 這些特點(diǎn)使得量子計(jì)算機(jī)在實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)的并行運(yùn)算處理上具有天然的優(yōu)勢. 換句話說, 在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上很難解決或無法解決的問題可能在量子計(jì)算機(jī)上很容易得到解決[11]. 目前, 量子計(jì)算已經(jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)對某些特定問題的加速運(yùn)算, 并在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了量子計(jì)算機(jī)發(fā)展規(guī)劃的第二個(gè)里程碑—量子優(yōu)越性(quantum supremacy). 2019年,Google團(tuán)隊(duì)基于超導(dǎo)體系構(gòu)建的量子處理器“Sycamore”只用了200 s就完成了經(jīng)典計(jì)算機(jī)需要10000年的采樣任務(wù)[12]. 2020年, 潘建偉等[13]構(gòu)建的光量子計(jì)算原型機(jī)“九章”在處理高斯玻色取樣問題上的計(jì)算速率比經(jīng)典計(jì)算機(jī)提高了100萬億倍.

量子加速實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于能否找到合適的量子算法[14]. 1985年, Deutsch[15]提出了世界上第一個(gè)量子算法, 該算法充分地利用了量子態(tài)的疊加特性, 只需要通過一次測量就能夠判斷出目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì). 1994年, 用于大數(shù)分解的Shor算法實(shí)現(xiàn)了質(zhì)因數(shù)分解的指數(shù)加速[16]. 1995年, 無序搜索的Grover算法實(shí)現(xiàn)了對于目標(biāo)態(tài)查找的平方加速[17,18]. 這些重要算法的提出標(biāo)志著量子計(jì)算的研究進(jìn)入了一個(gè)全新的階段. 2009年, Harrow等[19]提出了著名的HHL算法, 該量子算法對于求解線性方程組具有指數(shù)加速的作用. 因?yàn)闄C(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)據(jù)多以高維矩陣的形式存在, 學(xué)習(xí)的過程中常伴隨著線性方程組的求解問題, 該算法的提出標(biāo)志著量子機(jī)器學(xué)習(xí)作為一個(gè)重要研究領(lǐng)域的正式建立.

經(jīng)歷了十多年的發(fā)展, 量子機(jī)器學(xué)習(xí)已經(jīng)在各種實(shí)驗(yàn)體系中得到廣泛應(yīng)用. 目前, 通用型量子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)存在著多種技術(shù)路線, 例如: 超導(dǎo)電路體系、囚禁離子體系、光學(xué)體系, 以及以核磁共振(nuclear magnetic resonance, NMR)和金剛石氮空位(nitrogen vacancy, NV)色心為代表的自旋體系. 自旋體系具有控制精度高、相干時(shí)間長等優(yōu)勢[20], 在量子計(jì)算初期階段發(fā)展出了許多技術(shù)手段, 包括脈沖編譯、最優(yōu)化控制、動力學(xué)解耦等技術(shù)[20], 目前也是量子機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的重要平臺.

本文將簡要介紹核磁共振和金剛石NV色心兩種自旋體系的基本原理, 并梳理近年來國內(nèi)外各研究組在這兩類平臺上所實(shí)現(xiàn)的具有代表性的量子機(jī)器學(xué)習(xí)的工作.

2 核磁共振體系

核磁共振體系是人們研究最早的量子計(jì)算體系之一. 早在1938年, Rabi 等[21]發(fā)現(xiàn)了著名的Rabi振蕩現(xiàn)象: 位于磁場中的原子核會沿著磁場方向呈正向或反向平行排列, 在施加射頻場之后, 這些原子核的自旋方向則會發(fā)生翻轉(zhuǎn). 之后, Bloch[22]于1946年發(fā)現(xiàn)處于外磁場中的特定核自旋會吸收特定頻率的射頻場能量, 這是人類對于核磁共振現(xiàn)象最早的認(rèn)識. 經(jīng)過五十多年的發(fā)展, 核磁共振已經(jīng)在化學(xué)、醫(yī)療等領(lǐng)域有了諸多應(yīng)用[23-26], 并且成熟的操控技術(shù)使人們可以精確操控核磁共振中耦合起來的兩能級量子系統(tǒng). 在量子計(jì)算概念被提出后, 核磁共振也作為各個(gè)量子計(jì)算潛在方案中操控比特?cái)?shù)最多、操控精度最高的方案而被廣泛研究[20].

核磁共振系統(tǒng)可以用系統(tǒng)哈密頓量和控制哈密頓量聯(lián)合進(jìn)行的動力學(xué)演化來描述. 系統(tǒng)哈密頓量給出在靜磁場中單個(gè)的, 或者耦合起來的核自旋的能量形式; 而控制哈密頓量來自核自旋共振的控制射頻場.

在核磁共振譜儀中, 樣品被放置在沿著方向的靜磁場B0中. 對于單個(gè)自旋為1/2的粒子來說,其在沿著方向的靜磁場B0中的動力學(xué)演化被哈密頓量主導(dǎo):

其中, ? 是約化普朗克常數(shù),γ是原子核的旋磁比,ω0/(2π) 是拉莫爾頻率,Iz是沿著方向的核自旋算符. 在核磁共振領(lǐng)域中,Ix,Iy,Iz和泡利算符有著如下對應(yīng):

并且

這意味著自旋為1/2的粒子在外磁場中會發(fā)生所謂的塞曼效應(yīng), 從而產(chǎn)生兩個(gè)能級差為 ?ω0的本征態(tài)核磁共振量子計(jì)算把這兩個(gè)本征態(tài)作為量子比特的0和1. 當(dāng)射頻場的能量和能級差匹配時(shí), 核自旋將在兩個(gè)本征態(tài)之間進(jìn)行躍遷. 不同種類的核自旋擁有不同的旋磁比γ, 從而擁有不同的拉莫爾進(jìn)動頻率ω0/(2π). 而相同種類的原子核一般因?yàn)橹茉獠煌碾娮釉婆挪? 受到不同程度的磁場屏蔽作用(化學(xué)位移), 從而也有不同的拉莫爾頻率. 不同的拉莫爾頻率意味著不同的能級差, 于是這些核自旋構(gòu)成的量子比特可以通過不同的共振頻率來加以區(qū)分.

當(dāng)樣品的分子中有多個(gè)核自旋(多量子比特)時(shí), 核自旋之間會產(chǎn)生相互作用. 相互作用的種類有兩種: 直接相互作用(偶極-偶極耦合)和間接相互作用(標(biāo)量耦合). 在常用的液體核磁共振樣品中, 由核磁矩產(chǎn)生的直接相互作用會因?yàn)橐后w分子的快速滾動而被平均掉. 只剩下由化學(xué)鍵產(chǎn)生的間接相互作用, 在弱耦合的情況下2πJij)其哈密頓量的形式為

其中Jij為自旋i和自旋j之間的相互作用強(qiáng)度.

所以大多數(shù)核磁共振實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)哈密頓量可表示為核自旋在靜磁場中的哈密頓量和核自旋間兩兩相互作用的哈密頓量之和:

在核磁譜儀中, 控制核自旋躍遷的射頻場在多旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的哈密頓量可以寫成

所以核磁共振體系的哈密頓量可以表示為

基于對哈密頓量的控制, 核磁共振系統(tǒng)可以通過贗純態(tài)[27,28]的制備實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的初始化; 通過調(diào)整射頻場參數(shù)和核自旋間相互作用時(shí)間構(gòu)建通用邏輯門; 從核磁樣品系綜的自由感應(yīng)衰減信號中重構(gòu)出量子態(tài).

從目前的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展來看, 核磁共振量子計(jì)算已經(jīng)非常成熟, 這為那些較為復(fù)雜的量子算法提供了一個(gè)很好的演示平臺. 目前量子算法在解決線性代數(shù)計(jì)算問題上已經(jīng)展現(xiàn)了初步的加速能力, 而例如“傅里葉變換”、“求本征值本征態(tài)”、“解線性方程”的問題都是經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)算法中常見的子程序. 接下來, 本文將回顧國內(nèi)外量子機(jī)器學(xué)習(xí)算法基于核磁共振體系的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).

2.1 解線性方程組

解線性方程組幾乎是所有科研、工程領(lǐng)域都會面臨的問題, 而經(jīng)典算法解線性方程組的復(fù)雜度限制著計(jì)算問題的尺度. 2009年, Harrow等[19]提出了一個(gè)能夠在解線性方程組上實(shí)現(xiàn)指數(shù)加速的HHL量子算法. 它不僅為解線性方程組提供了加速方案, 也是許多量子機(jī)器學(xué)習(xí)算法的基礎(chǔ). HHL算法的核心是用量子計(jì)算機(jī)進(jìn)行矩陣求逆, 從而求解線性方程組. 一個(gè)線性方程組可以寫成

其中N×N的參數(shù)矩陣可以用它自己的本征值λj和本征態(tài)|uj〉 展開向量也可以展開為參數(shù)矩陣的逆矩陣可以表示為于是線性方程組的解

在量子線路中可以通過相位估計(jì)算法[29]得到A的本征值λj, 然后對輔助比特旋轉(zhuǎn) 2 arcsin(C/λj) 角度, 再做一個(gè)相位估計(jì)的逆過程即可得到

其中C是一個(gè)常數(shù). 當(dāng)輔助比特投影到|1〉 態(tài)上時(shí),量子態(tài)坍縮為在已知最好的經(jīng)典算法中需要O(NlogN) 的時(shí)間復(fù)雜度來求得解向量 |x〉. 上述量子算法只需要的時(shí)間復(fù)雜度就可以做到同樣的事. 盡管在當(dāng)前技術(shù)下, 量子態(tài)制備和量子態(tài)讀出在時(shí)間復(fù)雜度上仍然存在需要解決的難題, HHL算法在解決特定問題上仍有指數(shù)加速的潛力.

實(shí)驗(yàn)方面, 光學(xué)、核磁共振、超導(dǎo)等量子計(jì)算平臺都相繼實(shí)現(xiàn)了HHL算法[30—32], 如圖1所示.其中由中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)杜江峰團(tuán)隊(duì)完成的工作[31]是在4 bit的核磁共振系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了基于量子邏輯門的HHL算法. 算法完成了解 2×2 線性方程組的任務(wù), 并重復(fù)對3個(gè)不同的向量|b〉 進(jìn)行驗(yàn)證(相同的矩陣A). 實(shí)驗(yàn)用氘代氯仿作為樣品, 其中的13C 和3個(gè)19F 核自旋作為4個(gè)量子比特. 由2 bit組成的寄存器用來實(shí)現(xiàn)相位估計(jì)算法, 由單比特充當(dāng)?shù)募拇嫫饔脕韮Υ嫦蛄縷b〉 , 剩余的1 bit作為輔助比特進(jìn)行讀出前的投影測量. 對于不同輸入的|b〉 ,4 bit的末態(tài)保真度均高于96%. 實(shí)驗(yàn)以優(yōu)良的準(zhǔn)確性驗(yàn)證了HHL算法的可行性.

圖1 實(shí)現(xiàn)HHL算法的量子線路圖. 其中 r =2,t0=2. 單比特門與直線相連的 × 表示SWAP門[31]Fig. 1. The quantum circuit of the HHL algorithm. Parameter r =2,t0=2. Quantum gate The symbol × connected with the straight line represents the SWAP gate[31].

HHL算法及其實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)均基于邏輯門模型.受限于當(dāng)前技術(shù)下量子比特的數(shù)量, 基于邏輯門的復(fù)雜量子算法通常只能在一個(gè)很小的維度上進(jìn)行演示. 而絕熱量子計(jì)算(adiabatic quantum computing, AQC)為操控量子系統(tǒng)提供了一種有別于基于邏輯門的方法. 因?yàn)榱孔訖C(jī)器學(xué)習(xí)通常涉及的多元優(yōu)化可以直接被AQC實(shí)現(xiàn), 所以對于量子機(jī)器學(xué)習(xí)而言, AQC可能是最有希望取得實(shí)際應(yīng)用的量子模型. AQC的核心是讓系統(tǒng)初態(tài)處于一個(gè)實(shí)驗(yàn)上容易實(shí)現(xiàn)的簡單哈密頓量H0(t) 的基態(tài), 這個(gè)哈密頓量會隨著時(shí)間緩慢地朝著目標(biāo)哈密頓量Hp變化, 這個(gè)變化過程可以由瞬時(shí)哈密頓量表示:

其中s(t) 隨著時(shí)間從0變化到1, 導(dǎo)致H(t) 由H0變化至Hp. 絕熱理論告訴我們: 當(dāng)變化的過程足夠慢, 量子系統(tǒng)將始終待在瞬時(shí)哈密頓量H(t) 的基態(tài)上. 這樣就通過設(shè)計(jì)目標(biāo)哈密頓量來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)量子態(tài)的獲取.近年, 基于AQC求解線性方程組的量子算法被提出[33]. 清華大學(xué)龍桂魯課題組[34]也在2018年在核磁共振系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)了兩種基于AQC解8×8線性方程組的算法. 實(shí)驗(yàn)樣品為13C 被標(biāo)記的巴豆酸分子, 分子上的4個(gè) C 核自旋作為4個(gè)量子比特.實(shí)驗(yàn)中第一種算法的絕熱演化的瞬時(shí)哈密頓量為

其中A(s)=(1-s)σz?I+sσx?A, 是一個(gè)包含了線性方程組系數(shù)矩陣的變化參數(shù).|±〉 是σx在計(jì)算基矢表示下的本征態(tài),|b〉 則是待解線性方程組右側(cè)的向量. 通過對s的構(gòu)建和緩慢改變, 最終系統(tǒng)的本征態(tài)將從|-,b〉 演 化至|+,x〉. 只要將輔助比特舍棄, 即可得到解向量|x〉. 第二種算法的瞬時(shí)哈密頓量為

2.2 解線性微分方程

在應(yīng)用科學(xué)面臨的許多動力學(xué)問題中, 線性微分方程組(LDEs)扮演了一個(gè)很重要的角色. LEDs問題可以概括為: 對于給出的N×N矩陣M,N維的向量 |b〉 以 及初始態(tài)向量|x(0)〉 , 希望從含時(shí)的微分方程組

求出解向量|x〉.

和線性方程組問題類似, 經(jīng)典計(jì)算機(jī)解線性微分方程要耗費(fèi)大量計(jì)算資源. 當(dāng)面臨例如量子系統(tǒng)或者流體力學(xué)的問題時(shí), 計(jì)算的維度大大增加, 這對于經(jīng)典計(jì)算機(jī)來說難以解決. 隨著量子計(jì)算的發(fā)展, 解線性方程組的量子算法已經(jīng)被提出[19,33], 也相繼在量子計(jì)算平臺上進(jìn)行驗(yàn)證. 而解線性微分方程組的量子算法雖然也被提出[35—37], 但是這些算法對于目前的量子計(jì)算機(jī)很難實(shí)現(xiàn). 清華大學(xué)龍桂魯團(tuán)隊(duì)[38]提出了一種容易在量子線路中實(shí)現(xiàn)的基于邏輯門的解LDEs算法, 并且在4 bit的核磁共振體系上實(shí)現(xiàn)了解 4×4 的線性微分方程組,如圖2所示. 線性微分方程組的解向量通式所描述是非幺正演化, 而傳統(tǒng)的量子計(jì)算是基于封閉系統(tǒng)和幺正演化. 該算法利用輔助系統(tǒng)使含有非幺正演化子系統(tǒng)的大系統(tǒng)進(jìn)行幺正演化, 最終得以用便于實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的邏輯門線路完成解微分方程組. 解向量通式可以由計(jì)算基矢|j〉 展開,

圖2 解線性微分方程的量子線路圖. 線路中第一個(gè)輔助寄存器是單比特, 第二個(gè)輔助寄存器為 T =log2(k+1) 比特, 然后是一個(gè)工作系統(tǒng). 所有的輔助寄存器被初始化為|0〉|0〉T , 控 制 操 作 U x 和 U b 分別被用來生成 | x(0)〉 和 | b〉.在編碼和解碼期間的演化算子為在線路的結(jié)尾, 在所有輔助比特為 | 0〉 的子空間中測量工作系統(tǒng)的態(tài)矢[38]Fig. 2. Quantum circuit for solving linear differential equations. The first auxiliary register in the circuit is a single bit, and the second auxiliary register isT=log2(k+1)bits, then is a working system | φ〉. All auxiliary registers are initialized to | 0〉|0〉T , and then the operation U x and Ub are used to generate | x(0)〉 and | b〉. The evolution operator during encoding and decoding is At the end of the circuit, the state vector of the working system is measured in the subspace where all auxiliary bits are | 0〉 [38].

其中x(0) 和b可以由量子態(tài)可由算子來描述.

有別于其他以相位估計(jì)為核心的量子算法, 該算法的量子加速來自于通過輔助比特將非幺正演化變?yōu)殓壅莼? 這種做法叫作LCU(linear combination of unitaries)[39]. 對于未來非幺正演化的量子算法研究, 這個(gè)工作具有很好的啟發(fā)性.

2.3 量子支持向量機(jī)

支持向量機(jī)(support vector machine, SVM)是一類廣泛使用的通過監(jiān)督學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)二元分類的廣義線性分類器, 其在人臉識別、文本分類、手寫字符識別等場景中有重要應(yīng)用[40]. SVM是通過構(gòu)造一個(gè)線性映射將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間, 在這個(gè)高維空間找到一個(gè)超平面能使兩類數(shù)據(jù)的間隔最大, 并通過這個(gè)超平面對新的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類.

已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)集共有M個(gè)訓(xùn)練樣本, 每個(gè)樣本都是一個(gè)在N維特征空間的特征向量:

且對應(yīng)的標(biāo)簽集為

在訓(xùn)練樣本所在的特征空間中, 通過訓(xùn)練超平面的法向量w和截距b尋找到一個(gè)超平面能夠讓任意數(shù)據(jù)到這個(gè)超平面的距離要大于等于1, 即能夠讓兩類訓(xùn)練數(shù)據(jù)分離:

因此判別新數(shù)據(jù)x類別時(shí), 當(dāng)w·x+b≥1 時(shí), 認(rèn)為該數(shù)據(jù)為+1類, 反之當(dāng)w·x+b≤-1 , 則認(rèn)為數(shù)據(jù)為—1類. 但通常很多數(shù)據(jù)是無法線性可分的, 因此需要通過一個(gè)非線性的函數(shù)將數(shù)據(jù)從低維特征空間映射到更高維度的空間, 同時(shí)需要定義該映射函數(shù)的內(nèi)積, 稱為核函數(shù), 以回避復(fù)雜的高維顯式內(nèi)積計(jì)算.

SVM在識別階段時(shí)間復(fù)雜度是O[poly(NM)] ,N是特征空間的維度,M是訓(xùn)練集的樣本數(shù). 而在訓(xùn)練階段通常采用二次規(guī)劃求解超平面, 而求解二次規(guī)劃將涉及M階矩陣的求解,時(shí)間復(fù)雜度約為O(S3+SN+SNM)和O(NM2)之 間,S為支 持向量個(gè)數(shù), 當(dāng)M數(shù)目很大時(shí)該矩陣的存儲和計(jì)算將耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存和運(yùn)算時(shí)間.

為了解決經(jīng)典SVM無法使用大規(guī)模數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練的難題, 2014年Rebentrost等[41]提出了量子支持向量機(jī)(quantum support vector machine,QSVM). QSVM在訓(xùn)練階段, 將法向量w表示為訓(xùn)練樣本xi的線性組合,

通過最小二乘法, 權(quán)重參數(shù)α以及截距b可以通過求解線性方程得出:

其中是包含核函數(shù)K的 (M+1)×(M+1) 的矩陣

IM是M×M的單位矩陣,γ是設(shè)定的訓(xùn)練誤差與SVM目標(biāo)的相對權(quán)重. 其將SVM訓(xùn)練轉(zhuǎn)化為最小二乘法問題再通過HHL算法求解矩陣的逆, 能使QSVM的時(shí)間復(fù)雜度在訓(xùn)練和識別階段都能達(dá)到O[log(NM)]. 文獻(xiàn) [42]中杜江峰團(tuán)隊(duì)在NMR系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)QSVM在手寫數(shù)字識別的實(shí)驗(yàn),采用碘三氟乙烯作為樣品, 其中有一個(gè)13C 核自旋和三個(gè)19F 核自旋. 兩個(gè)比特作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)寄存器,一個(gè)比特作為標(biāo)簽寄存器, 一個(gè)比特作為輔助比特. 實(shí)驗(yàn)巧妙地將字符“6”和“9”編碼成二維線性可分的特征向量用于訓(xùn)練和測試, 實(shí)驗(yàn)保真度接近99%, 手寫數(shù)字識別錯(cuò)誤率低于4%, 如圖3所示.

圖3 手寫字符“6”和“9”的識別結(jié)果, 第1—4行分別代表手寫字符, 實(shí)驗(yàn)指示符, 相干項(xiàng)的幅度和識別結(jié)果[42]Fig. 3. Recognition results of handwritten characters of “6” and “9”. Lines 1 to 4 represent handwritten characters, experimental indicators, amplitude, and recognition results, respectively[42].

2.4 量子主成分分析

主成分分析(principal component analysis,PCA)是機(jī)器學(xué)習(xí)中一種常用且費(fèi)時(shí)的無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法. 這一方法利用正交變換把由線性相關(guān)變量表示的觀測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)由線性無關(guān)變量表示的數(shù)據(jù), 線性無關(guān)的變量稱為主成分. 這個(gè)算法主要用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu), 即數(shù)據(jù)中變量之間的關(guān)系[43].

已知數(shù)據(jù)集一共M個(gè)樣本, 每個(gè)樣本都是一個(gè)在N維特征空間的特征向量:

對協(xié)方差矩陣C進(jìn)行特征值分解, 得到所有特征值和對應(yīng)特征向量, 并對特征向量按其對應(yīng)特征值大小降序排列, 取前K個(gè)特征向量構(gòu)成投影矩陣P,最終利用投影矩陣P將數(shù)據(jù)集從N維特征空間投影到K維特征空間. 由此可見特征值分解直接確定了PCA算法的時(shí)間復(fù)雜度為

2014年, Lloyd等[44]提出了量子主成分分析(quantum principal component analysis, qPCA).qPCA用密度矩陣ρ表示協(xié)方差矩陣C, 通過相位估計(jì)法將密度矩陣ρ編碼在輔助比特從而解出特征值, 而相位估計(jì)法所需的控制門U=e-iρt可以用目標(biāo)比特和編碼比特之間用時(shí)間非常短的SWAP 操作構(gòu)建:

因此qPCA能夠?qū)r(shí)間復(fù)雜度降低到O(log(N)).

然而上述方法需要的輔助比特?cái)?shù)量隨密度矩陣的大小指數(shù)增加, 大量的資源消耗以至于在實(shí)驗(yàn)平臺上很難該算法進(jìn)行驗(yàn)證, 所以文獻(xiàn) [45]中實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)通過參數(shù)量子電路實(shí)現(xiàn)qPCA, 如圖4所示,該方法構(gòu)建出一個(gè)厄密算符U, 能夠?qū)⒚芏染仃嚘驯粚腔瑫r(shí)特征值按大小降序排列:

圖4 通過qPCA實(shí)現(xiàn)人臉識別的流程圖. 通過混合經(jīng)典量子控制方法對PQC U (θ) 進(jìn)行迭代優(yōu)化, 其中在量子處理器上測量目標(biāo)函數(shù) L (θ) 和 梯度 g (θ). 參數(shù) θ 的存儲和更新在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn). 用優(yōu)化后的 U g 來計(jì)算特征臉矩陣D和協(xié)方差矩陣C的特征向量[45]Fig. 4. Workflow for human face recognition via qPCA. The PQC U (θ) is iteratively optimized via the hybrid classicalquantum control approach, where the objective function L (θ) and the gradient g (θ) are measured on the quantum processor. The storage and update of the parameters θ are implemented on a classical computer. The optimized PQC with the operator U g is applied to compute the eigenvectors of the eigenface matrix D and the covariance matrix C =AAT [45].

這需要構(gòu)建一個(gè)參數(shù)量子電路U(θ) 以及一個(gè)算符P:

構(gòu)建出損失函數(shù)L(θ) :

通過梯度下降優(yōu)化參數(shù)θ最小化損失函數(shù)L(θ) ,就能訓(xùn)練出目標(biāo)厄密算符U, 從而實(shí)現(xiàn)qPCA算法. qPCA求解出人臉圖片訓(xùn)練集協(xié)方差矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量, 通過特征向量構(gòu)造投影矩陣將高維的圖片數(shù)據(jù)投影到低維空間, 再通過歐拉距離公式將測試集圖片分類實(shí)現(xiàn)人臉識別. 實(shí)驗(yàn)使用四比特核磁共振量子系統(tǒng), 將量子比特編碼在核自旋, 通過選擇躍遷法初始化量子系統(tǒng), 并用梯度下降優(yōu)化控制脈沖方法來載入經(jīng)典數(shù)據(jù), 最后利用量子計(jì)算機(jī)和經(jīng)典計(jì)算機(jī)混合系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)量子電路. 實(shí)驗(yàn)最終求出的特征值保真度達(dá)到99%, 測試集人臉識別正確率為100%.

3 NV色心體系

金剛石中的NV色心由一個(gè)替代C原子的N原子以及相鄰位置C原子的缺失產(chǎn)生的空位組成[46], 如圖5(a)所示. NV色心是一種很重要的量子體系, 得益于其固態(tài)及室溫下可操控等特點(diǎn), 在量子計(jì)算、量子信息、量子精密測量等多個(gè)領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用前景[47-49]. 目前, 國內(nèi)外都有科研團(tuán)隊(duì)在基于NV色心體系的量子技術(shù)上展開研究. 自然狀態(tài)下, NV色心具有兩種電荷態(tài)-電中性和帶負(fù)電荷. 帶負(fù)電的NV—由于其便于初始化、操控、讀出, 對其本身及其應(yīng)用的研究也最為廣泛和深入,本章節(jié)中我們將要回顧的相關(guān)研究也均是基于NV—.

對于NV—, 色心在俘獲一個(gè)電子后帶負(fù)電.N原子與相鄰的C原子形成共價(jià)鍵, 與空位之間不成鍵, 所以貢獻(xiàn)兩個(gè)電子, 同樣, 空位周圍的3個(gè)C原子也分別貢獻(xiàn)1個(gè)電子, 本身的5個(gè)電子, 加上俘獲的電子, 共有6個(gè)電子. 在實(shí)驗(yàn)中可以認(rèn)為其等價(jià)于1個(gè)自旋為1的電子自旋. NV—的基態(tài)和激發(fā)態(tài)的電子態(tài)分別為3A2和3E, 均為自旋三重態(tài), 基態(tài)因自旋之間的相互作用分裂成|ms=0〉 和|ms=±1〉 , 而|ms=±1〉 是簡并的[50], 如圖5(b)所示. 選取其中的兩個(gè)能級, 就可以構(gòu)建一個(gè)量子比特. 除電子自旋外, 形成色心的14N (15N )原子也可以作為一個(gè)自旋為1(1/2)的核自旋量子比特, 若在色心周圍存在13C 原子, 同樣可以作為自旋為1/2的量子比特, 這是目前基于NV色心實(shí)驗(yàn)體系來擴(kuò)展量子比特的主要手段.

圖5 (a)金剛石NV色心結(jié)構(gòu)圖; (b) NV色心電子能級躍遷過程示意圖, 3 A2 和 3 E 分別代表基態(tài)和激發(fā)態(tài), 1 A1 和 1 E 為中間亞穩(wěn)態(tài), 從激發(fā)態(tài)直接躍遷回基態(tài)會發(fā)出熒光, 而經(jīng)中間態(tài)回基態(tài)不會發(fā)出熒光Fig. 5. (a) NV color center structure; (b) schematic diagram of the transition process of NV color center electron energy level,3A2 and 3 E represent the ground state and excited state, respectively, 1 A1 and 1 E are the intermediate metastable states, which from the excited state directly transitions back to the ground state and emit fluorescence. But the path througt metastable state returns to the ground state without emitting fluorescence.

在不外加靜磁場的情況下, 由于自旋之間的相互作用, 劈裂成|ms=0〉 和|ms=±1〉 , 其零場劈裂為2.87 GHz. 施加靜磁場后, 簡并的能級|ms=±1〉將會分開, 并且劈裂會隨著軸向磁場的增強(qiáng)而增大.

在外場下NV色心的系統(tǒng)哈密頓量(以電子自旋與14N 核自旋的兩比特系統(tǒng)為例):

其中,與分別為NV電子自旋與14N 核自旋算符,Dgs= 2.87 GHz, 為NV的電子自旋零場劈裂,PN= —4.95 MHz[51]為NV中心14N 核自旋的四偶極矩劈裂. (28)式中的第三項(xiàng)為NV在外磁場下的塞曼劈裂, 其中γe= 2.082 MHz/G與γN=—0.308 kHz/G分別為NV電子自旋與14N 核自旋的旋磁比. 最后一項(xiàng)是NV電子自旋與14N 核自旋的超精細(xì)相互作用(hyperfine interaction),AN為超精細(xì)結(jié)構(gòu)張量.

要進(jìn)行量子計(jì)算, 量子體系不僅要具備可操控的量子比特, 還要能夠初始化以及讀出其狀態(tài). 對于NV色心, 其電子自旋是通過激光實(shí)現(xiàn)初始化和讀出的. NV—的零聲子線位于637 nm, 在室溫下,由于聲子的參與, 一般使用532 nm的激光激發(fā)其至激發(fā)態(tài). 當(dāng)處于激發(fā)態(tài)時(shí), 有兩種路徑可以回到基態(tài). 第一種是輻射637—750 nm的熒光由激發(fā)態(tài)直接躍遷回基態(tài), 第二種則是經(jīng)過中間態(tài)回到基態(tài). 對于第二種情況, 自旋是不守恒的, 且不會輻射637—750 nm的熒光[52]. 值得注意的是, 如果NV色心的電子在激發(fā)前處于|ms=±1〉 自旋態(tài), 被激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)之后, 其將更傾向于通過中間態(tài)回到基態(tài), 這就意味著將會有更大的概率得到|ms=0〉的自旋態(tài). 同時(shí), 如果NV色心的電子在基態(tài)時(shí)處于|ms=0〉 的自旋態(tài), 它會有更大的概率沿著輻射躍遷的路徑, 釋放熒光后直接回到基態(tài)[53].所以我們還是有更大的概率得到|ms=0〉 的自旋態(tài). 經(jīng)過這個(gè)過程, 電子在|ms=±1〉 上的布居度將不斷減少,|ms=0〉 上的布居度將不斷的增大[46].由此, 可以實(shí)現(xiàn)對色心電子自旋的初始化. 同樣讀出時(shí)也會用到上面的性質(zhì). 經(jīng)過中間態(tài)回到基態(tài)的躍遷過程并不會輻射637—750 nm的熒光, 所以通過熒光強(qiáng)度可以判斷出電子自旋躍遷回基態(tài)時(shí)經(jīng)歷的路徑. 同時(shí)結(jié)合所知的, 處于不同自旋態(tài)的電子自旋躍遷時(shí)選擇路徑的傾向也不同, 可以得出結(jié)論: NV色心在不同自旋態(tài)時(shí), 對應(yīng)的輻射熒光強(qiáng)度的不同, 以此區(qū)分色心的自旋態(tài).

NV色心體系由于其比較成熟的操控技術(shù)、較長的退相干時(shí)間(NV基態(tài)自旋具有固體中任何電子自旋中最長的室溫單自旋退相干時(shí)間(T2), 在某些樣品中大于1.8 ms), 成為了很多科研組在實(shí)驗(yàn)體系下實(shí)現(xiàn)量子算法的選擇. 將NV色心體系作為量子模擬器進(jìn)行模擬以幫助解決物理問題也是近年來的一個(gè)重要研究方向.

3.1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

拓?fù)湎嗟陌l(fā)現(xiàn)改變了人們對量子相的理解. 不像傳統(tǒng)的相位, 拓?fù)湎辔徊粷M足對稱破裂的范式.相反, 每個(gè)對稱類中都存在不同的拓?fù)湎? 在實(shí)驗(yàn)中, 拓?fù)湎嗟淖R別通常依賴于測量具有拓?fù)淦鹪吹哪承傩? 而在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)明確可以辨別拓?fù)湎嗟姆椒? 是十分具有挑戰(zhàn)性的. 機(jī)器學(xué)習(xí)很有希望幫助解決這一問題. 在鄧東靈與段路明課題組合作的工作[54]中, 利用機(jī)器學(xué)習(xí)對三維手性拓?fù)浣^緣體的外來拓?fù)湎噙M(jìn)行了識別.

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutional neural networks,CNN)作為如今發(fā)展最迅速的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,在計(jì)算機(jī)視覺、醫(yī)學(xué)影像處理、自然語言處理等領(lǐng)域廣泛使用[55,56], 該模型的共享權(quán)值的特點(diǎn), 大大減少了模型訓(xùn)練的復(fù)雜度, 同時(shí)能夠進(jìn)行表征學(xué)習(xí), 并且提取出數(shù)據(jù)的全局特征和局部特征.

其中q1(k)=tsinkx,q2(k)=tsinky,q3(k)=tsinkz,q0(k)=t(coskx+cosky+coskz+h).t被設(shè)定為1, 而h是一個(gè)與維度無關(guān)的可調(diào)參量. 通過調(diào)控NV色心電子自旋基態(tài)的三個(gè)能級, 在實(shí)驗(yàn)上成功模擬出了所需的哈密頓量, 如圖6(a)所示. 通過將NV色心基態(tài)的三個(gè)能級編碼為|1〉,|0〉,|-1〉 態(tài),觀察Hk可以發(fā)現(xiàn)其并沒有對角項(xiàng), 并且|1〉 與|-1〉之間并沒有直接的耦合. 因此實(shí)驗(yàn)中可以施加能級之間的共振微波, 通過絕熱過程, 可以實(shí)現(xiàn)對應(yīng)不同k值點(diǎn)的哈密頓量.

利用NV色心中的電子自旋模擬的三維手性拓?fù)浣^緣體哈密頓量生成的原始數(shù)據(jù), 訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以識別拓?fù)湎? 這樣的監(jiān)督學(xué)習(xí)類似于處理經(jīng)典的圖像識別. 如圖6(b)所示，將在10 ×10 × 10規(guī)則網(wǎng)格的密度矩陣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為輸入, 通過一個(gè)用來預(yù)測拓?fù)洳蛔兞康念A(yù)訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遷移到分類不同拓?fù)湎嗟膯栴}中, 輸出各個(gè)可能的拓?fù)湎嗟媒?jīng)典概率. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)即使只用輸入10%實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 模型也能夠達(dá)到90%的識別率, 表明了即使使用最少數(shù)量的數(shù)據(jù)樣本,也可以訓(xùn)練CNN來成功識別拓?fù)潆A段, 如圖7所示.

圖6 (a)利用共振微波操控NV色心基態(tài)能級; (b)可對拓?fù)湎噙M(jìn)行分類的3D卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu), 輸入是在10 × 10 × 10規(guī)則網(wǎng)格上的密度矩陣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). 每個(gè)密度矩陣由八個(gè)實(shí)數(shù)表示. 輸出是每個(gè)可能相的分類概率[54]Fig. 6. (a) Using resonance microwave to control the ground state energy level of NV color center; (b) architecture of the 3D CNN to classify the topological phases. The input is experimental data of density matrices on a 10 × 10 × 10 regular grid. Each density matrix is represented by eight real numbers[54].

圖7 迭代次數(shù)增加時(shí)的訓(xùn)練和驗(yàn)證準(zhǔn)確性. 訓(xùn)練和驗(yàn)證準(zhǔn)確性在訓(xùn)練過程開始時(shí)迅速增加, 然后達(dá)到了很高的飽和值(≈ 98%)[54]Fig. 7. The training and verification accuracy when the number of iterations increases. The training and validation accuracy increased rapidly at the beginning of the training process, and then reached a high saturation value (≈98%)[54].

訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方式將比傳統(tǒng)的方法更加有效. 首先, 對于未知序參量和拓?fù)洳蛔兞康耐負(fù)湎? 由于不需要知道各個(gè)拓?fù)洳蛔兞康木_解而只需要必要的訓(xùn)練數(shù)據(jù), 所以可以被更廣泛地應(yīng)用在未知拓?fù)湎嘀? 再者, 沒有在常規(guī)網(wǎng)格上提供數(shù)據(jù)的情況下, 離散積分的常規(guī)方法無法使用.CNN在這方面具有更好的應(yīng)用范圍. 因此在實(shí)驗(yàn)中所需要的樣本也就更少. 并且, 機(jī)器學(xué)習(xí)是直接從混態(tài)之中提取數(shù)據(jù), 而不需要依賴于純態(tài)定義的拓?fù)洳蛔兞? 這在量子實(shí)驗(yàn)體系中是具有極大優(yōu)勢的.

3.2 量子主成分分析

由于主成分分析(PCA)在對數(shù)據(jù)降維的同時(shí)能夠盡可能保留有效信息的特性, 其在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用前景. 量子主成分分析(qPCA)由于量子算法的量子加速特性, 可以比經(jīng)典算法更加高效地解決問題. 對未知的低秩密度矩陣的量子主成分分析以量子形式快速揭示了與大特征值相對應(yīng)的特征值, 并為機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析提供了潛在的量子加速器. 對于qPCA, 如何萃取出其主成分一直是一個(gè)問題. 前文提到, qPCA算法解決了時(shí)間復(fù)雜度的問題, 但實(shí)驗(yàn)上仍然需要大量的運(yùn)算資源, 對量子比特?cái)?shù)和操控的精確度都有著很高的要求, 所以完成實(shí)驗(yàn)一直都是一件很困難的事情.

杜江峰課題組[57]基于金剛石NV色心體系利用量子機(jī)器學(xué)習(xí)完成了主成分分析算法(PCA),如圖8所示. 在實(shí)驗(yàn)中使用了基于共振的量子主成分分析(RqPCA), 通過引入一個(gè)輔助比特, 實(shí)現(xiàn)了算法的量子指數(shù)加速.

圖8 共振量子主成分分析算法原理圖 (a)探針-寄存器耦合系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu), | λi〉 是 ρ 的第 i 個(gè)本征態(tài), 而 λ i∈[0,1] 是對應(yīng)的本征值, 如果掃描頻率 ω ≈λi , 就會引起探針量子位的拉比振蕩; (b)使用Suzuki-Trotter分解的RqPCA的量子電路, 對探針量子位進(jìn)行投影測量得到 | 1〉 表明該算法成功[57]Fig. 8. Algorithm schematic of RqPCA: (a) The energy structure of the coupled probe-register system. | λi〉 is the i-th eigenstate of ρ and λ i∈[0,1] is the corresponding eigenvalue. Once the scanning frequency ω ≈λi , the Rabi oscillations of the probe qubit is induced; (b) the quantum circuit of RqPCA. The projective measurement of the probe qubit in the state | 1〉 indicates success of the algorithm, with principal component being distilled in the register[57].

實(shí)驗(yàn)體系的哈密頓量為H=|1〉〈1|?ρ+其中第一項(xiàng)為輔助比特與量子寄存器的耦合項(xiàng), 第二項(xiàng)為所添加的可調(diào)能量偏執(zhí).In為與ρ維度相同的單位陣. 當(dāng)施加一個(gè)以強(qiáng)度c驅(qū)動輔助比特的外場, 若ω≈λi, 則會發(fā)生從|0〉|λi〉 到|1〉|λi〉 的躍遷. 當(dāng)初態(tài)制備到ρini=|0〉〈0|?ρ時(shí),系統(tǒng)將在下面的哈密頓量下演化:

通過對ω進(jìn)行掃頻, 當(dāng)滿足某個(gè)特定λi, 探測比特會以的概率躍遷, 其中在實(shí)驗(yàn)中, 通過測量探測比特在|1〉 上的布居度, 可以得到相應(yīng)的譜線, 而每一個(gè)峰就對應(yīng)一個(gè)相應(yīng)的特征值. 對一個(gè)4 × 4的矩陣進(jìn)行主成分分析, 其效率可達(dá)86%, 保真度可達(dá)0.90.

3.3 量子自編碼器

自動編碼器的想法在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域已經(jīng)流行了數(shù)十年, 通常是為了降低數(shù)據(jù)的維度. 它以一種無監(jiān)督的方式學(xué)習(xí)有效的數(shù)據(jù)編碼, 包括一個(gè)編碼器, 用于學(xué)習(xí)一組數(shù)據(jù)的表示形式; 以及一個(gè)解碼器, 用于從簡化的編碼中生成盡可能接近其原始輸入的表示形式. 自編碼器通過簡單地學(xué)習(xí)將輸入復(fù)制到輸出來工作. 這一任務(wù)(就是輸入訓(xùn)練數(shù)據(jù),再輸出訓(xùn)練數(shù)據(jù)的任務(wù))聽起來似乎微不足道, 然而這過程有一個(gè)很大的難點(diǎn), 那就是總要根據(jù)自己的需求去找到合適的方式來約束訓(xùn)練的過程. 我們最常用的降維其實(shí)就是一個(gè)很好的例子, 限制數(shù)據(jù)的維度并不是一個(gè)簡單的過程. 我們所加的這些限制條件, 一方面要能夠滿足我們的要求(比如對噪聲的處理或者還原), 另一方面還需要能夠有效地防止程序機(jī)械的將數(shù)據(jù)復(fù)制輸出, 使其具有高效表達(dá)的能力.

受到經(jīng)典自編碼器的啟發(fā), 其在量子領(lǐng)域也可以用來解決一些傳統(tǒng)方法難以輕松解決的問題. 接下來我們介紹其中一種很有效的應(yīng)用. 文獻(xiàn)[58]基于NV體系構(gòu)建了量子自編碼器, 如圖9所示,并通過提高量子糾纏的壽命進(jìn)行了驗(yàn)證. 量子糾纏作為極為重要的量子資源, 卻又非常脆弱, 容易受到環(huán)境的干擾而發(fā)生退相干, 因此保護(hù)糾纏, 抑制退相干是量子領(lǐng)域里的核心話題. 有一種方法是將糾纏的有效信息通過機(jī)器學(xué)習(xí)的方式編碼到相干時(shí)間長的子空間, 而在需要取出信息時(shí)再進(jìn)行反向解碼操作, 還原為原有信息, 這樣就變相的提高了量子糾纏的壽命.

圖9 (a)量子自編碼器線路圖, 通過編碼操作 U E 將|Ψi〉中的信息壓縮到 | φ〉code 中, 在需要時(shí)通過解碼操作 U D 將|φ〉code 還原為 (b)優(yōu)化編碼器的基于梯度算法的HQCA的 訓(xùn)練過 程, ρ in 是編碼器的輸入狀態(tài), ρ out 是輔助量子位的輸出狀態(tài), 是成本函數(shù), q是迭代次數(shù)[58]Fig. 9. (a) Quantum autoencoder circuit. The target information of | Ψi〉 can be encoded to the code state | φ〉code via the encoder U E. | φ〉code can be reconstructed to when needed by the decoder U D. (b) Training process of the gradient-based HQCA to optimize encoder. Here, ρ in is the input state of the encoder, and ρ out is the output state on the ancilla qubits. is the cost function, where q is the current iterative number[58].

文中基于參數(shù)化量子線路的思想構(gòu)建編碼器,編碼器設(shè)定為共包含四個(gè)參數(shù)的操控算符, 四個(gè)參數(shù)分別對應(yīng)兩束選擇性微波脈沖MW1和MW2的振幅和相位. 之后采用混合量子經(jīng)典方法(HQCA)進(jìn)行訓(xùn)練, 由量子系統(tǒng)和經(jīng)典系統(tǒng)共同組成訓(xùn)練體系, 基于梯度算法對參數(shù)進(jìn)行迭代, 成本函數(shù)和梯度的計(jì)算在量子系統(tǒng)中執(zhí)行, 其余部分則由經(jīng)典系統(tǒng)完成. 每次迭代都根據(jù)由量子系統(tǒng)測量得到的成本函數(shù)的值以及設(shè)定的步長來進(jìn)行梯度運(yùn)算, 以合適的學(xué)習(xí)率對參數(shù)進(jìn)行調(diào)整更新, 直至其滿足實(shí)驗(yàn)需求而完成迭代. 這種方式能夠緩解量子資源不足的問題, 同時(shí)經(jīng)過機(jī)器學(xué)習(xí)過程也能抑制量子系統(tǒng)本身造成的實(shí)驗(yàn)誤差. 本文基于金剛石NV色心體系對這種方法進(jìn)行了驗(yàn)證, 把電子自旋和核自旋的貝爾態(tài)中的糾纏信息編碼到相干時(shí)間較長的核自旋上進(jìn)行保護(hù), 使得糾纏的壽命由2 μs提升到3 ms, 提升超過了1000倍.

4 展 望

值得注意的是, 本文主要介紹了量子機(jī)器學(xué)習(xí)基于NMR和NV色心這兩種自旋量子體系在近年來的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展, 并不是關(guān)于量子機(jī)器學(xué)習(xí)的全面綜述, 只介紹了這兩種實(shí)驗(yàn)體系涉及到的部分量子機(jī)器學(xué)習(xí)算法. 除了這兩種體系, 量子機(jī)器學(xué)習(xí)在諸如超導(dǎo)[32,59]、光學(xué)[30,60]等體系中都有著良好的發(fā)展.

量子機(jī)器學(xué)習(xí)是近幾年新興的交叉研究領(lǐng)域,有著巨大的發(fā)展?jié)摿? 雖然已經(jīng)取得了一定的成果, 但是在未來的發(fā)展中依然存在著很多問題[14].首先, 在解決實(shí)際問題時(shí), 需要將經(jīng)典的信息導(dǎo)入到量子體系當(dāng)中, 這個(gè)經(jīng)典到量子的信息轉(zhuǎn)換過程本身就很復(fù)雜, 會耗費(fèi)大量的資源, 目前仍沒有行之有效的方法. 其次, 常見的各類量子體系還都不夠成熟, 量子機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展在今后相當(dāng)長的一段時(shí)期內(nèi)仍將受限于量子比特的數(shù)目、相干性、可糾錯(cuò)性等問題, 構(gòu)建通用量子計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ昧孔犹幚砥魅允掷щy. 最后, 對于已有的量子算法, 難以斷言其處理問題的過程中, 是否存在著超越經(jīng)典算法的優(yōu)勢, 同時(shí)也缺少評估量子算法有效性的系統(tǒng)性方法.

雖然還存在種種問題, 現(xiàn)階段量子機(jī)器學(xué)習(xí)在解決各學(xué)科領(lǐng)域的問題已經(jīng)顯示出巨大優(yōu)勢潛力,尤其是為一些常見的量子物理問題的分析和處理提供了一種有效的手段, 例如量子拓?fù)湎嗟蔫b定等[54,61-66], 未來必將能夠繼續(xù)助力各領(lǐng)域的突破和發(fā)展.