劉建波，陳子越，張艷艷

（東北大學(xué)秦皇島分校 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

1 數(shù)學(xué)文化與思政教育的“交”與“融”

1.1 什么是數(shù)學(xué)文化？

談及數(shù)學(xué)，很多人認(rèn)為它是數(shù)字、公式，邏輯推理的堆砌，更多地是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具。但在文化的歷史長(zhǎng)河中抹不去數(shù)學(xué)的存在，唐代詩(shī)人李白的“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長(zhǎng)江天際流”從文學(xué)角度表達(dá)了對(duì)友人的留戀之情；從數(shù)學(xué)的角度看，“帆影”“碧空盡”體現(xiàn)了隨著距離的越遠(yuǎn)而看不見船帆，反映出了無(wú)窮小量的重要概念。魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉輝的割圓術(shù)，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，這詮釋了分割的思想，為數(shù)列極限的定義以及定積分的引入奠定了基礎(chǔ)[1]。數(shù)學(xué)文化不僅是歷史的產(chǎn)物，還是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的勞動(dòng)和智慧的結(jié)晶。廣義上講，數(shù)學(xué)文化還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育以及教學(xué)發(fā)展中的人文成分，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展[2]1-3。

1.2 課程思政不是思政課程

課程思政是教書育人的基本表達(dá)途徑，回答了“怎樣培養(yǎng)人”這一實(shí)踐性問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題是教育的關(guān)鍵問(wèn)題。而思政課程是用政治講政治，體現(xiàn)了教育的首要問(wèn)題是“培養(yǎng)什么樣的人”。學(xué)校是國(guó)家培養(yǎng)人才的重要基地，所有課程都有育人功能，要以“德育”為抓手，堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，推動(dòng)“思政課程”與“課程思政”同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)[3]。課程思政的過(guò)程是價(jià)值理論和工具理論的統(tǒng)一，將思想政治教育和專業(yè)知識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)融合，課程是思政的載體，思政是課程的內(nèi)涵。課程思政的價(jià)值是合目的性、合規(guī)律性與合必然性的統(tǒng)一，合目的是“培養(yǎng)什么樣的人”，需要圍繞著專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)和課程培養(yǎng)目標(biāo)展開；合規(guī)律需要教育教學(xué)實(shí)踐合于客觀規(guī)律；最重要的是要遵循學(xué)生成長(zhǎng)規(guī)律，合必然性體現(xiàn)在“課程思政”和“思政課程”的協(xié)同育人[4]。

1.3 數(shù)學(xué)文化蘊(yùn)含豐富的思政教育資源

數(shù)學(xué)課程的思政教育，不是用思政來(lái)講思政，而是在當(dāng)下的專業(yè)課知識(shí)中向思政上牽引和挖掘，達(dá)到潛移默化的效果，“潤(rùn)思政”細(xì)無(wú)聲，而不是生搬硬套，強(qiáng)行和思政教育掛鉤。數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，它是世界的也是民族的。先輩的數(shù)學(xué)家們對(duì)發(fā)展民族數(shù)學(xué)文化有著重大奉獻(xiàn)，民族數(shù)學(xué)文化的奮斗史和進(jìn)步史都可以成為“課程思政”的資源。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，所以數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的哲理與人性品質(zhì)有很多互通之處。如二次函數(shù)

當(dāng)a＜ 0時(shí)，它的曲線是先上升后下降，有最高點(diǎn)，有起有落，很像人生的順境逆境巔峰。如一次函數(shù)y=kx+b,(x＞ 0)，b相當(dāng)于人生的起點(diǎn)，有些人從出生起點(diǎn)就很高（b＞ 0），但是如果后天不努力（k＜ 0），也會(huì)越來(lái)越差趨近于負(fù)無(wú)窮；反觀有些人雖然出生起點(diǎn)比較低（b＜ 0），但自己后天加倍努力，積極追求自己的人生理想（k＞ 0），最后必將沖出逆境（x軸），結(jié)果越來(lái)越好，實(shí)現(xiàn)自己的人生價(jià)值。數(shù)學(xué)文化中的黃金分割[5]是一種非常美麗的比例，它常常表現(xiàn)于藝術(shù)、建筑以及人體結(jié)構(gòu)。體會(huì)這些數(shù)學(xué)的內(nèi)涵美，可以讓學(xué)生形成一定的審美觀，提高學(xué)生的思想品德修養(yǎng)，培養(yǎng)科學(xué)的世界觀。

2 教學(xué)案例分析——以韓信點(diǎn)兵與中國(guó)剩余定理為例

課程內(nèi)容：數(shù)學(xué)文化第三章第三節(jié)——韓信點(diǎn)兵與中國(guó)剩余定理。

2.1 教授內(nèi)容及挖掘思政元素

2.1.1 以“韓信點(diǎn)兵”的故事引入

向?qū)W生講解韓信點(diǎn)兵的故事。韓信是漢高祖劉邦的大將，屢建戰(zhàn)功。有一日韓信數(shù)兵，先讓一隊(duì)士兵五個(gè)人一行，他記下最后一行士兵的人數(shù)一人；六個(gè)人一行排隊(duì)，他記下最后一行人數(shù)五個(gè)人；七個(gè)人一行排隊(duì)從閱兵臺(tái)前走過(guò)，他記下最后一行人數(shù)四個(gè)人；十一個(gè)人一行排隊(duì)走過(guò)去，最后一行是十個(gè)。然后韓信就憑這些數(shù)據(jù)可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)，這里面有什么秘密呢？好像都是做除法時(shí)的余數(shù)，由此就可以求出士兵的總數(shù)嗎[1]？

思政元素：一個(gè)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的“韓信點(diǎn)兵”的故事作為課程的引入，首先可以帶動(dòng)學(xué)生對(duì)這個(gè)余數(shù)來(lái)計(jì)算總?cè)藬?shù)的問(wèn)題的思考，其次可以讓學(xué)生感受到古代中國(guó)人民的智慧，從而產(chǎn)生民族自豪感、自信感，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)之情和濃厚的數(shù)學(xué)興趣。

2.1.2 從另外一個(gè)問(wèn)題（物不知其數(shù)問(wèn)題）著手教學(xué)

我們從另一問(wèn)題介紹這類問(wèn)題的方法，今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩一，三三數(shù)之剩二，四四數(shù)之剩三，五五數(shù)之剩四，六六數(shù)之剩五，七七數(shù)之剩六，八八數(shù)之剩七，九九數(shù)之剩八。問(wèn)物幾何？對(duì)于問(wèn)題的條件，表面上看起來(lái)比上一個(gè)題還復(fù)雜。其實(shí)這道題比上題簡(jiǎn)單，可以用篩法和公倍數(shù)法這兩種方法來(lái)解決這一問(wèn)題。通過(guò)舉例，篩法是一般性方法，可以用來(lái)解決所有這類問(wèn)題，但是過(guò)程比較繁瑣；公倍數(shù)法，將篩法化繁為簡(jiǎn)，并通過(guò)尋找規(guī)律，可以解決具有相同特征的用余數(shù)求總數(shù)問(wèn)題[2]151-158。

思政元素：從另一問(wèn)題入手，化繁為簡(jiǎn)，尋找規(guī)律的解決問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生辯證地看待問(wèn)題的思想；篩法和公倍數(shù)法的客觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程體現(xiàn)了唯物論和辯證法的哲學(xué)思想，有助于學(xué)生逐步形成辯證唯物主義世界觀。

2.1.3 對(duì)“中國(guó)剩余定理”進(jìn)行講授

公元1247 年，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶得到稱為“大衍總數(shù)術(shù)”的方法，并記錄在《數(shù)書九章》中。在歐洲，直到18 世紀(jì)，歐拉和拉格朗日等曾對(duì)一次同余方程組問(wèn)題進(jìn)行研究。高斯在1800 年出版的《算術(shù)研究》中，才明確寫出了一次同余方程組的求解定理，并對(duì)兩兩互素模的情形給出了嚴(yán)格的證明。1852 年，英國(guó)傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中孫子問(wèn)題的解法傳到歐洲。1876 年，德國(guó)人馬提生指出《孫子算經(jīng)》中孫子問(wèn)題的解法以及秦九韶的“大衍總數(shù)術(shù)”算法與高斯算法是一致的，因此在西方數(shù)學(xué)史上，一次同余式方程的求解定理常常被稱為“中國(guó)剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）。此定理用現(xiàn)在的語(yǔ)言表述如下：設(shè)d1,d2,…,dn是兩兩互素，x分別被d1,d2,… ,dn除得余數(shù)為r1,r2,…,rn，則

其中D是d1，d2……dn的最小公倍數(shù)，ki是d1，d2……,di-1,di+1,……,dn的公倍數(shù)且被di除所得余數(shù)為1，k為任意整數(shù)[2]159-160。

思政元素：中國(guó)剩余定理是中國(guó)數(shù)學(xué)家秦九韶最早給出的，這一事實(shí)不僅擴(kuò)大了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面，提升了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，也能提高學(xué)生的民族自信心和民族自豪感。借助這一名人軼事，向?qū)W生講述數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)精神，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生以此為榜樣，從而產(chǎn)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的善于發(fā)現(xiàn)、不斷探索、勇于鉆研的學(xué)習(xí)精神。

2.1.4 有趣的應(yīng)用

某單位有100 把鎖，分別編號(hào)為1，2，3，……，100?，F(xiàn)在要對(duì)鑰匙編號(hào)，使外單位的人看不懂，而本單位的人一看見鎖的號(hào)碼就知道用哪把鑰匙。利用中國(guó)剩余定理，把鎖的號(hào)碼分別被3、5、7 去除，得到三個(gè)余數(shù)當(dāng)做鑰匙的號(hào)碼；也可以在得到的每個(gè)余數(shù)后面加一個(gè)常數(shù)，為了更加保密，可以每個(gè)月更換一次常數(shù)[1]160。

思政元素：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也回歸于生活。善于數(shù)學(xué)里所學(xué)到的定理應(yīng)用到實(shí)際生活中才成就了數(shù)學(xué)應(yīng)有的價(jià)值。教師讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，感受數(shù)學(xué)的意義，從而培養(yǎng)他們學(xué)會(huì)將理論與實(shí)踐相結(jié)合的科學(xué)方法。

2.2 課堂實(shí)施策略

學(xué)生是課堂的主體，教師應(yīng)善于將問(wèn)題“拋出去”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)融入。在課堂內(nèi)容的講解過(guò)程中，第一種方式可以是“邊知識(shí)邊思政”：教師在將專業(yè)知識(shí)教授給學(xué)生的同時(shí)，提出相關(guān)人生真理，這樣，學(xué)生狀態(tài)在線、思路在線，效果顯著。第二種方式是“先知識(shí)后思政”：可以先將本堂課的專業(yè)知識(shí)講完，在課堂的最后進(jìn)行總結(jié)升華，引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

首先，在講授數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，注重啟發(fā)學(xué)生對(duì)“思政元素”能動(dòng)地認(rèn)知和認(rèn)同，貼近實(shí)際生活向?qū)W生進(jìn)行滲透，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、自覺(jué)學(xué)習(xí)。

其次，精選相關(guān)人物傳記、影像視頻、時(shí)事熱點(diǎn)等資料，將國(guó)家形勢(shì)、國(guó)家的大政方針、愛(ài)國(guó)情懷、工匠精神等巧妙融入到教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)世界與中國(guó)發(fā)展的大勢(shì)，明確歷史使命與時(shí)代責(zé)任。

再次，從數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)實(shí)踐結(jié)合中去詮釋思政元素，從實(shí)際和實(shí)踐出發(fā)來(lái)解釋理論的形成，因事而化、與時(shí)俱進(jìn)。

最后，在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，通過(guò)擺事實(shí)、講道理直接對(duì)學(xué)生進(jìn)行道德教育，同時(shí)還要通過(guò)潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的方式寓道德教育于課程之中。

2.3 課堂總結(jié)

課堂包括課上和課下。為提高課程思政的效果，課上教師應(yīng)善于利用多媒體技術(shù)，將政治微視頻植入教學(xué)；課下布置思考作業(yè)，給學(xué)生足夠的查閱相關(guān)數(shù)學(xué)資料的時(shí)間，或者留一個(gè)相關(guān)的政治小作業(yè)，讓學(xué)生總結(jié)這一課的思想收獲和人生感想。