國(guó) 巍， 龍 巖， 邵 平， 曾 晨， 喻澤紅

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410000； 2.高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)沙 410000)

磁浮軌道交通作為一種新興的交通方式，車橋耦合振動(dòng)問題突出. 在高速運(yùn)動(dòng)下，令僅有10 mm磁浮間隙的上部列車保持穩(wěn)態(tài)懸浮需要良好的控制系統(tǒng)，若車橋耦合產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)，磁浮控制可能會(huì)失效進(jìn)而導(dǎo)致事故發(fā)生，因此控制系統(tǒng)是需要進(jìn)行測(cè)試的重要環(huán)節(jié)[1-2]. 在理論研究的基礎(chǔ)上，需在現(xiàn)場(chǎng)和實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行大量測(cè)試，以檢驗(yàn)磁浮控制、車橋耦合振動(dòng)等性能. 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試需耗費(fèi)大量財(cái)力，組織難度大，在無法保證橋梁結(jié)構(gòu)、控制系統(tǒng)等可靠性時(shí)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)會(huì)造成人財(cái)浪費(fèi)甚至危險(xiǎn)，因此有必要發(fā)展實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的測(cè)試方法.

混合試驗(yàn)技術(shù)近年來被認(rèn)為是可實(shí)現(xiàn)橋上行車測(cè)試的手段之一[3]，已應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)室內(nèi)高速鐵路橋上行車相關(guān)試驗(yàn)測(cè)試，采用實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)以準(zhǔn)確模擬橋上行車狀態(tài). 此外，實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)也被廣泛應(yīng)用在土木工程中其他領(lǐng)域，如Jiang等[4]對(duì)物理磁流變阻尼器及數(shù)值公路橋梁進(jìn)行實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)測(cè)試，驗(yàn)證了磁流變阻尼器控制公路橋梁疲勞振動(dòng)的有效性；Friedman等[5]在裝有磁流變阻尼器的大型框架中進(jìn)行了實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)；Najafi等[6]提出一種基于模型的輕阻尼和高非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)方法，其用于屋頂軌道非線性能量吸收器性能研究. 實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)具有較高的實(shí)時(shí)性要求，大型伺服液壓系統(tǒng)作為混合試驗(yàn)中車輛等物理子系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，需要高精度控制系統(tǒng)，同時(shí)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算也要求在毫秒內(nèi)完成，具有很高挑戰(zhàn). 相比于實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)，學(xué)者們提出了離線迭代的混合試驗(yàn)新思路，并應(yīng)用于汽車輪胎耐久性測(cè)試、非結(jié)構(gòu)構(gòu)件等試驗(yàn)中，如Maddaloni等[7]提出基于傳遞函數(shù)的開環(huán)補(bǔ)償模型，對(duì)安裝吊頂?shù)目蚣茼敳縳、y和z向進(jìn)行離線迭代補(bǔ)償；Zhou[8]等提出一種多自由度離線耦合迭代法用于非結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中樓面響應(yīng)譜的再現(xiàn)；MTS公司提出一種混合系統(tǒng)響應(yīng)收斂方法，利用混合試驗(yàn)對(duì)汽車輪胎進(jìn)行了疲勞和耐久性測(cè)試[9]；Li等[10]采用離線耦合試驗(yàn)方法應(yīng)用于偏置電力變壓器性能評(píng)估. 非結(jié)構(gòu)構(gòu)件往往是大型建筑或汽車系統(tǒng)中的設(shè)備與部件，從構(gòu)成來看其類似于橋上行駛的車輛，區(qū)別在于橋上行車為移動(dòng)設(shè)備，非結(jié)構(gòu)構(gòu)件往往為固定設(shè)備.

基于實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)所存在的問題，本文發(fā)展了一種基于不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的離線迭代混合試驗(yàn)方法，其可以避免實(shí)時(shí)計(jì)算難題，同時(shí)可以在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行磁浮車橋耦合振動(dòng)性能的模擬.

1 基于不動(dòng)點(diǎn)迭代的離線混合試驗(yàn)方法

與實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)在每一時(shí)間步內(nèi)實(shí)時(shí)模擬橋上行車狀態(tài)相比，離線混合試驗(yàn)通過在數(shù)值物理子系統(tǒng)間迭代修正力或位移時(shí)程響應(yīng)誤差，令其在邊界處平衡協(xié)調(diào)，進(jìn)而模擬橋上行車真實(shí)狀態(tài). 本文在離線混合試驗(yàn)中用于迭代修正響應(yīng)誤差的方法為不動(dòng)點(diǎn)迭代算法. 基于不動(dòng)點(diǎn)迭代的離線混合試驗(yàn)方法是在振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)包含的內(nèi)環(huán)控制器[11]基礎(chǔ)上，搭建外環(huán)控制器，原理如圖1所示.

圖1中，外環(huán)輸入是z方向的系統(tǒng)初始位移時(shí)程，u為外環(huán)不動(dòng)點(diǎn)迭代控制器輸入給內(nèi)環(huán)控制器的位移命令，ut為振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)自身所帶內(nèi)環(huán)控制器以u(píng)為期望響應(yīng)經(jīng)迭代修正后復(fù)現(xiàn)的位移響應(yīng)，即內(nèi)環(huán)控制器下達(dá)至振動(dòng)臺(tái)的控制命令，u′為數(shù)值- 物理劃分界面處的位移響應(yīng)，即振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面位移，F(xiàn)為磁浮車輛模型在振動(dòng)臺(tái)激勵(lì)下反饋的磁浮力.

磁浮車橋離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)將數(shù)值- 物理切分界面選定為車輛與軌道梁之間，磁浮車輛作為物理子系統(tǒng)，磁浮軌道橋梁作為數(shù)值子系統(tǒng)，子系統(tǒng)間以參照實(shí)際行車，以磁浮力的大小與其在軌道梁作用點(diǎn)處所受力的大小相等作為邊界條件，即2個(gè)子系統(tǒng)通過磁浮力連接.因磁浮列車與軌道間的力作用關(guān)系不同于傳統(tǒng)的輪軌接觸，且數(shù)值- 物理子系統(tǒng)切斷了實(shí)際磁浮車橋系統(tǒng)間力磁浮力的傳遞，因此將車輛子系統(tǒng)反饋回來的磁浮力以移動(dòng)荷載的形式加載至數(shù)值橋梁子系統(tǒng).內(nèi)環(huán)控制器用于實(shí)現(xiàn)振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)對(duì)于其輸入信號(hào)的高精度復(fù)現(xiàn)；外環(huán)控制器通過不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂算法[12]，逐步減小混合試驗(yàn)中數(shù)值橋梁子系統(tǒng)與物理車輛子系統(tǒng)之間的動(dòng)態(tài)響應(yīng)誤差，從而在數(shù)值- 物理劃分界面處實(shí)現(xiàn)一定精度的磁浮車橋耦合振動(dòng)復(fù)現(xiàn).

實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的混合試驗(yàn)依托于振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)系統(tǒng)，因其自帶的液壓系統(tǒng)控制器可高精度復(fù)現(xiàn)輸入至振動(dòng)臺(tái)的期望信號(hào)，故在模擬磁浮車橋耦合振動(dòng)時(shí)忽略振動(dòng)臺(tái)復(fù)現(xiàn)誤差，即僅對(duì)磁浮車橋系統(tǒng)間響應(yīng)誤差進(jìn)行迭代修正.在磁浮橋上行車試驗(yàn)中，因子系統(tǒng)間以磁浮力協(xié)調(diào)為邊界條件，因此在進(jìn)行收斂判別時(shí)選擇車輛位移與磁浮力作用點(diǎn)處軌道梁的位移響應(yīng)，當(dāng)兩者間計(jì)算的均方根誤差小于限值時(shí)，則認(rèn)為離線混合試驗(yàn)收斂，即可在一定精度上復(fù)現(xiàn)磁浮車橋動(dòng)態(tài)耦合.外環(huán)不動(dòng)點(diǎn)迭代控制器的原理如圖2所示.

圖2 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法流程Fig.2 Flow of fixed-point iterative algorithm

若基于磁浮車橋耦合的離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)的輸入為作用于車輛模型的橋梁位移激勵(lì)u，輸出為車輛模型在激勵(lì)輸入下生成的磁浮力作用于數(shù)值橋梁模型后的橋梁位移響應(yīng)y，對(duì)于此離線混合系統(tǒng)，其輸入輸出間的關(guān)系可由y=H(u)表示，則離線迭代混合試驗(yàn)的目標(biāo)可表示為

error=u-y=u-H(u)=0

(1)

離線混合試驗(yàn)的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)換為求解式(1)的解，且存在唯一解u.將式(1)化為同解方程可得

u=H(u)

(2)

取任意初值u0帶入式(2)右側(cè)

u1=H(u0)

通過迭代可得

u2=H(u1)
?
uk+1=H(uk)k=0,1,2,…

(3)

式中：uk為第k步迭代序列，式(3)為求解式(2)的不動(dòng)點(diǎn)迭代法.若存在一序列u*，使迭代序列uk滿足

(4)

則稱不動(dòng)點(diǎn)迭代法收斂，u*為式(2)的解，否則稱為發(fā)散.

將上述不動(dòng)點(diǎn)迭代法應(yīng)用到磁浮車橋系統(tǒng)的響應(yīng)收斂中，流程如圖3所示.

圖3 基于不動(dòng)點(diǎn)迭代的離線混合試驗(yàn)操作流程Fig.3 Operation flow of off-line hybrid test based on fixed point iteration

1) 將一組初始位移驅(qū)動(dòng)信號(hào)u0輸入至振動(dòng)臺(tái)，振動(dòng)臺(tái)以初始驅(qū)動(dòng)位移信號(hào)為目標(biāo)進(jìn)行內(nèi)環(huán)控制并加載至磁浮車輛，加載完成后，記錄反饋力.

2) 將反饋力作用于橋梁數(shù)值模型，計(jì)算得到位移響應(yīng)并換算為振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面位移信號(hào).

3) 比較換算后振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面位移輸出時(shí)程和驅(qū)動(dòng)位移信號(hào)，若計(jì)算均方根誤差小于限值，則離線混合試驗(yàn)收斂，試驗(yàn)結(jié)束；反之，則令換算后的振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面位移信號(hào)作為下一步驅(qū)動(dòng)位移信號(hào).

4) 循環(huán)執(zhí)行步驟1)～3)，直至驅(qū)動(dòng)位移信號(hào)收斂，結(jié)束試驗(yàn).

5) 以收斂的試驗(yàn)工況為準(zhǔn)給出最終的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果.

步驟3)中所述均方根誤差(root mean squared error, RMSE)通過橋梁響應(yīng)相對(duì)系統(tǒng)輸入的偏離程度判斷迭代效果，具體計(jì)算公式為

(5)

式中：yk(i)為第k次迭代的系統(tǒng)輸入；xk(i)為第k次迭代的系統(tǒng)輸出響應(yīng).

不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的核心是將本次迭代計(jì)算出的橋梁位移響應(yīng)作為下一次迭代作用于車輛模型的系統(tǒng)輸入，若二者間的均方根誤差小于閾值，則結(jié)束迭代，并以收斂時(shí)試驗(yàn)工況的系統(tǒng)輸入作為最終測(cè)試結(jié)果，即磁浮車橋耦合振動(dòng)響應(yīng).

2 數(shù)值環(huán)境的磁浮車橋離線混合試驗(yàn)

2.1 數(shù)值磁浮車輛模型

以中低速磁懸浮列車為研究對(duì)象，其主要構(gòu)件包括車體、空氣彈簧、懸浮架、電磁鐵等. 每節(jié)車由車體及5臺(tái)懸浮架組成，車體與懸浮架通過4個(gè)空氣彈簧裝置連接，每臺(tái)懸浮架有4對(duì)電磁鐵. 每對(duì)電磁鐵配有4個(gè)電磁鐵控制線圈[13]. 圖4(a)所示為中低速磁浮列車實(shí)際構(gòu)造，圖4(b)為其構(gòu)造示意圖.

圖4 中低速磁浮列車Fig.4 Low speed maglev train

因本文研究重點(diǎn)在于驗(yàn)證離線迭代混合試驗(yàn)方法在磁浮車橋系統(tǒng)耦合作用中的可行性，故對(duì)磁浮列車進(jìn)行了下列簡(jiǎn)化：1)整個(gè)磁浮列車簡(jiǎn)化為單個(gè)移動(dòng)彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)模型，將磁浮車體簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量塊，懸浮架(5對(duì))簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量塊，懸浮電磁鐵(5×4對(duì))簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量塊；2)整車的空氣彈簧及懸浮架與電磁鐵間的黏彈性連接分別簡(jiǎn)化為一組單彈簧阻尼系統(tǒng)；3)整車的電磁懸浮力簡(jiǎn)化為單點(diǎn)磁浮力，電磁鐵與軌道梁之間通過使用線性彈簧和阻尼器模擬電磁懸浮關(guān)系. 在該簡(jiǎn)化模型中，車體、懸浮架與電磁鐵均只考慮豎向自由度，最終磁浮車輛模型簡(jiǎn)化為三自由度模型，如圖5所示.

圖5 簡(jiǎn)化的磁浮車輛模型Fig.5 Simplified maglev vehicle model

圖5中，m2、m1、m0分別表示簡(jiǎn)化模型中車體、懸浮架和電磁鐵的質(zhì)量；c2、c1、c0分別為二系懸掛、一系懸掛和等效磁浮力的阻尼；k2、k1、k0分別為二系懸掛、一系懸掛和等效磁浮力的剛度；x2、x1、x0、xb分別為車體、懸浮架、電磁鐵和軌道的位移響應(yīng).簡(jiǎn)化車輛模型的運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

式中：Mv為車輛運(yùn)動(dòng)方程的質(zhì)量矩陣；Cv為阻尼矩陣；Kv為剛度矩陣；Xv為車輛的位移響應(yīng)矩陣；Fv為外荷載列向量，即電磁懸浮力列向量.本文磁浮列車模型的具體參數(shù)[14]如表1所示.

表1 磁浮車輛模型參數(shù)

2.2 數(shù)值磁浮橋梁模型

本文研究的磁浮橋梁類型為單向簡(jiǎn)支梁橋，其主要由橋墩、支座墊石、混凝土梁、底座、自密實(shí)混凝土層、軌道板等組成[15]，示意圖如圖6所示.

圖6 磁浮橋梁模型三維圖Fig.6 3D drawing of maglev bridge model

基于達(dá)朗貝爾原理可知數(shù)值磁浮橋梁的動(dòng)力平衡方程為

(7)

式中：mb為磁浮橋梁的質(zhì)量矩陣；cb為阻尼矩陣；kb為剛度矩陣；f為作用于橋梁的外荷載，即磁浮力.

根據(jù)陣型疊加法原理，換算整理后可得到橋梁的振動(dòng)方程

(8)

表2 混凝土磁浮橋梁模型參數(shù)

2.3 離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)

磁浮橋上行車試驗(yàn)系統(tǒng)中的數(shù)值物理切分界面確定為在車輛與軌道梁之間，如圖7所示，并在數(shù)值環(huán)境中進(jìn)行研究和測(cè)試. 因振動(dòng)臺(tái)執(zhí)行機(jī)構(gòu)可通過內(nèi)環(huán)控制實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，故在搭建車橋系統(tǒng)時(shí)，不對(duì)振動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行建模.

圖7 離線混合試驗(yàn)數(shù)值- 物理系統(tǒng)切分界面示意圖Fig.7 Sketch of interface between numerical and physicalsystem in off-line hybrid test

圖8所示為磁浮車橋離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)在SIMULINK中框圖[16-17]，系統(tǒng)輸入位移信號(hào)作用于磁浮車輛模型，車輛模型在激勵(lì)下生成磁浮力并作用于橋梁模型，記錄橋梁豎向位移響應(yīng)作為系統(tǒng)輸出. 系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)輸出通過外環(huán)不動(dòng)點(diǎn)迭代修正二者間誤差，最終實(shí)現(xiàn)磁浮車輛- 軌道耦合振動(dòng)動(dòng)態(tài)吻合.

圖8 數(shù)值環(huán)境離線混合試驗(yàn)系統(tǒng)Simulink示意圖Fig.8 Simulink schematic diagram of off-line hybrid test system in numerical environment

3 離線混合試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 磁浮橋上行車仿真計(jì)算

3.1.1 無軌道不平順的橋上行車仿真計(jì)算

進(jìn)行離線混合試驗(yàn)前，首先進(jìn)行磁浮橋上行車的仿真計(jì)算，在不添加軌道不平順的前提下，磁浮列車以300 km/h的速度移動(dòng)過橋，計(jì)算得到磁浮軌道在荷載作用點(diǎn)處的豎向位移作為磁浮橋上行車的標(biāo)準(zhǔn)解，如圖9所示. 圖9(a)即為無軌道不平順時(shí)磁浮橋上行車仿真計(jì)算時(shí)程結(jié)果，圖9(b)為對(duì)應(yīng)的橋梁豎向位移頻譜，可知在不添加軌道不平順時(shí)，磁浮橋上行車后橋梁豎向位移頻率為3～5 Hz.

圖9 無軌道不平順磁浮橋上行車后橋梁豎向位移響應(yīng)Fig.9 Vertical displacement response after driving on maglev bridge without irregularity

3.1.2 添加軌道不平順的橋上行車仿真計(jì)算

實(shí)際的交通線路，如傳統(tǒng)輪軌交通線路會(huì)因軌道初始彎曲、軌道磨耗損傷、軌枕間距不均、質(zhì)量不一、路基下沉不均勻、剛度變化等因素呈現(xiàn)軌道隨機(jī)不平順[18]. 磁浮線路軌道不平順與傳統(tǒng)輪軌交通的軌道不平順是導(dǎo)致車橋耦合振動(dòng)的主要激振源，軌道不平順及其他外部激勵(lì)源的干擾使得磁浮列車產(chǎn)生振動(dòng)響應(yīng)，而后通過懸浮電磁鐵所在轉(zhuǎn)向架單元傳遞至下部軌道結(jié)構(gòu)，最終形成車橋耦合振動(dòng)效應(yīng).

在實(shí)際線路上存在的各種軌道不平順是由不同波長(zhǎng)、不同相位和不同幅值的隨機(jī)不平順波疊加而成的，是與線路里程有關(guān)的復(fù)雜隨機(jī)過程，軌道隨機(jī)不平順的統(tǒng)計(jì)特征只能依靠線路實(shí)地測(cè)量獲得，但工作量大不便于實(shí)施[19]. 由于缺乏磁浮線路軌道不平順的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，并沒有統(tǒng)一的中低速磁浮軌道譜，學(xué)者[20-21]多采用高速機(jī)場(chǎng)譜、無縫線路軌道譜的改進(jìn)形式作為磁懸浮車輛線路的隨機(jī)不平順形式，張耿等[22]利用檢測(cè)到的唐山低速磁浮試驗(yàn)線右軌不平順的采樣數(shù)據(jù)得到了軌道不平順譜. 中國(guó)鐵道科學(xué)院擬合了統(tǒng)一的解析式功率譜密度函數(shù)(power spectral density，PSD)來表達(dá)軌道譜特征，即

(9)

式中：k為空間頻率，單位為1/m；A～G為不平順譜的特征參數(shù). 本文采用的唐山中低速試驗(yàn)線軌道譜的特征參數(shù)如表3所示.

表3 磁浮軌道譜特征參數(shù)

由于軌道不平順譜函數(shù)只適用于進(jìn)行頻域分析，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，需對(duì)軌道不平順譜進(jìn)行反演生成時(shí)域上的不平順激勵(lì)輸入. 目前國(guó)內(nèi)外最常用的軌道不平順時(shí)域樣本數(shù)值模擬方法有三角級(jí)數(shù)法、白噪聲濾波法、二次濾波法和逆Fourier變換法(inverse fast Fourier transform，IFFT)等[23]，本文采用逆Fourier變換法進(jìn)行模擬. 逆Fourier變換法由D.Cebon首次提出，是通過時(shí)間序列估計(jì)功率譜密度的Blackman Turkey周期圖法，反推離散后的PDS與時(shí)間序列的關(guān)系為

(10)

式中：s(k)為離散化的功率譜密度；N為總的取樣點(diǎn)數(shù)；D(xs)為對(duì)時(shí)間序列xs取離散Fourier變換后的復(fù)序列；X(k)為時(shí)間序列xs的Fourier頻譜；X*(k)為X(k)的共軛.

式(10)直接建立了時(shí)域樣本頻譜與軌道不平順功率譜密度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.由此可知，當(dāng)已知功率譜密度時(shí)，可通過式(10)反演隨機(jī)過程的Fourier頻譜值，再對(duì)復(fù)序列X(k)進(jìn)行Fourier逆變換，得到軌道不平順在時(shí)域上的樣本序列.

(11)

(12)

(13)

ε(k)=exp(iΦk)

(14)

式中：ε(k)為獨(dú)立序列，其各分量均值為0；t為模擬時(shí)間；Φk為在[0,2π]上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.

根據(jù)式(11)～(14)可以計(jì)算得到功率譜函數(shù)s(k)的時(shí)域反演樣本，當(dāng)磁浮車輛運(yùn)行速度為300 km/h、運(yùn)行過帶有左右各50 m過渡段的13跨32 m簡(jiǎn)支梁時(shí)，磁浮軌道豎向不平順時(shí)域信號(hào)結(jié)果如圖10所示.

圖10 磁浮豎向不平順軌道譜反演時(shí)域信號(hào)Fig.10 Time domain signal inversion of vertical irregularity track spectrum of maglev

將逆Fourier變換法模擬出的軌道豎向不平順時(shí)域樣本序列作為磁浮橋上行車模型的豎向外部激勵(lì)，計(jì)算磁浮列車以300 km/h的速度移動(dòng)過橋后，磁浮軌道在荷載作用點(diǎn)處的豎向位移，并以此結(jié)果作為添加軌道不平順的磁浮橋上行車標(biāo)準(zhǔn)解，如圖11所示. 圖11(a)為添加軌道不平順后磁浮橋上行車仿真計(jì)算時(shí)程結(jié)果，圖11(b)為對(duì)應(yīng)的橋梁豎向位移頻譜，可知添加軌道不平順時(shí)，磁浮橋上行車后橋梁豎向位移頻率以軌道不平順頻率為主要成分，范圍為0.3～10.0 Hz.

圖11 添加軌道不平順磁浮橋上行車后橋梁豎向位移響應(yīng)Fig.11 Vertical displacement response after driving on maglev bridge with irregularity

3.2 離線迭代混合試驗(yàn)驗(yàn)證

3.2.1 無軌道不平順的離線迭代混合試驗(yàn)

對(duì)于無軌道不平順的離線迭代混合試驗(yàn)，系統(tǒng)初始輸入為零，但考慮到磁浮車橋模型建模時(shí)的簡(jiǎn)化處理會(huì)對(duì)結(jié)果造成一定的影響，且混合試驗(yàn)系統(tǒng)的搭建以振動(dòng)臺(tái)能夠穩(wěn)定復(fù)現(xiàn)為前提，未考慮振動(dòng)臺(tái)復(fù)現(xiàn)精度降低所造成的誤差，故將存在的誤差以隨機(jī)白噪聲的形式添加到系統(tǒng)初始輸入.

將系統(tǒng)初始輸入作用于磁浮列車模型，進(jìn)行離線混合試驗(yàn)，記錄同次迭代中的系統(tǒng)輸入信號(hào)和橋梁響應(yīng)信號(hào)，與無軌道不平順的橋上行車仿真結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)解進(jìn)行對(duì)比，并計(jì)算橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的誤差，結(jié)果如圖12所示.

圖12 無軌道不平順離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)解對(duì)比Fig.12 Comparison of off-line iterative hybrid test results without track irregularity with standard solutions

圖12展示了不同迭代次數(shù)中系統(tǒng)輸入、橋梁響應(yīng)與無軌道不平順橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，以及橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的響應(yīng)誤差. 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的波形逐漸吻合，響應(yīng)誤差顯著下降，并基本維持在10-3毫米級(jí).

3.2.2 添加軌道不平順的離線迭代混合試驗(yàn)

首先確定試驗(yàn)的初始輸入信號(hào)，為保證離線迭代混合試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果與上文磁浮橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果具有對(duì)比性，將系統(tǒng)初始輸入信號(hào)選定為上文反演計(jì)算得到的磁浮軌道豎向不平順時(shí)程. 同樣考慮簡(jiǎn)化模型及振動(dòng)臺(tái)復(fù)現(xiàn)精度所帶來的誤差，對(duì)軌道不平順時(shí)程添加低幅寬頻白噪聲以模擬該影響.

將系統(tǒng)初始輸入作用于磁浮列車模型，進(jìn)行離線混合試驗(yàn)，記錄同次迭代中的系統(tǒng)輸入信號(hào)和橋梁響應(yīng)信號(hào)，與添加軌道不平順的橋上行車仿真結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)解進(jìn)行對(duì)比，并計(jì)算橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的誤差，結(jié)果如圖13所示.

圖13 添加軌道不平順離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)解對(duì)比Fig.13 Comparison of off-line iterative hybrid test results with standard solutions for adding track irregularity

圖13展示了不同迭代次數(shù)中系統(tǒng)輸入、橋梁響應(yīng)與添加軌道不平順橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，以及橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的響應(yīng)誤差. 可以看出，即使系統(tǒng)初始輸入有白噪聲的影響，在迭代3次后，橋梁響應(yīng)與添加軌道不平順的橋上行車仿真結(jié)果之間的響應(yīng)誤差明顯下降，并基本保持在10-2毫米級(jí). 為更好地說明離線迭代混合試驗(yàn)方法的收斂效果，計(jì)算不添加軌道不平順和添加軌道不平順時(shí)每次迭代結(jié)果的RMSE，結(jié)果如圖14所示.

圖14 前10次迭代離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的RMSEFig.14 RMSE of the first 10 iterations of off-line iterativehybrid test results and simulation results

對(duì)比有無軌道不平順工況下前10次迭代的RMSE結(jié)果可以進(jìn)一步得出，隨著迭代次數(shù)的增加，離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果間的相對(duì)誤差逐漸減小. 對(duì)于無軌道不平順工況，迭代6次后，誤差對(duì)數(shù)值下降到-4.5并基本保持不變；對(duì)于添加軌道不平順工況，迭代4次后，誤差對(duì)數(shù)值由-1.83下降到-2.98并基本保持不變，2種工況誤差結(jié)果滿足誤差小于閾值，可收斂至標(biāo)準(zhǔn)解的要求.

4 結(jié)論

1) 基于不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的離線迭代混合試驗(yàn)方法可以用于橋上行車的混合試驗(yàn)研究.

2) 研究結(jié)果均基于振動(dòng)臺(tái)能夠穩(wěn)定復(fù)現(xiàn)的前提，振動(dòng)臺(tái)復(fù)現(xiàn)精度的降低會(huì)對(duì)最終收斂結(jié)果造成一定的誤差.

3) 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法可實(shí)現(xiàn)信號(hào)快速收斂，對(duì)于代表實(shí)際干擾的白噪聲輸入和軌道不平順輸入，分別經(jīng)過6次和4次迭代，可以穩(wěn)定收斂.