袁曉萍

【摘 要】本文基于三個年級同做一題的調(diào)查啟示，提出需要為學(xué)生構(gòu)建“化繁為簡”的學(xué)習(xí)路徑，基于廣泛而深入的課堂教學(xué)實踐，優(yōu)化了搭建進(jìn)退有序的思考路線、實施進(jìn)退有節(jié)的教學(xué)干預(yù)等一系列“化繁為簡”的導(dǎo)學(xué)技術(shù)，以期在教學(xué)中使教師和學(xué)生能夠高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會和體驗“以簡馭繁”的數(shù)學(xué)價值和思考魅力。

【關(guān)鍵詞】化繁為簡 價值分析 范式建構(gòu) 策略探究

“化繁為簡”是數(shù)學(xué)教材中隱藏著的重要的數(shù)學(xué)思想：無論多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，肯定都是從簡單的知識起步，只要學(xué)生能找到這個問題的原點，那問題也就迎刃而解。本文所要敘述的，就是數(shù)學(xué)教學(xué)中如何基于教材，豐富過程，將教材教薄，讓每一個學(xué)生在活動中體驗“化繁為簡”的精簡、清爽的數(shù)學(xué)特性。

一、范式構(gòu)建：搭建“化繁為簡”的學(xué)習(xí)路徑

“退”是解決問題的一種策略和方法，要“退”到事物的最起點換一個角度思考，“退”是為了更好地“進(jìn)”。 雖然“化繁為簡”作為一種隱性方法，會因高度個性化而難以形式化，但是，教師仍可以結(jié)合實際教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“融化—感應(yīng)—碰撞—挖掘”的過程。

1.思有“起點”： 讓學(xué)生遇到復(fù)雜問題產(chǎn)生“退”的需要

通過創(chuàng)設(shè)一些難度適當(dāng)?shù)膯栴}情境，有意識地制造一個個懸疑，當(dāng)學(xué)生面對這些紛繁復(fù)雜的題目毫無頭緒、束手無策時，自然產(chǎn)生知“難”而退的需要，變被動思考為主動應(yīng)用。

明顯的新舊關(guān)聯(lián)可以啟動思考。數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識與方法間是相互聯(lián)系的，將“新知”與需要用到的“舊法”關(guān)聯(lián)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對原有思考模型進(jìn)一步拓展與延伸的需求。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了三年級的《數(shù)學(xué)廣角——組合問題》，教師可以并列構(gòu)建以下新舊關(guān)聯(lián)的三個問題，啟發(fā)學(xué)生思考。

題1：六年級四個班進(jìn)行拔河比賽，每兩個班賽一場，一共要賽多少場？

題2：圖中各有多少個長方形？

題3：圖中各有多少個角？

以題組對比的形式，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步檢索、提煉方法，在新知問題的運(yùn)用中進(jìn)一步清晰化，產(chǎn)生有序的數(shù)學(xué)思考。

強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突可以啟動思考。通過呈現(xiàn)與學(xué)生原有知識、經(jīng)驗相矛盾的現(xiàn)象，設(shè)置懸念;或提供幾個相互矛盾的方案、解答，由外在的情境沖突，引發(fā)認(rèn)知的不平衡，從而激起學(xué)生“退”的需求。例如，在《用計算器探索規(guī)律》一課學(xué)習(xí)中，教師可以將原有的規(guī)律探索改為極大算式：你能通過計算器計算出的結(jié)果嗎？當(dāng)學(xué)生知道計算器上數(shù)位有限、不能直接解決這個問題時，自然會想到要從簡單的情況或從小一點的數(shù)入手，由易到難，從中獲得某些啟示后，再來考慮原題的解答，自然過渡、水到渠成。

獨(dú)特的數(shù)學(xué)排列可以啟動思考。獨(dú)特的數(shù)學(xué)排列就是一種良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)排列的元素可以是數(shù)、符號、式或者圖形，可以給學(xué)生一種強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)沖突，便于學(xué)生去“檢索”，引發(fā)“退”的需求，啟動有序化的思考。

數(shù)的排列：3，5，7，9，…，_____（第2021個數(shù)）

式的排列：=（）

2.思有“結(jié)構(gòu)”：掌握“化繁為簡”的技術(shù)范式

毋庸置疑，學(xué)生“化繁為簡”的思考水平和技術(shù)能力的培養(yǎng)，離不開教師的引導(dǎo)和點撥。適當(dāng)構(gòu)建“化繁為簡”的階段層次和基本技術(shù)范式（如圖1），借助合乎邏輯的技術(shù)范式不僅能使學(xué)生獲得知識，而且有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，增強(qiáng)其對“化繁為簡”思想方法的感應(yīng)能力。

下面，以“一個大正方形用十字形連續(xù)均分20次，能得到幾個小正方形”一題為例，具體闡述一下教師在課堂教學(xué)中，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考如何進(jìn)行“適時介入”和“合理引導(dǎo)”，幫助學(xué)生構(gòu)建、掌握“化繁為簡”的基本技術(shù)范式。

簡約階段：化繁為簡，簡化探究素材。簡約階段是指把繁雜的問題簡單化、條理化，記錄表達(dá)基本的數(shù)據(jù)規(guī)律。如上例，引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，從第一次均分開始研究，記錄基本規(guī)律，如圖2。

符號階段：化數(shù)為式，探索數(shù)學(xué)模型。符號階段，要引導(dǎo)學(xué)生去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物。如根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律，將“結(jié)論數(shù)”改寫成“算式”，用數(shù)學(xué)符號的方式構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，如圖3。

普適階段：無中生有，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。普適階段是指通過假設(shè)和推理建立法則或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物和復(fù)雜問題。比如，引導(dǎo)學(xué)生在均分一次的前面再增加一種初始狀態(tài)，數(shù)形結(jié)合，完善數(shù)學(xué)模型，如圖4。

3.思有“延伸”：形成“化繁為簡”的思維慣性

“前延后展”的學(xué)習(xí)方法能夠讓學(xué)生“觸景生思”，誘發(fā)學(xué)生積極思維，引發(fā)更多的數(shù)學(xué)聯(lián)想，逐步向數(shù)學(xué)思想的掌握靠近。在思維的“延展”階段，教師可以用以下的方法和策略：

操作了，不妨再“瞻前”比一比。學(xué)會某一數(shù)學(xué)知識點后，引導(dǎo)學(xué)生再回頭比一比，整體關(guān)注，由零散的方法到整體的求同構(gòu)建，感受其中相同的數(shù)學(xué)思考與學(xué)習(xí)方法，從而“力透紙背”。例如，在學(xué)習(xí)五年級“平面圖形的面積”時，學(xué)完了所有平面圖形的面積后，我們可以通過假設(shè)和推理，把圖形的面積計算統(tǒng)一到梯形的面積計算上，三角形即為上底為零的梯形，平行四邊形即為上下底相等的梯形等，在學(xué)生的頭腦中建立更高層次的模型，如圖5。

解決了，不妨再“瞻前”議一議。更多數(shù)學(xué)問題解決后需要我們再引導(dǎo)學(xué)生回頭想一想，體驗其中更簡潔的結(jié)構(gòu)和更系統(tǒng)的聯(lián)系。例如，“列方程解決問題ax+bx=c”，教師整體呈現(xiàn)學(xué)生本課解決過的所有問題，引導(dǎo)學(xué)生對比：如圖6，整體看一看，你能不能發(fā)現(xiàn)其中相同的地方？你覺得哪幾個問題可以歸為一類？

生1：除了（3），其余可以歸為一類，因為它們的方程形式都是ax+bx=c。

生2：是的，（1）（2）（4）的數(shù)量關(guān)系都要表示在線段圖（5）的形式里。

生3：我覺得（3）也可以和它們歸為一類，因為它們的數(shù)量關(guān)系都是一個部分+另個一部分=總量。

師：如果我們嘗試著把這些題都用一個式子來概括的話，你覺得可以怎么來寫？

生：ax+by=c，不同的是，有些問題當(dāng)中的x與y相等，有些x與y不相等。

當(dāng)學(xué)生從解決問題的基本結(jié)構(gòu)對“散裝”的數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行整體思考時，從特殊ax+bx=c拓展到更一般的ax+by=c當(dāng)中，便于學(xué)生將注意力集中到數(shù)學(xué)研究的核心本質(zhì)上，這應(yīng)該是我們引領(lǐng)學(xué)生要去的地方。

學(xué)會了，不妨再“顧后”想一想。如果只重視局部訓(xùn)練而淡化整體聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)，就會使學(xué)生缺少高瞻遠(yuǎn)矚的解決謀略和隨機(jī)應(yīng)變的解決智慧。我們應(yīng)有這樣的意識：將前后知識進(jìn)行融合，不同的領(lǐng)域內(nèi)容互相滲透，恰當(dāng)“顧后”，既是讓學(xué)生感受教材知識本身的魅力，還賦予了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的持續(xù)力。例如，“整理與復(fù)習(xí)：小數(shù)的意義和性質(zhì)”一課中，學(xué)生已經(jīng)對四年級第四單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行了整體回顧，體會了“小數(shù)意義”在其中的核心價值，構(gòu)建起了具有結(jié)構(gòu)性的知識網(wǎng)。在學(xué)生對本單元的知識整體聯(lián)系后，教師不妨再引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)“顧后”，提前劇透后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會所學(xué)知識的意義，簡化未來學(xué)習(xí)的經(jīng)驗儲備。

師：學(xué)了這么多小數(shù)的知識，有什么用呢？在第六單元，我們還學(xué)習(xí)了“小數(shù)的加法和減法”， 和今天復(fù)習(xí)的內(nèi)容有什么聯(lián)系呢？

生：其實，小數(shù)的加減法要求相同數(shù)位相加減，就是運(yùn)用了小數(shù)的意義，用到小數(shù)部分的各個計數(shù)單位。

師（出示圖7）：下個學(xué)期，我們還將學(xué)習(xí)小數(shù)乘法和小數(shù)除法，學(xué)習(xí)它們，會不會與我們這個單元的知識有聯(lián)系呢？

生：哦，發(fā)現(xiàn)了！原來小數(shù)乘法這樣就行了。

師：同學(xué)們，“小數(shù)的意義和性質(zhì)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容僅僅只是給我們提供了一棵知識樹嗎？

生1：老師，我看到了，這棵知識樹的背后還有聯(lián)系著的、更多的知識樹！

生2：是，是一個森林……

三、策略探究：優(yōu)化“化繁為簡”的導(dǎo)學(xué)技術(shù)

為了突出“化繁為簡”的數(shù)學(xué)特性，形成學(xué)生數(shù)學(xué)思考的慣性，教師應(yīng)有針對性地進(jìn)行教學(xué)干預(yù)，有的放矢，才能觸及“化繁為簡”教學(xué)策略的本質(zhì)及其蘊(yùn)含的隱性思想。

素材應(yīng)用：將“簡單的材料”用出“極致的價值”?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，小方格、百數(shù)圖、數(shù)軸、格點圖這些簡單的素材有很多，把簡單的材料用到極致，可以讓學(xué)生產(chǎn)生“餓”的感覺，從而伸展向更廣泛的領(lǐng)域。

學(xué)習(xí)前置：從“最近的起點”走向“最遠(yuǎn)的終點”。教材中許多知識都具有常識性，學(xué)生在生活中已有很多的經(jīng)驗，而這些經(jīng)驗又是多義的、模糊的。比如“年、 月、日”一課涉及的知識點較多，又大多屬于常識性知識，沒有太大的探究空間，教學(xué)時會顯得零碎，如何化繁為簡呢？教師在課前以“預(yù)學(xué)卡片”的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過說一說、查一查、理一理的方式，嘗試將與年、月、日有關(guān)的零散知識進(jìn)行自主的前期學(xué)習(xí)與梳理。

師（出示圖8）：看著這么多同學(xué)與我們分享的預(yù)學(xué)材料，你有什么體會嗎？

生1：雖然年份是不同的，但是其中一些年、月、日的知識是不變的。

生2：這么多知識，原來可以用表格、圖畫這些簡潔的方式來表示。

在實際教學(xué)中，我們也看到，有了清晰的預(yù)學(xué)任務(wù)，學(xué)生自然會回報以形式多樣、相對完整、表達(dá)簡潔的預(yù)習(xí)成果。基于學(xué)生的預(yù)學(xué)成果，教師自然可以站在學(xué)生已有的認(rèn)知水平和起點上來展開新知學(xué)習(xí)。

結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)：變模糊無序為清晰有序。很多學(xué)生面對一些比較繁難的數(shù)學(xué)問題時，往往會產(chǎn)生退縮情緒，或者在煩瑣的解答過程中出現(xiàn)失誤。教學(xué)時要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個新陳代謝、吐故納新的過程，是一些新的有力的工具、更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被跨越的過程，是“高級”的數(shù)學(xué)替代“低級”的數(shù)學(xué)的過程。下面，以“階梯式計價法”的問題解決為例，如圖9。

在這樣的結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)后，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生“化繁為簡”，尋找問題的“原點”，追溯知識的最初形態(tài)。先思考原始問題：這些數(shù)學(xué)問題有哪些相似的地方？我們在解答時有哪些相同的地方？再還原本來意義，概括相似的結(jié)構(gòu)關(guān)系，然后尋找生活原型：生活中還有哪些問題也用到了這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？

正是這種提綱挈領(lǐng)的描述，讓學(xué)生除了識記之外，更應(yīng)利用所體現(xiàn)的簡單形象的直觀模型，將學(xué)生的思維引向更高的層次，用簡約的結(jié)構(gòu)豐盈學(xué)生的視野。