張佳淳 舒適 秦語真

【摘 要】研究者利用雙曲線的四種定義、旦德林雙球模型、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方法、雙曲線的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用等史料，設(shè)計(jì)有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題串，復(fù)習(xí)了雙曲線定義、方程推導(dǎo)及性質(zhì)應(yīng)用等內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;雙曲線;高三復(fù)習(xí)課

高三雙曲線復(fù)習(xí)課第一課時(shí)主要圍繞“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”“雙曲線的性質(zhì)”等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理與知識(shí)鞏固。其中，“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”與“雙曲線的性質(zhì)”分別是滬教版高二數(shù)學(xué)下冊第12章第5節(jié)和第6節(jié)的內(nèi)容。縱觀上海數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容編排，雙曲線是繼橢圓之后的又一類圓錐曲線，是從曲線方程視角研究的重要二次曲線之一。

有鑒于此，筆者嘗試從HPM視角來設(shè)計(jì)雙曲線高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)，旨在通過數(shù)學(xué)史問題的解決，復(fù)習(xí)雙曲線定義、方程推導(dǎo)及性質(zhì)應(yīng)用等內(nèi)容，構(gòu)建知識(shí)之諧，彰顯方法之美，實(shí)現(xiàn)能力之助，展示文化之魅。

一、歷史材料及其運(yùn)用

（一）雙曲線的定義

（二）雙曲線第一定義的誕生

法國數(shù)學(xué)家拉希爾（P.de Lahire）在《圓錐曲線新基礎(chǔ)》一書中給出了雙曲線的第一定義，這是在有關(guān)文獻(xiàn)記載中首次出現(xiàn)第一定義。

1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林（G.P.Dandelin）在一篇文章中利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球，在圓錐上推導(dǎo)出雙曲線的第一定義[6]，從而在古希臘阿波羅尼奧斯的截面定義和17世紀(jì)拉希爾的第一定義之間架起了一座橋梁。

（三）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

歷史上，除了用今天人們耳熟能詳?shù)膬纱纹椒椒ㄍ茖?dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)學(xué)家還采用了其他方法進(jìn)行推導(dǎo)。

將（3）式代入（1）式或（2）式，即得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。

除了兩次平方法作為教科書中的方法需要復(fù)習(xí)鞏固，平方差法與第一定義聯(lián)系緊密，也可以通過設(shè)計(jì)問題加以落實(shí)。此外，和差術(shù)、余弦定理法也可以讓學(xué)生了解推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的不同思路，從而拓寬學(xué)生思維，建立不同知識(shí)之間的聯(lián)系。

（四）雙曲線作圖法的出現(xiàn)

17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（F.van Schooten）在《幾何練習(xí)題》中設(shè)計(jì)了雙曲線的兩種作圖工具[10]，如圖2和圖3，這兩種工具均利用了雙曲線的第一定義。

教師讓學(xué)生思考舒騰的第一種雙曲線規(guī)為什么能畫出雙曲線的一支，既回顧了雙曲線的第一定義，又提高了學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)。

（五）雙曲線的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用

雙曲線的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用比較廣泛，主要有以下幾個(gè)方面。

（1）光學(xué)應(yīng)用。從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上[11]。因此，可以利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)來制作望遠(yuǎn)鏡。

（2）建筑學(xué)應(yīng)用。雙曲線在圖形學(xué)上叫作貝塞爾曲線（Bezier curve），它是最有利于流體流動(dòng)的一種曲線。熱電站、核電站的冷卻塔都采用雙曲線的結(jié)構(gòu)，利用循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻，使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用[12]。

（3）軍事應(yīng)用。雙曲線在通信定位上也有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)的距離之差是定值，所以根據(jù)兩條雙曲線的交點(diǎn)可以確定位置。同時(shí)，雙曲線也被應(yīng)用于雷達(dá)[13]和導(dǎo)航[14]中，如Loran（Long Range Navigation）系統(tǒng)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）引入：雙曲線規(guī)與第一定義

上課伊始，教師介紹荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰的生平及其在傳播笛卡兒解析幾何思想方面的貢獻(xiàn)，并通過改編舒騰雙曲線規(guī)的問題引入課題。

師：那PF-PC實(shí)際上就是什么？

生：就是GF或DC。

師：所以點(diǎn)P滿足雙曲線的第一定義，其軌跡為雙曲線的一支。下面我們一起來回顧雙曲線的第一定義。

在學(xué)生敘述雙曲線第一定義之后，教師讓學(xué)生辨析常數(shù)2a不小于F1F2，以及a=0時(shí)的動(dòng)點(diǎn)軌跡，并通過以下練習(xí)題幫助學(xué)生鞏固第一定義。

（二）回望：歷史上的雙曲線定義

師：第一定義只是雙曲線概念發(fā)展過程中的一個(gè)片段。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，也不通過圓錐頂點(diǎn)，且與對(duì)頂圓錐都相交時(shí)，截面與圓錐面的交線就是雙曲線，所以雙曲線也被稱為“來自立體的軌跡”。阿波羅尼奧斯的截線定義與我們教科書所采用的第一定義是否等價(jià)呢？請(qǐng)大家思考一下。

師：1679年法國數(shù)學(xué)家拉希爾首次明確提出雙曲線的第一定義，還有一種定義就是第二定義，請(qǐng)大家思考例2的問題。

生：拋物線。

生：用矩陣。

教師引導(dǎo)學(xué)生用兩次平方法推導(dǎo)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并類比得到焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（三）應(yīng)用：雙曲線的價(jià)值

生：實(shí)軸長2a。

師：如果知道實(shí)軸長2a，兩個(gè)發(fā)射塔的距離2c，那么就可以確定雙曲線。然后再設(shè)一個(gè)副發(fā)射塔（教師標(biāo)出圖4中點(diǎn)C），從副發(fā)射塔B與副發(fā)射塔C同時(shí)發(fā)射信號(hào)，根據(jù)點(diǎn)P處接收信號(hào)的時(shí)間差，再確定另一條雙曲線。最后通過兩條雙曲線的交點(diǎn)就可以把輪船的位置算出來。

接著教師講解冷卻塔與雙曲線的聲學(xué)和光學(xué)性質(zhì)。

師：雙曲線有如此廣泛的應(yīng)用，接下來我們要像費(fèi)馬一樣更深入地研究雙曲線的性質(zhì)。

（四）研究：旦德林雙球模型

教師引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)方法，從雙曲線方程入手研究雙曲線的幾何性質(zhì)，即對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍、漸近線等性質(zhì)。

生：這是偶函數(shù)。

師：是函數(shù)嗎？

生：不是，它關(guān)于y軸對(duì)稱。

師：如果關(guān)于y軸對(duì)稱，這需要用代數(shù)進(jìn)行證明。

生：把（-x，y）代進(jìn)方程。

師：如果它也關(guān)于x軸對(duì)稱，把什么代進(jìn)去？

生：把（x，-y）代進(jìn)方程。

師：如果它還關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，把什么代進(jìn)去？

生：把（-x，-y）代進(jìn)方程。

師：所以雙曲線的性質(zhì)不是從圖上看出來的，而是要用代數(shù)方法進(jìn)行研究。因?yàn)楫?dāng)你研究一個(gè)陌生的方程時(shí)，你可能不知道它的圖形是什么樣的，所以要依靠方程去研究它的性質(zhì)。

至此，學(xué)生已完成雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，對(duì)第一定義也有了更扎實(shí)的理解。接著，教師出示例4，通過由旦德林雙球模型改編的問題揭示原始定義與第一定義的聯(lián)系。

師：你們覺得哪兩個(gè)點(diǎn)是焦點(diǎn)？

生：我感覺是點(diǎn)F1和F2。

師：那么我們就要證明點(diǎn)P到兩個(gè)點(diǎn)F1和F2的距離之差，即證明PF2-PF1是定值。那怎么證明？

學(xué)生陷入思考之中。

師：我們再來看看已有條件。兩個(gè)球與平面β相切，兩個(gè)切點(diǎn)是焦點(diǎn)，同時(shí)球又和圓錐內(nèi)表面相切，怎么理解“球與圓錐相切”？

師：（教師用手比畫模型中位于下方的球）這個(gè)球和這個(gè)圓錐的什么線相切？

生：與母線相切。

師：與母線相切，這是非常關(guān)鍵的一點(diǎn)。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓錐面上，所以這個(gè)點(diǎn)P肯定在某條母線上，母線一定穿過圓錐的頂點(diǎn)，因此點(diǎn)P和圓錐頂點(diǎn)確定一條直線，這條直線與下方的球切于點(diǎn)A，與上方的球切于點(diǎn)B。那PB就是上方這個(gè)球的切線，PF2也是球的切線，這兩條線段有什么關(guān)系呢？（教師畫草圖輔助演示）圓外一點(diǎn)如果引兩條切線，切線長相等，那么球外一點(diǎn)引同一個(gè)球的兩條切線呢？

生：也相等。

師：那么PF2等于什么？

生：PF2=PB。

師：同理，PF1是切線，PA也是球的切線，那么能得出什么結(jié)論？

生：PF1=PA。

師：所以PF2-PF1等于什么？

生：PB-PA。

師：PB-PA也等于什么？

生：AB。

師：AB是什么？

生：AB是上面的小圓錐母線長加下面的小圓錐的母線長，長度是定值。

師：這就是旦德林雙球模型，其實(shí)兩個(gè)球的半徑不一樣也是可以的。距今2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家們用平面去切圓錐，得到了圓錐曲線。當(dāng)我們理解了證明過程，就理解了旦德林雙球模型，從模型中導(dǎo)出了第一定義，在原始定義和第一定義之間架起了一座橋梁，也就知道了雙曲線的焦點(diǎn)是怎么來的。

接著，教師展示例5，旨在通過例5引出焦半徑公式與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的多種推導(dǎo)方法。

生：答案是15或3。

師：為什么？

生：由定義可以得出，一個(gè)答案是15，另一個(gè)答案是3。

師：這位同學(xué)考慮到定義中的絕對(duì)值，非常嚴(yán)謹(jǐn)。如果把題目中點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離改成2，答案又是多少？這時(shí)我們要審視一下雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離。雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離用什么公式呢？

學(xué)生陷入思考之中。

師：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離用什么公式？

生：焦半徑公式。

師：那么焦半徑公式又是如何得到的呢？

（教師通過板書，利用賴特的平方差法推導(dǎo)雙曲線焦半徑公式）

生：是8。

師：除了平方差法，還有洛必達(dá)法，但是后者技巧性非常強(qiáng)。

（五）小結(jié)：主題的升華

教師結(jié)合雙曲線的歷史和應(yīng)用，出示以下文字作為課堂小結(jié)。

在漫長的一千多年時(shí)間里，古代數(shù)學(xué)家致力于用純幾何的方法研究圓錐曲線的性質(zhì)。之后因?yàn)閹缀螁栴}不斷推廣，出現(xiàn)越來越多無法解決的復(fù)雜情況。直到笛卡兒發(fā)明平面直角坐標(biāo)系，圓錐曲線的研究才步入一個(gè)新時(shí)代——從代數(shù)視角、解析方法研究幾何性質(zhì)。希望同學(xué)們善于運(yùn)用數(shù)學(xué)史中的方法解決問題，甚至提出問題，并不斷完善和創(chuàng)新。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)史融入高三課堂的落腳點(diǎn)是問題解決，因此教師可以從HPM視角設(shè)計(jì)有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題串。圖6呈現(xiàn)了雙曲線史料與本節(jié)課所用問題串之間的關(guān)系。

為了設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)史的問題串，本節(jié)課采用了自由式、條件式、復(fù)制式、對(duì)稱式[15]等問題編制策略。首先，教師希望解決原始定義與第一定義之間的差距，但從學(xué)生心理序而言，并不適合在課堂伊始就展示旦德林球，因?yàn)閷W(xué)生不清楚為什么會(huì)出現(xiàn)旦德林球，所以教師先采用自由式策略，根據(jù)第一種雙曲線規(guī)的使用方法，自行設(shè)定條件和目標(biāo)提出例題1，旨在復(fù)習(xí)鞏固第一定義。其次，教師認(rèn)為在通過問題解決剖析四種定義后，再呈現(xiàn)旦德林雙球模型，才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)水到渠成。所以教師采用條件式策略，改變雙曲線第二定義中離心率e的取值范圍，并且將方程定義中曲線方程的一般形式特殊化，從而改編得到例題2和例題3。接著，教師采用復(fù)制式策略，讓學(xué)生通過例題4經(jīng)歷旦德林當(dāng)年攻克原始定義與第一定義關(guān)聯(lián)的過程，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)家勤奮、刻苦的品質(zhì)和數(shù)學(xué)演進(jìn)發(fā)展的過程，傳遞數(shù)學(xué)人文性的一面。最后，為了說明焦半徑公式的應(yīng)用，教師將推導(dǎo)雙曲線方程的條件與結(jié)論互換，利用對(duì)稱式策略提出已知方程求焦半徑的例題5，從而揭示焦半徑公式這一知識(shí)之源。另外，為了充分運(yùn)用史料，教師還將第二種雙曲線規(guī)作為課后閱讀材料，要求學(xué)生根據(jù)史料提出數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在問題提出的過程中檢視自己的學(xué)習(xí)情況。

總而言之，本節(jié)雙曲線高三復(fù)習(xí)課從數(shù)學(xué)史出發(fā)設(shè)計(jì)一系列問題，同時(shí)按照教科書從定義到代數(shù)方程，再到利用解析幾何思想研究雙曲線性質(zhì)及其應(yīng)用的邏輯順序，將問題串聯(lián)成線，以溫故知新為目標(biāo)，加深學(xué)生對(duì)雙曲線概念的理解;以問題解決為途徑，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng);以數(shù)學(xué)文化為抓手，鼓勵(lì)學(xué)生像舒騰、旦德林等數(shù)學(xué)家一樣善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，增強(qiáng)高三學(xué)生的自信心，滲透數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。不過，本節(jié)課中，若執(zhí)教者將軍事應(yīng)用中的兩條雙曲線特殊化，使其焦點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，再設(shè)計(jì)相關(guān)問題，則可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史更豐富的教育價(jià)值。

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（責(zé)任編輯：陸順演）