徐建

摘要：高中數(shù)學(xué)的作業(yè)主要由問題解決型作業(yè)組成，學(xué)生作業(yè)答案很多時(shí)候不能體現(xiàn)其思維過程，導(dǎo)致教師對其反饋不夠精確，借助思維導(dǎo)圖這個(gè)工具培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知的策略及數(shù)學(xué)思維可視化的手段，從而形成問題解決型作業(yè)練習(xí)的基本框架，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維可視化打下基礎(chǔ)。本文選擇以幾何圖形為載體的應(yīng)用題為例來進(jìn)行具體的案例設(shè)計(jì)研究。

關(guān)鍵詞：思維可視化;問題解決;思維導(dǎo)圖

中圖分類號：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-085

一、研究背景

當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)在于知識多、深、繁、難，且知識的獨(dú)立性大且較為抽象，這需要學(xué)生進(jìn)行思維理解，而理解就是需要學(xué)生對知識進(jìn)行思維加工，將其內(nèi)化并建構(gòu)為自己的知識體系。而高中數(shù)學(xué)的作業(yè)也偏向于問題解決型作業(yè)，學(xué)生的答案很多時(shí)候不能反映其思維，導(dǎo)致教師對其反饋及評價(jià)過于籠統(tǒng)，無法進(jìn)行個(gè)人針對性反饋，這樣的作業(yè)效果要打上折扣。因此，傳統(tǒng)問題解決型作業(yè)需要考慮設(shè)計(jì)一些環(huán)節(jié)將學(xué)生的思維過程可視化，既利于教師了解學(xué)生個(gè)性的學(xué)習(xí)情況，也利于學(xué)生進(jìn)行自我訂正，從而實(shí)現(xiàn)作業(yè)效果的正反饋。

二、理論依據(jù)

思維可視化要想在數(shù)學(xué)問題解決型作業(yè)中能夠順利實(shí)施，需要借助以下理論及實(shí)施工具：

1.元認(rèn)知提供數(shù)學(xué)思維可視化的需求

元認(rèn)知是對自身認(rèn)知過程的一種認(rèn)知，匈菲爾德在討論元認(rèn)知對于數(shù)學(xué)問題解決的影響時(shí)，涉及以下三個(gè)涵蓋的元認(rèn)知成分：（1）個(gè)體對自己的認(rèn)知特點(diǎn)的認(rèn)知;（2）個(gè)體的自我調(diào)節(jié)程序，包括對認(rèn)知過程的監(jiān)督和“即時(shí)”作出決策;（3）個(gè)體對認(rèn)知過程的反思和評價(jià)[1]。

學(xué)生在進(jìn)行應(yīng)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決時(shí)，形成了各種控制和認(rèn)知過程，而思維可視化在數(shù)學(xué)問題解決型作業(yè)中體現(xiàn)的恰好就是這樣的功能，一開始采用較為直接的策略與告知講解，使得學(xué)生充分了解這樣的策略，體驗(yàn)到策略對其作業(yè)表現(xiàn)的促進(jìn)作用，使其能夠在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及作業(yè)中主動(dòng)運(yùn)用所習(xí)的策略知識。

2.思維導(dǎo)圖提供數(shù)學(xué)思維可視化的支撐

思維可視化就是把學(xué)習(xí)過程中的思考方法和思考路徑通過圖示技術(shù)呈現(xiàn)出來[2]。知識可視化就是采用概念圖、結(jié)構(gòu)圖等手段將數(shù)學(xué)知識構(gòu)建成互相連通的體系。東尼·博贊發(fā)明的思維導(dǎo)圖的主要要素包括中心節(jié)點(diǎn)、分支節(jié)、點(diǎn)、連線、注釋和一些輔助信息。它將信息作為主題或者子主題，應(yīng)用多樣的顏色來呈現(xiàn)，加強(qiáng)了視覺沖擊。因此，思維導(dǎo)圖作為個(gè)性化的圖示表示方式，能夠有效溝通數(shù)學(xué)知識可視化和思維可視化，成為思維可視化的核心技術(shù)。

3.問題解決提供數(shù)學(xué)作業(yè)可視化的框架

美國教育學(xué)家G·波利亞在他的著作《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》這一本書中提出“解題表”，他具體歸結(jié)為四個(gè)階段：第一，我們必須理解改題目，我們必須清楚地看到所要求的是什么。第二，我們必須了解各個(gè)項(xiàng)目是如何相關(guān)的，未知量和數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系，以得到解題的思路，擬定一個(gè)方案。第三，我們執(zhí)行我們的方案。第四，我們回顧所完成的解答，檢查和討論它。[3]

這里將數(shù)學(xué)問題解決分為四個(gè)階段：理解問題—分析問題—解答問題—回顧檢驗(yàn)，并且將每個(gè)階段所做的事進(jìn)行集中說明：

波利亞的解題表正好搭建了數(shù)學(xué)作業(yè)可視化的框架，為數(shù)學(xué)作業(yè)的可視化打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

三、設(shè)計(jì)框架

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題解決型作業(yè)的可視化設(shè)計(jì)可以某一塊內(nèi)容的可視化作業(yè)設(shè)計(jì)作載體，研究可視化作業(yè)設(shè)計(jì)過程的一般流程，并在此基礎(chǔ)上，將一般流程運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的作業(yè)設(shè)計(jì)中，得到各章節(jié)可視化作業(yè)設(shè)計(jì)的具體案例。本篇主要以幾何圖形為載體的應(yīng)用題為例進(jìn)行說明。

設(shè)計(jì)可視化作業(yè)的目的是讓教師更加關(guān)注學(xué)生的內(nèi)隱的思維過程，了解學(xué)生利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題的全過程?？梢暬鳂I(yè)設(shè)計(jì)的過程中，可按照以下流程進(jìn)行：

“備”：教師之間先進(jìn)行集體備課，準(zhǔn)備能夠展現(xiàn)學(xué)生思維水平的問題解決型作業(yè);

“設(shè)”：教師依照解題表，設(shè)計(jì)作業(yè)問題解決的各個(gè)環(huán)節(jié)，例如審題時(shí)，規(guī)定學(xué)生將數(shù)據(jù)和限制性條件可視化（列表、示意圖等手段），解答時(shí)，要求學(xué)生用思維導(dǎo)圖說明解題思路，強(qiáng)調(diào)思路的簡潔性，方便教師的批閱;

“做”：學(xué)生認(rèn)真按照教師的“設(shè)”進(jìn)行問題解決作業(yè)的練習(xí);

“批”：教師針對學(xué)生的“做”進(jìn)行批改，重點(diǎn)在于指明學(xué)生思維誤區(qū);

“評”：師生共同參與下，教師講解題目的典型錯(cuò)誤，指明學(xué)生思維上誤區(qū)，后續(xù)讓學(xué)生自己進(jìn)行錯(cuò)因分析，提高其學(xué)習(xí)的自主性;

“固”：學(xué)生在教師提供的錯(cuò)題推送后進(jìn)行鞏固練習(xí)。

四、具體應(yīng)用

應(yīng)用題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效載體，其解決過程為：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的求解數(shù)學(xué)解答回歸實(shí)際問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

教師給學(xué)生設(shè)計(jì)的問題解決型作業(yè)在應(yīng)用題方面的框架如下表：

下面以一道具體的以幾何圖形為載體的應(yīng)用題為例進(jìn)行說明。

如圖，有一塊邊長為1（百米）的正方形區(qū)域ABCD。在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上）。

（1）探求△CPQ的周長l是否為定值;

（2）設(shè)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S（平方百米），求S的最大值。

學(xué)生的“做”，教師的“批”以及師生共同參與的“評”“固”環(huán)節(jié)具體如下：

師生共同參與的“固”環(huán)節(jié)可以是教師提供同題的變式，也可以讓學(xué)生間相互變式：

舉一反三：如圖，開發(fā)商欲對邊長為1km的正方形ABCD地段進(jìn)行市場開發(fā)，擬在該地的一角建設(shè)一個(gè)景觀，需要建一條道路EF（點(diǎn)E、F分別在BC、CD上），根據(jù)規(guī)劃要求△ECF的周長為2km。

（1）設(shè)CE=x，CF=y，試求x，y之間的關(guān)系式;

（2）求△EAF的面積的最小值，并確定點(diǎn)E、F的位置。

實(shí)施可視化作業(yè)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過程，可以既“看到”學(xué)生思考背后的思維、又能幫助他們“看透”其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而數(shù)學(xué)的思維恰恰就在這樣的過程中不斷提升。可視化作業(yè)，不僅僅是技術(shù)和數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合，更是數(shù)學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的革新，不僅僅是解決問題，更是讓學(xué)生能夠自我歸因，正確評價(jià)，也能讓學(xué)生將更多的精力集中在高層次的數(shù)學(xué)思考和問題解決上，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的“良性循環(huán)”。

（作者單位：無錫市堰橋高級中學(xué)，江蘇 無錫214000）