王麗麗，路 爽，牛冬平

“常微分方程”是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)以及統(tǒng)計學專業(yè)的核心基礎課程，其理論體系嚴謹，抽象程度高，在本科教學中起著承上啟下的作用.從授課時間上看，“常微分方程”是第四學期開設的學科基礎課，授課對象是數(shù)學專業(yè)本科二年級學生.其應用廣泛、實踐性強，是數(shù)學理論聯(lián)系實際的一個重要觸角.在信息化時代，學生的生活和學習方式在不斷改變，采用傳統(tǒng)理論教學與實踐教學相結合的方式已經不能滿足學生學習的需要，因此構建適合“常微分方程”課程特點的混合式教學模式十分重要.

2017年由教育部正式印發(fā)的《普通高等學校師范類專業(yè)認證實施辦法（暫行）》中指出，要建立統(tǒng)一的師范類專業(yè)認證標準體系，不斷培養(yǎng)和提升師范類專業(yè)人才質量.這就要求師范類課程教學中應聚焦學生的知識、素養(yǎng)和能力培養(yǎng).當前“常微分方程”課程改革正如火如荼地開展，周學勇等［1]對“常微分方程”課程雙語教學模式進行了闡述，雙語教學模式在時代與形勢的發(fā)展下逐漸成為“常微分方程”課程的一大特色.那么如何使“常微分方程”課程教學適應時代的變化，滿足社會發(fā)展的需求？這一問題成為當前教育工作者密切關注和思考的重點.其中國忠金和孫丹［2]提出了在師范專業(yè)認證視角下關于常微分方程課程教學改革的策略；孫佳佳等［3]探討了基于雨課堂進行混合式教學模式改革的方案.黃震和徐濤［4]以MOOC平臺為基礎提出了翻轉課堂教學模式.本文將MOOC與傳統(tǒng)教學相結合構建新的平臺，研究“常微分方程”課程教學改革下的線上線下混合式教學模式.

1 “常微分方程”的課程改革措施

從本校教育情況出發(fā)結合課程教學需要，經過長時間的探索與研究，選取了東北師范大學微分方程教研室編寫的《常微分方程》［5]作為教材，這門課程的內容包括：初等積分法、解的唯一性和延拓定理、常系數(shù)線性微分方程組和高階線性微分方程.

1.1 教學內容改革

將數(shù)學建模適當引入到理論的應用中，提高學生分析問題和解決實際問題的能力，例如：在教學中增加天體力學的二體問題、生態(tài)學中病毒傳播模型、糖尿病檢測問題以及生物種群模型等.另外，針對學生個體差異的特點，利用線上平臺補充課程學習資料，布置開放性課題，鼓勵學生大膽思考，注重學生個體發(fā)展.對于課程理論中相似的教學內容進行優(yōu)化，做到詳略得當，這樣可以節(jié)省課時，提高教學效率.以東北師范大學微分方程教研室編著的《常微分方程》為例，課程教學內容章節(jié)理論第三章一階線性微分方程組和第四章n階線性微分方程理論相似，通過指導學生對比學習，既縮短了教學課時，又增強了學生學習的獨立性.對于教材中的較難環(huán)節(jié)，例如第五章定性和穩(wěn)定性理論、第六章一階偏微分方程初步這些內容可以作為選修內容處理，以滿足不同層次學生的需要.

1.2 教材及電子資源建設

將東北師范大學微分方程教研室編寫的常微分方程與PAUL等［6]編的《Differential Equa?tions》英文原版教材作為主講教材，把宋迎清等［7]編的《微分方程（Differential Equations）》，王高雄等［8]編的《常微分方程》作為主要教學參考用書.此外著力建設網絡教學平臺，將知識點碎片化，制作微課并配備課前章節(jié)測試及課后習題庫、試題庫，利用新興的智慧教學工具，例如學習通、雨課堂、MOOC等輔助教學，使學生學習過程及自學效果有痕跡可尋.

1.3 教學方法的多樣性

采用雙語教學，以英語為主，漢語為輔.對于英語水平參差不齊的班級將采用分組教學，針對學生的特點因材施教；采用師生互動式教學，將學生分成小組，組織好“學生講好一堂課”的活動，讓學生在備課中發(fā)現(xiàn)問題，思考問題，解決問題，重視學生自學以及教師課下的答疑和講解，培養(yǎng)學生學習的主動性和積極性；引入多媒體輔助教學，采用現(xiàn)代教學方式，充分利用網絡課堂和工具.結合數(shù)學建模，采用以問題為導向，從實際問題出發(fā)建立數(shù)學模型，通過常微分方程數(shù)值解法，培養(yǎng)學生實際動手能力，在深刻理解的基礎上，啟發(fā)學生延伸和拓展.

2 “常微分方程”課程改革下混合式教學模式的構建與實踐

2.1 課前學習分析

課前教師應做好準備工作，分析學生的學習情況與知識背景并制訂本節(jié)課的教學計劃.

首先教師布置預習任務，在課前準備預習材料并發(fā)布到平臺上，包括本節(jié)課的學習目標，重難點，以及學生課前的自學內容和檢測習題等（圖1）.學生按照教師要求，完成預習任務，在PPT或者課本上標注好疑難點.教師可以通過后臺記錄檢查學生觀看視頻課件的學習進度，檢查學生預習任務的完成情況，并根據學生在討論區(qū)留下的問題、檢測習題中的錯題分布等掌握學生的學習情況.然后基于學生的預習情況制訂本節(jié)課的教學計劃，包括教學內容、教學目標和環(huán)節(jié)設置等.最后制作本節(jié)課所需的多媒體課件、習題庫、MOOC視頻等資源，重點針對學生的疑難點進行講解，提高課堂效率.

圖1 常微分方程網絡課程建設

2.2 課中學習設計

課程學習中，教師應把傳統(tǒng)教學模式下教師與學生人性化交流的優(yōu)勢發(fā)揮到最大，教師的啟發(fā)指導和講解仍然是課堂上的關鍵.同時也要利用多媒體技術將課堂中學生難以理解的知識點通過課件更好地展示，幫助學生更好地理解，利用MOOC后臺監(jiān)測，對以往學生考勤、課上討論、課堂測驗等問題用更加方便快捷的方式完善.

教師開啟MOOC授課，選擇課程和班級，組織學生通過手勢、位置或二維碼簽到等形式完成課堂考勤，教師能看到課堂應到人數(shù)和實到人數(shù)，也能看到具體名單，為教師提供學生平時成績的參考依據.教師根據課前制訂的教學計劃開展教學，對于內容較難章節(jié)的教學內容，教師可以采用講授法組織課堂教學.例如在講授解的存在唯一性定理的推導過程時，由于這部分知識相對較難，學生的自學效果不好，需要教師在課堂上著重講解，采用線下面授的方式更有助于學生的學習；對于部分比較容易的教學內容，教師可以將學生分成小組，由小組的組員分配備課講課的任務，然后每組派出一名學生代表作為本次內容的授課教師，老師在此過程中只需要做好知識的拓展與深化，所有環(huán)節(jié)結束后由教師和其他小組成員進行小組評分，小組討論總結所學內容，這樣可以調動課堂活躍性.例如：在講授n階常系數(shù)線性非齊次方程解法時，由于學生已經掌握了齊次方程通解的求法，那么需要掌握的知識目標就歸結到如何求n階常系數(shù)線性非齊次方程的特解上，而非齊次方程特解的待定系數(shù)解法較為簡單，并且僅考慮兩種類型的非齊次項，學生通過自學教材就能學會n階常系數(shù)線性非齊次方程的解法及其應用.所以采取分組教學，更有助于加深學生對知識的記憶.在課堂上，教師使用提問、搶答等功能隨機選擇學生回答問題，也可以用課堂隨機測驗的方式向學生手機端發(fā)送習題，檢驗學生課堂學習效果（圖2）.章節(jié)結束后還可以布置綜合案例，讓學生課下完成，提高學生獨立思考解決問題的能力.

圖2 常微分方程課堂活動

事實證明，這種教學模式下的課堂教學效果得到了顯著提高，課堂氣氛活躍，學生對于新知識的求知欲高漲.在備課過程中，學生們彰顯了高度的責任心，這一點集中體現(xiàn)在學生實施課堂教學過程中，面對同學的課堂提問，每一個負責陳述的小組代表都會對答如流，并且講解得很清楚.由此可見無論是證明過程，還是解題過程，學生們對每一個步驟都做好了充分的準備.作為師范類大學數(shù)學專業(yè)的學生，他們不僅要在學科知識上深度學習，而且要在教學方法上有一定研究.學生會積極思考分組討論，每個小組都集思廣益，甚至還進行組間合作交流意見，力求呈現(xiàn)最好的講課效果.與傳統(tǒng)課堂教學模式下的課堂顯著不同的是：以前對課堂不感興趣的學生，都會主動參與到課堂學習活動中來，他們中有的人對知識掌握得不夠好，會有組內的同學為他答疑解惑；有的人性格內向不善言辭，會在同學的鼓勵下勇敢承擔教師的角色.在這種教學模式下，教師發(fā)掘到了學生身上的潛力，真正體現(xiàn)了以“學生為主體，教師為主導”的新型教學理念.

2.3 課后學習評價

傳統(tǒng)教學模式下，教師的課后反思往往是依據本節(jié)課學生的課堂表現(xiàn)給出主觀的結論，對于學生學習效果的“好與壞”也只能依據學生成績的高低作出評判，這樣的教學評價不夠全面，教師在課后只憑借記憶對學生課堂上的表現(xiàn)作出評價是不完善的、甚至可能是錯誤的.而在混合式教學模式下，教師可以通過MOOC了解到本次課程所有的數(shù)據信息，根據學生線上學習和線下表現(xiàn)，構建起一套全方位、多層次、動態(tài)開放的評價體系.

一節(jié)課結束后，教師可以通過MOOC平臺上記錄的學生出勤率，微課觀看情況，課堂測驗成績分布，討論過程中學生的活躍度以及線下課堂的表現(xiàn)等準確地評價學生的學習狀態(tài)，評價教師的教學效果，積累經驗以便在后續(xù)的教學活動中改進教學方法，更新教學資源，提升教學效果.并且由于MOOC平臺上記錄的學生數(shù)據不受時間限制，可以隨時調取，方便教師期末考核學生成績.

3 MOOC模式下“常微分方程”課程與傳統(tǒng)教學模式的比較

3.1 學生參與學習程度不同

傳統(tǒng)教學模式下，教師授課主要以教材或習題集為主，教師掌握課堂的主動權，“教師教?學生學”幾乎是傳統(tǒng)教學模式的全部.在這種模式下，教學內容局限于課本，教與學的過程都過于機械，課堂氣氛不活躍，教師與學生的關系更像是“輸出者與接收者的關系”，不利于知識的拓展和學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，也不利于掌握學生對知識的理解與應用情況.這種傳統(tǒng)授課方式實際上既不利于學生潛能的充分發(fā)揮，也不利于學生整體素質的全面發(fā)展.而在MOOC環(huán)境下，教師只作為學習資源的提供者和學生學習的引導者，學生可以根據自己的時間制訂學習計劃，也可以按照自己的興趣愛好選擇喜歡的課程.在學習過程中，遇到疑問可以及時通過平臺與老師交流，也可以與其他學習者進行討論，教師可以集中針對學生學習過程中出現(xiàn)的問題在有限的課堂上進行專攻講解，有效地調動了學生學習的積極性和主動性，更有效地提升了教學效果.

3.2 教師教學設計有區(qū)別

傳統(tǒng)的“常微分方程”教學，教師按照教學計劃在課前備課，寫教案，準備PPT，依據學情分析和教學背景組織教學，課后再根據學生的課堂表現(xiàn)和學習情況，準備下一次教學.而在MOOC環(huán)境下，課前教師要提前準備推送給學生學習的資料，需要投入更多的時間和精力在教學內容的設計、教學材料的處理、尤其是電子學習資料的準備上，應用電子課件展示等角軌線、正交軌線、線速場等概念更直觀更方便.在課后進行教學反思時，教師可以通過后臺記錄，在大數(shù)據指導下精準了解學生的學習情況.

3.3 教學過程中師生互動程度不同

傳統(tǒng)教學模式下，教師教學任務重，經常會面臨學生多、課時少的問題，在這種課堂下學生合作學習、探究學習的時間和學生與教師的交流討論的時間就很有限，在有限的師生互動中最為常見的就是課后答疑，多數(shù)情況下教師和學生只是針對某一個難題或難點進行交流，本質上還是教師在講授，學生被動地接受知識.而在MOOC環(huán)境下，學生可以在線上及時與教師和同學交流互動，教師在學生討論時會參與引導，指導學生一起解決問題，在這種模式下師生之間就會產生積極的互動，課堂氛圍也會更加活躍.

4 結語

混合式教學模式早在2003年就由北京師范大學何克抗教授提出，近年來隨著新媒體的蓬勃發(fā)展，學生的學習和生活方式都發(fā)生了重大的轉變，混合式教學模式的普及與完善成為了高校課堂的重要一步.在此背景下，站在教學一線的教師們更應該與時俱進，充分利用在線平臺依據課程特點開展更加深入的教學活動，實現(xiàn)提升學生深度學習的目標.混合式教學模式的實踐，不僅是課程改革下常微分方程的發(fā)展與補充，也是高校培養(yǎng)應用型人才，推動互聯(lián)網+教學的進步.