應(yīng)丹蓉

[摘? 要] 波利亞解題策略在應(yīng)用過(guò)程中具有極高的實(shí)用價(jià)值. 基于新課標(biāo)培養(yǎng)核心素養(yǎng)這一要求，在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中向?qū)W生傳授波利亞解題策略，可以提高學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光和思維觀察分析問(wèn)題的能力. 因此，文章以一道最值問(wèn)題為例，代入學(xué)生視角應(yīng)用波利亞解題策略，探尋教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用波利亞解題策略.

[關(guān)鍵詞] 波利亞解題策略;核心素養(yǎng);最值問(wèn)題

問(wèn)題提出

波利亞解題理論把解題過(guò)程中“好的解題思路”產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程分成了四個(gè)階段：理解題目—制定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—回顧[1]. 其對(duì)于鍛煉學(xué)生解題思路有著很大的促進(jìn)作用.

但在眾多基于波利亞解題理論的文章中，教師們習(xí)慣以自身的視角利用波利亞解題策略解題，然后給一個(gè)經(jīng)典的題目提供多種解法，以向?qū)W生展示波利亞解題策略的“好”. 然而，這只是教師們?cè)诔Ｄ甑慕虒W(xué)活動(dòng)中，對(duì)教材中每個(gè)知識(shí)概念，甚至某些題目的巧妙解法的豐富積累，所以在利用波利亞解題策略時(shí)，總是能夠“聯(lián)系”到相關(guān)知識(shí).

筆者在將波利亞解題策略介紹給學(xué)生之后，學(xué)生應(yīng)用的情況并沒(méi)有達(dá)到預(yù)期效果. 通過(guò)與學(xué)生的談話和思考，筆者發(fā)現(xiàn)，波利亞解題策略的關(guān)鍵是在制定計(jì)劃階段尋找與過(guò)去所獲得知識(shí)之間的聯(lián)系. 但一般學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和調(diào)用能力不足，難以在短時(shí)間內(nèi)整理出一個(gè)有用的解題方法，或者無(wú)法確定腦海中的想法能否指引自己通向最終目的，也就不易建立起這種“聯(lián)系”，而“要使學(xué)生真正理解書本知識(shí)，必須有他們自己身體力行的實(shí)踐”[2].

因此，筆者就以學(xué)生視角利用波利亞解題策略，嘗試體驗(yàn)學(xué)生在解題過(guò)程中的思維歷程，探尋學(xué)生在利用策略過(guò)程中可能遇到的困難. 筆者在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中認(rèn)識(shí)到，制約學(xué)生不能利用好“怎樣解題表”解題的原因在于學(xué)生無(wú)法根據(jù)題目條件找到“聯(lián)系節(jié)點(diǎn)”，無(wú)法利用“聯(lián)系節(jié)點(diǎn)”有意識(shí)地發(fā)散思維，主動(dòng)尋找自身知識(shí)儲(chǔ)備與題目之間可能存在的聯(lián)系. 為此，筆者擬從學(xué)生答題步驟分析其心路歷程，并代入學(xué)生視角按波利亞解題策略將其還原出來(lái)，討論學(xué)生該如何應(yīng)用波利亞解題策略.

教學(xué)實(shí)例

應(yīng)用波利亞解題理論可以通過(guò)題設(shè)中涉及的概念和條件用語(yǔ)的關(guān)鍵詞回到相關(guān)數(shù)學(xué)概念的定義中去，以實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)散[3]. 為了更好地代入學(xué)生視角，筆者選擇“最值問(wèn)題”這類在題設(shè)中不易找到定義啟示的題型，以更好地闡述在不易找到“聯(lián)系”的情況下學(xué)生該如何發(fā)散思維.

例1：（2017，全國(guó)卷，14）函數(shù)f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，? 的最大值是______.

下面以學(xué)生視角應(yīng)用波利亞解題策略的四個(gè)階段進(jìn)行解題分析.

第一步，理解題目.

（1）問(wèn)題是什么？答：函數(shù)的最值問(wèn)題.

（2）未知量是什么？答：未知量為x.

（3）已知條件是什么？答：定義域x∈0，? .

（4）要求的是什么？答：求最大值.

第二步，制定計(jì)劃.

能夠想到的類似問(wèn)題是求函數(shù)的最值，可以通過(guò)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性判斷是否有最大值，并求出最大值是多少.

第三步，執(zhí)行計(jì)劃.

解：f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，? ，則f′（x）=2sinxcosx- sinx= （2cosx- ）sinx. 當(dāng)x∈0， 時(shí)，f′（x）>0，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈ ， 時(shí)，f′（x）<0，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x∈0， 時(shí)，函數(shù)的最大值為f ，即1.

第四步，回顧.

求導(dǎo)公式運(yùn)用正確，單調(diào)區(qū)間判斷無(wú)誤，結(jié)果檢驗(yàn)準(zhǔn)確.

該題為高考填空題，總體上難度并不大，稍作分析便可以找到解題策略. 筆者將該題布置給學(xué)生進(jìn)行波利亞解題策略的應(yīng)用訓(xùn)練，絕大多數(shù)學(xué)生都是采用導(dǎo)數(shù)方法求解的，筆者代入學(xué)生視角將波利亞解題步驟還原出來(lái).

該解法符合大部分學(xué)生做題的思維流程，即在制定計(jì)劃時(shí)總是傾向于制定可以直接實(shí)施的解題方案，避免可能出現(xiàn)新問(wèn)題的解題路線. 而波利亞解題策略的核心是通過(guò)題目條件主動(dòng)尋找與自身知識(shí)儲(chǔ)備之間的聯(lián)系，從而制定可能有效的解題方案.

以該題為例，利用sin2x+cos2x=1這一隱含的已知條件，將sin2x轉(zhuǎn)化為1-cos2x，使得原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閮H含cosx的函數(shù)，通過(guò)換元t=cosx即可將原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)的一元二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)輕松得解. 那為什么大部分學(xué)生沒(méi)有意識(shí)到這樣的“聯(lián)系節(jié)點(diǎn)”呢？

通過(guò)與學(xué)生交談，筆者總結(jié)原因?yàn)椤皩?duì)最值概念理解得不夠深刻”. 最值概念源于極值概念，人教版選修2-2第一章第1.3.2節(jié)中關(guān)于極值的定義如下：

以a，b兩點(diǎn)為例，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x= a的函數(shù)值f（a）比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f ′（a）=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f ′（x）<0，右側(cè)f ′（x）>0. 類似地，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=b的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f ′（b）=0;而且在點(diǎn)附近的左側(cè)f ′（x）>0，右側(cè)f ′（x）<0.

因此，當(dāng)學(xué)生看到題設(shè)中的“最值”要求時(shí)，第一反應(yīng)就是通過(guò)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性來(lái)求解. 而在教材中關(guān)于極值的定義中，實(shí)際上同時(shí)也給出了圖像來(lái)加深學(xué)生對(duì)于極值概念的認(rèn)識(shí)，它給我們的啟示是在處理極值、最值問(wèn)題時(shí)也可以通過(guò)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)圖像性質(zhì)來(lái)求解. 這種“啟示”看起來(lái)平平淡淡的，但牢記這一點(diǎn)可以在解最值問(wèn)題時(shí)多一種解題思路，有時(shí)候還會(huì)有意想不到的效果.

基于此，筆者按照波利亞解題策略重新進(jìn)行第二步、第三步、第四步的分析，在這個(gè)過(guò)程中探究學(xué)生該如何應(yīng)用波利亞解題策略. 分析如下：

第二步，制定計(jì)劃.

函數(shù)最值問(wèn)題可以通過(guò)已學(xué)的函數(shù)圖像性質(zhì)進(jìn)行判斷，從“幾何”的角度進(jìn)行觀察. 從函數(shù)f（x）=sin2x+ cosx-0.75的形式來(lái)看，其與二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的形式接近，區(qū)別在于sinx與cosx的三角函數(shù)名不同，不能直接換元. 而我們學(xué)過(guò)很多三角函數(shù)異名轉(zhuǎn)換的公式，這里容易想到sin2x+cos2x=1這一轉(zhuǎn)換公式！因此，該函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75，再利用換元即可以變成簡(jiǎn)單的一元二次函數(shù).

第三步，執(zhí)行計(jì)劃.

解：已知sin2x+cos2x=1，則原函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75= -cos2x+ cosx+0.25，x∈0， . 令cosx=t，t∈[0，1]，原式可寫成f（t）=-t2+ t+0.25（t∈[0，1]），則a=-1，b= ，c=0.25. 該二次函數(shù)開(kāi)口向下，定義域內(nèi)函數(shù)的最大值在對(duì)稱軸取得（對(duì)稱軸在定義域內(nèi)），或定義域兩邊界線處的較大值（對(duì)稱軸在定義域外）. 該函數(shù)的對(duì)稱軸t= ，在定義域[0，1]內(nèi)，所以最大值在對(duì)稱軸取得，最大值為f ，即1.

第四步，回顧.

（1）結(jié)果檢驗(yàn). 換元時(shí)考慮了換元可能產(chǎn)生的不等價(jià)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，在換元時(shí)定義了新自變量t的定義域. 另外，t= 時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值為 ，恰好也在0， 內(nèi)，側(cè)面驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性.

（2）解法遷移. 解決此題的方案同樣可以應(yīng)用到類似的問(wèn)題的處理中，如指數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題f（x）=22x+2x+0.25（x∈[-1，1]）和對(duì)數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題f（x）=（log x）2+log x+0.25x∈ ，2. 通過(guò)換元可以轉(zhuǎn)換為求解一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

教學(xué)啟示

高中數(shù)學(xué)概念繁多且相互聯(lián)系緊密，學(xué)生遇到題目便絞盡腦汁去回想相關(guān)概念、公式，其實(shí)是變相給自己增加負(fù)擔(dān). 波利亞解題策略中也強(qiáng)調(diào)在解題過(guò)程中嘗試想出類似熟悉的問(wèn)題，先找到方向（新方向可能出現(xiàn)新問(wèn)題），最后再回到定義思考該如何解決. 關(guān)于教師應(yīng)如何指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用波利亞解題策略，筆者認(rèn)為應(yīng)認(rèn)識(shí)到以下三個(gè)方面.

1. 解題是被動(dòng)解決新出現(xiàn)的問(wèn)題

教師在引導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中，總是“主動(dòng)”地根據(jù)題目條件創(chuàng)造出解決問(wèn)題所需要的條件，如在本文所舉的例子中，sin2x+cos2x=1常被當(dāng)成隱含的已知條件直接列出來(lái)，將原問(wèn)題通過(guò)換元轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題. 這種主動(dòng)地發(fā)散思維其實(shí)并不符合學(xué)生解題過(guò)程中的思維活動(dòng)，而“被動(dòng)”處理新出現(xiàn)的問(wèn)題則更符合實(shí)際.

本例中，先是通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)原函數(shù)與一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的形式更為接近，希望通過(guò)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)解決此題，但新出現(xiàn)的問(wèn)題是sinx與cosx的三角函數(shù)名不同，導(dǎo)致不能直接通過(guò)換元來(lái)解決，此時(shí)就希望通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)“新問(wèn)題”，這時(shí)公式sin2x+cos2x=1便應(yīng)運(yùn)而生.

因此，教師多從學(xué)生視角考慮一個(gè)題目該如何解決，就更能體會(huì)到學(xué)生在解題過(guò)程中需要“被動(dòng)”處理新問(wèn)題的困難. 教育的最終目的是培養(yǎng)一個(gè)會(huì)思考、有靈魂的人，而不是一個(gè)只會(huì)重復(fù)知識(shí)的機(jī)器. 數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識(shí)，還要“發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力”[4].

2. 數(shù)學(xué)概念是聯(lián)系節(jié)點(diǎn)

教材中每個(gè)給出的數(shù)學(xué)概念都會(huì)鋪設(shè)合理的認(rèn)知臺(tái)階，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解接受. 教材中概念引入過(guò)程同時(shí)蘊(yùn)含了“是什么”和“為什么”兩個(gè)要素，教師在教授數(shù)學(xué)概念時(shí)要充分根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生理解每個(gè)概念的內(nèi)涵和外延. 如立體幾何中“二面角”的定義（垂直于兩面交線的直線的夾角），既闡述了什么是二面角，也給出了該如何作出二面角的一種方法. 因而在應(yīng)用波利亞解題策略過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)概念當(dāng)成聯(lián)系節(jié)點(diǎn)，

3. 數(shù)學(xué)公式是工具

對(duì)于學(xué)生而言，解題時(shí)總是在想如何利用學(xué)過(guò)的概念、公式等解決題目，閱讀完題干后便開(kāi)始回想所學(xué)過(guò)的公式和定義，并在腦海中“演練”一般，覺(jué)得找到解題思路后便開(kāi)始動(dòng)筆. 筆者認(rèn)為，應(yīng)該把數(shù)學(xué)公式當(dāng)成工具. 之所以當(dāng)成工具，是因?yàn)楣ぞ卟煌涔δ軐傩砸膊煌?，適用于不同的場(chǎng)景. 解題是一個(gè)根據(jù)題目篩選出所需要工具的過(guò)程，如sin2x+cos2x=1就是一個(gè)三角函數(shù)名相互轉(zhuǎn)換的工具，而不是抓到哪個(gè)用哪個(gè).

把數(shù)學(xué)公式當(dāng)成工具是一個(gè)有趣的看法，它意味著解題要不斷更換工具解決接連出現(xiàn)的問(wèn)題，意味著每個(gè)公式、定義的選擇都是有“目的”的. 當(dāng)然，也許一開(kāi)始并不會(huì)一帆風(fēng)順，因?yàn)椤肮ぞ摺北话l(fā)現(xiàn)之前我們并不知道它的功能，而這就需要教師幫助學(xué)生通過(guò)不斷使用來(lái)強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)工具的認(rèn)識(shí)，這樣便可以在解題時(shí)得心應(yīng)手.

結(jié)束語(yǔ)

新課標(biāo)中實(shí)施核心素養(yǎng)教學(xué)是現(xiàn)階段教育目標(biāo)的新提法，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的陣地在課堂，載體是課本以及一個(gè)個(gè)經(jīng)典的題目，而關(guān)鍵則在于教師.

波利亞解題策略的優(yōu)勢(shì)在于解題的邏輯性強(qiáng)，可以減少錯(cuò)解或漏解，作為教師，要嘗試代入學(xué)生視角來(lái)解決數(shù)學(xué)題目，想學(xué)生之所想. 本文中所述代入學(xué)生視角應(yīng)用波利亞解題策略解題的過(guò)程，沒(méi)有直接指出解題的關(guān)鍵條件，而是從學(xué)生角度考慮“換元轉(zhuǎn)換”這一解題思路出現(xiàn)的原因，并引導(dǎo)學(xué)生回顧教材中關(guān)于極值概念的定義，闡述教材如此定義所給予的啟示.

這種換位思考的教育方式能夠使教師更好地把握教材內(nèi)容編排中所包含的教育價(jià)值，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能. 如本文中總結(jié)的“被動(dòng)”解題理論，也可以為學(xué)生解決其他問(wèn)題提供思路，使學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)不至于一籌莫展.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 波利亞. 怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]? 章建躍，陶維林. 注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（06）.

[3]? 朱其超. “回到定義去”的思維策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（15）.

[4]? 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七[J]. 課程·教材·教法，2017（04）.