江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱 鳴

一、生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下的價(jià)值判斷

1.授課對(duì)象

本節(jié)課的授課對(duì)象為某實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)平行班學(xué)生。

2.教材分析

所用教材為蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué) 》（九年級(jí)上冊(cè)）。教學(xué)內(nèi)容為經(jīng)歷了“從問(wèn)題到方程”和“解方程”的七課時(shí)教學(xué)后，教材安排了一節(jié)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”。對(duì)照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，發(fā)現(xiàn)這一節(jié)為選學(xué)內(nèi)容。雖為打星號(hào)內(nèi)容，但是數(shù)學(xué)科任老師都不會(huì)忽略它，因?yàn)椤皩W(xué)習(xí)這一內(nèi)容可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)一元二次方程及其根的認(rèn)識(shí)，也為今后的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備”。

3.學(xué)情分析

學(xué)生已具備有關(guān)一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等知識(shí)，也應(yīng)該有能力通過(guò)自主探索和合作交流列出一元二次方程，然后通過(guò)“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，“降次”等方式，注重幾種解法之間的相互聯(lián)系和差別，領(lǐng)會(huì)不同方法的特點(diǎn)和本質(zhì)，快速求解一元二次方程。而本節(jié)內(nèi)容形式比較抽象，書本的推理過(guò)程中涉及了含參的根號(hào)運(yùn)算，學(xué)生倍感吃力?；谏鲜鼋滩挠^、學(xué)生觀、教學(xué)觀，可以確定以下教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn)。

4.教學(xué)目標(biāo)

（1）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；

（2）經(jīng)歷一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的探究過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)一元二次方程及其根的認(rèn)識(shí)；

（3）培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

5.教學(xué)重點(diǎn)

掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

6.教學(xué)難點(diǎn)

歸納抽象出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

二、價(jià)值判斷下的活動(dòng)設(shè)計(jì)

基于這樣的價(jià)值判斷，教學(xué)中可以建構(gòu)下列教學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值：

1.建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

教師：到目前為止，同學(xué)們學(xué)過(guò)哪些方程？

學(xué)生1：有一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組、分式方程和一元二次方程。

教師：你們會(huì)解這樣的方程嗎？（板書：x+1=0）

學(xué)生2：簡(jiǎn)單的一元一次方程，小學(xué)就會(huì)解了。

教師：那這樣的方程你們會(huì)解嗎？（板書：（x+1）（x-2）=0）學(xué)生3：x=-1或x=2 。

教師：我想問(wèn)一下這個(gè)方程的“式結(jié)構(gòu)”是什么？

學(xué)生3：應(yīng)該是“A×B型”吧，你介紹過(guò)的。

教師：對(duì)！事實(shí)上，所有的一元二次方程都可以經(jīng)歷從“A=0型”到“A×B=0型”的生長(zhǎng)過(guò)程，解方程都利用這樣的式結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行，也不必去細(xì)分到底是哪種具體的方法。

教師：今天我們的主要任務(wù)不是解方程，而是反其道而行。

問(wèn)題1：請(qǐng)你們分別以x=1，x=2 為方程的兩根構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。

學(xué)生很快就寫完了，展示兩種不同的書寫形式：（x-1）（x-2）=0，x2-3x+2=0。

問(wèn)題2：請(qǐng)你們分別以x=-1，x=-2 為方程的兩根構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。

問(wèn)題3：請(qǐng)你們分別以x=-1，x=2 為方程的兩根構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。

教師：這樣的例子永遠(yuǎn)都舉不完。請(qǐng)你通過(guò)類比，分別以x1、x2為方程的兩根構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。

學(xué)生順著慣性思維，很容易將含參的一元二次方程的雙根式寫出來(lái)，但是在書寫成一般式的時(shí)候，部分同學(xué)遇到困難而停滯。此時(shí)小組的幫助可以彰顯力量，絕大部分學(xué)生能正確書寫出兩種不同的形式。

教師：以問(wèn)題3的結(jié)果為例：（x+1）（x-2）=0，x2-x-2=0，每個(gè)等式的左側(cè)能乘個(gè)“2”嗎？

學(xué)生4：可以。

教師：乘“-3”呢？

學(xué)生4：可以。

教師：乘“a”呢？

學(xué)生4：可以。

學(xué)生5：好像不可以吧，“a”若等于0，這就不是一元二次方程了。

教師：這位同學(xué)很細(xì)致，他對(duì)一元二次方程的概念的認(rèn)識(shí)蠻深刻。那我們能否將剛才對(duì)照的式子也添上“a”呢？

學(xué)生6：我寫成了ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0（a≠0）的形式。

教師：如果我將更一般的ax2+bx+c=0（a≠0）上下對(duì)照著寫，你有什么發(fā)現(xiàn)？

純字母的對(duì)照比較還是有難度的，學(xué)生分別討論。有的學(xué)生陷入沉默，實(shí)則沒(méi)有將上半節(jié)課的內(nèi)容展開對(duì)比和聯(lián)想；有的基礎(chǔ)較好的學(xué)生觀察力比較敏銳，目光中暗示已經(jīng)找到答案了。

教師：誰(shuí)給大家提示一下？

學(xué)生7上黑板，在 -a(x1+x2)和b，ax1x2和c的下方劃了曲線。

眾生：喔（恍然大悟）！

教師：誰(shuí)來(lái)求一下方程的兩根的和與兩根的積呢？

教師：通過(guò)這兩個(gè)等式，你們有什么想法？

學(xué)生9：原來(lái)兩根和與兩根積就可以用系數(shù)來(lái)表示，深藏功與名?。?/p>

教師：你們很牛氣，竟然和法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在16世紀(jì)時(shí)的發(fā)現(xiàn)是一致的。

……

2.典型問(wèn)題拓展

……

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)下的教學(xué)思考

上述的活動(dòng)流程彰顯了教學(xué)設(shè)計(jì)的意圖，在學(xué)生遞進(jìn)式思考問(wèn)題的過(guò)程中，不斷把握問(wèn)題的本質(zhì)和數(shù)學(xué)的本質(zhì)。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象，發(fā)展了數(shù)學(xué)推理，構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，他們的思維不斷升華，這或許正是建構(gòu)主義者的一種理想吧！

1.前后一致談抽象

建構(gòu)主義學(xué)生觀認(rèn)為：學(xué)習(xí)者并不是空著腦袋進(jìn)入學(xué)習(xí)情境中的。在解決一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系之前，學(xué)生是從最基本的一元一次方程起步的，逐漸生長(zhǎng)到一元二次方程的階段。其實(shí)對(duì)于方程而言，它的本質(zhì)是一種假設(shè)的思想，是一種嘗試的想法。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)往往秉承著一種試錯(cuò)的態(tài)度。既然無(wú)法一眼洞穿，那就用不同的假設(shè)去驗(yàn)證它，在種種備選方案中選優(yōu)選簡(jiǎn)，進(jìn)而決策。那么如何將一元一次方程“x+1=0 ”生長(zhǎng)成一元二次方程“a（x-x1）（x-x2）=0 (a≠0) ”的 “雙根式”呢？這中間就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的抽象思維，按照四個(gè)數(shù)學(xué)抽象之一的弱抽象定義來(lái)看：從原型中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，使原型內(nèi)涵減小，結(jié)構(gòu)變?nèi)?，外延擴(kuò)張，獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例。對(duì)照這樣的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，原結(jié)構(gòu)是一個(gè)一元一次方程，借用它的概念，可以抽象出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)然，也可以用“雙根式”a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0)來(lái)表示。如果從一元二次方程回看一元一次方程，無(wú)非是“A×B=0”中包含了“A=0”這樣的形式，它的“式結(jié)構(gòu)”中涉及了一個(gè)“升次”或是“降次”的問(wèn)題。

2.邏輯一致話推理

皮亞杰給出了“同化”和“順應(yīng)”的概念。同化是指認(rèn)知結(jié)構(gòu)的量變，順應(yīng)是指認(rèn)知結(jié)構(gòu)的質(zhì)變。對(duì)于a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0)這樣的方程，建立在學(xué)生可以有效避開“雷區(qū)”—a≠0的基礎(chǔ)上。

3.一以貫之建模型

建構(gòu)主義學(xué)者認(rèn)為，同化和順應(yīng)過(guò)程的交替，實(shí)際上對(duì)應(yīng)著學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“平衡——不平衡——平衡”的過(guò)程，用鮑建生教授的觀點(diǎn)來(lái)看，可以對(duì)照成“模型——模式”“模式——模式”“模式——模型”的過(guò)程。在“模型——模式”階段，這是涵蓋數(shù)學(xué)的概念、關(guān)系和結(jié)構(gòu)的階段。學(xué)生理解一次方程的概念和一般式的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以生長(zhǎng)到二次方程的概念和幾種結(jié)構(gòu)形式。在調(diào)節(jié)參數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生其樂(lè)融融，認(rèn)知沒(méi)有突破，仍處于“平衡”的狀態(tài)。當(dāng)課堂進(jìn)行到“模式—模式”的拐點(diǎn)時(shí)，數(shù)字和字母的特殊化和一般化互相印證時(shí)，一旦“-a(x1+x2)=b，ax1x2=c”直擊靈魂，學(xué)生固有的認(rèn)知“平衡”被打破，大巧如拙的數(shù)學(xué)推理的“不平衡”就展現(xiàn)得淋漓盡致。至于“模式——模型”的過(guò)程，可以認(rèn)為是具體的應(yīng)用，在一般的方程和函數(shù)中較為多見(jiàn)。本課中，通過(guò)例1、例2、例3三個(gè)簡(jiǎn)單例題來(lái)穿針引線，將學(xué)生的認(rèn)知水平在經(jīng)歷剛剛的突破后維持在一個(gè)較高的平臺(tái)，使學(xué)生認(rèn)知進(jìn)入更高一個(gè)層次的“平衡”中。

本課例中，學(xué)生暢所欲言，不斷地把這節(jié)課的探索活動(dòng)、思維過(guò)程，提升內(nèi)化為理性經(jīng)驗(yàn)。這樣的經(jīng)驗(yàn)是基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并把原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，借助數(shù)學(xué)課堂中的抽象、推理和模型實(shí)現(xiàn)知識(shí)的處理和轉(zhuǎn)化，從而形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。知識(shí)結(jié)構(gòu)化了，往往就能同中析異、異中求同了。