張振浩

【摘 要】對(duì)高一的同學(xué)而言，物體的形狀，大小可以由看到的實(shí)物產(chǎn)生聯(lián)想，在課題《空間幾何體的表面積》中，本文就如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)表面積，計(jì)算表面積以及如何在學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的思維進(jìn)行研究和再認(rèn)識(shí)。

【關(guān)鍵詞】現(xiàn)象教學(xué);數(shù)學(xué)概念;應(yīng)用思維

在一次工作室的教學(xué)演示活動(dòng)學(xué)習(xí)中，筆者與兩位老師同課題“空間幾何體的表面積”開(kāi)課學(xué)習(xí)。在兩位老師的課堂教學(xué)中，筆者體會(huì)到老師的智慧，學(xué)生的反饋，以及對(duì)該課題教學(xué)的點(diǎn)滴思考。下面，筆者就該課題如何展開(kāi)，以及如何激發(fā)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)，獲得對(duì)物體的感官直覺(jué)認(rèn)識(shí)進(jìn)行討論。

一、以學(xué)生的思維做向?qū)б氡砻娣e的概念

首先，對(duì)于空間體的引入，兩位老師這樣介紹：

第一位老師這樣引導(dǎo)學(xué)生：

教師A：同學(xué)們，我們校園里有很多美麗的風(fēng)景和難忘的建筑值得大家回憶。這里的電話(huà)亭，平時(shí)宿舍區(qū)域使用的供熱設(shè)備等。不知道同學(xué)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，它們看上去都是那么地和諧、合理，這些物體在我們印象中是叫做什么樣的幾何體??？（由前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們比較容易想到圓柱，棱柱）

學(xué)生：是長(zhǎng)方體，圓柱體。

教師A：下面就讓我們來(lái)回憶下柱體、錐體的概念。

第二位老師這樣引導(dǎo)學(xué)生：

教師B：同學(xué)們，請(qǐng)回憶你所學(xué)過(guò)的棱柱的形狀，將手中的長(zhǎng)方形白紙折疊后，擺在桌面上，使之構(gòu)成棱柱（三棱柱、四棱柱等）的側(cè)面，并進(jìn)行觀察。請(qǐng)談一談你的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生：有六面體，三棱柱，六棱柱。

教師B：還有沒(méi)有什么特征？（通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行辨析）

學(xué)生：是直棱柱，正三棱柱，正六棱柱。

教師B：好的，下面讓我們一起來(lái)認(rèn)識(shí)以下這些特殊棱柱，它們還有哪些有趣的地方。

兩位老師能很好地引導(dǎo)學(xué)生觀察事物（不論是實(shí)體還是圖片），從觀察中感受特殊幾何體的特性，這為教學(xué)能順利進(jìn)行提供保障。如果讓學(xué)生從平時(shí)的認(rèn)識(shí)中自然產(chǎn)生本節(jié)課表面積的話(huà)題，是否可以呢？

概念是對(duì)表象的記憶，相關(guān)的表象在人們的活動(dòng)中反復(fù)出現(xiàn)，這產(chǎn)生了兩個(gè)結(jié)果。第一是強(qiáng)化對(duì)它的記憶，隨時(shí)可以再認(rèn)或再現(xiàn);第二是人們對(duì)它的“反復(fù)出現(xiàn)”本身也形成了記憶，也就是對(duì)它的再現(xiàn)有了預(yù)期。在提出立體幾何的表面積時(shí)，學(xué)生對(duì)表面積已經(jīng)有了相關(guān)的概念，我們可以做的，是對(duì)該概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的再現(xiàn)和組合。筆者做了這樣的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)：

教師C：同學(xué)們，表面積是什么，大家知道嗎？

學(xué)生：知道。

教師C： 什么是表面積，相信在每位同學(xué)的心里已經(jīng)有了一個(gè)答案，不同的形狀表面積可能相同，因此，本節(jié)課，同學(xué)們來(lái)看下面積、表面積是怎么定義的，面積是指物體所占的平面圖形的大小，表面積是指所有立體圖形外面的面積。大家的身邊都有不同形狀的物體，表面隨處可見(jiàn)。

學(xué)生：是的，老師。

教師C：本節(jié)課，我們來(lái)找找那些幾何體的表面。

學(xué)生：老師，表面積很好找的！

教師C：你可以舉一些例子，讓同學(xué)們?cè)囋噯幔?/p>

學(xué)生：你看，鉛筆、茶杯是物體，不都是有表面積的嘛！

（有學(xué)生應(yīng)和道：老師，他這個(gè)人也是有表面積的）

教師C：好的，那我們來(lái)看看你的茶杯，如何計(jì)算出他的表面積？

學(xué)生：不就是個(gè)圓柱嘛，兩個(gè)底面加側(cè)面就是了。

教師C：好的，這位同學(xué)已經(jīng)把該物體從形狀上判斷為圓柱，那如何求出圓柱的表面積呢？

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，我們這位同學(xué)已經(jīng)把圓柱分成了三個(gè)部分，你們知道是哪些嗎？

學(xué)生：上下底面，側(cè)面。

教師C：如何求出側(cè)面面積？

學(xué)生：側(cè)面是一個(gè)矩形。

教師C：好的，說(shuō)到矩形，同學(xué)們可以看到，我們感覺(jué)用矩形紙片能?chē)梢粋€(gè)圓柱形的側(cè)面，大家有沒(méi)有探尋過(guò)，為什么可以呢？（下面的環(huán)節(jié)可以由同學(xué)們拿出一張紙來(lái)，自己做個(gè)圓柱體來(lái)觀察，并相互印證）

通過(guò)同學(xué)們的討論，有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，可以由旋轉(zhuǎn)體的角度觀察發(fā)現(xiàn)，圓柱的側(cè)面相當(dāng)于是一矩形沿著軸旋轉(zhuǎn)而成，其中的邊（即后來(lái)稱(chēng)為圓柱的母線(xiàn)）始終保持垂直于一個(gè)平面位移，因此，所形成的圖形是一個(gè)矩形。

通過(guò)上述的問(wèn)題和學(xué)生的回答，我們看到同學(xué)們?cè)趯?shí)際的問(wèn)題中對(duì)旋轉(zhuǎn)體，空間位置的理解與感悟。同學(xué)們?cè)趯?duì)圓柱的表面積認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，不僅理解了形狀，更體會(huì)到了對(duì)旋轉(zhuǎn)這一概念應(yīng)用的價(jià)值。學(xué)生作為思維的主題，可以很好地由教師所提出表面積一說(shuō)進(jìn)行思考，有時(shí)候教師只要提點(diǎn)

一下學(xué)生，他們就是尋著特征找到最需要的目標(biāo)。人民教育家陶行知這樣設(shè)想：“讓他們?nèi)ソ佑|大自然中的花草、樹(shù)木、青山、綠水、日月、星辰以及大社會(huì)中之士、農(nóng)、工、商、三教九流，與萬(wàn)物為友，自由地對(duì)宇宙發(fā)問(wèn)！”

我們還可以這么來(lái)問(wèn)同學(xué)，如果把一圓柱的側(cè)面沿著下底面一點(diǎn)剪開(kāi)，到上底面，展開(kāi)后是什么圖形呢？可以想象得到，同學(xué)們的答案是豐富多彩的，方法也可以是各種各樣。數(shù)學(xué)教育過(guò)程中，既應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本內(nèi)容的掌握，也應(yīng)該讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生形成一個(gè)開(kāi)闊的視野，學(xué)生要有知識(shí)更要有見(jiàn)識(shí)。

二、對(duì)物體的拆與合是學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程

關(guān)于棱錐和棱臺(tái)的表面積，筆者覺(jué)得還可以通過(guò)以下的方式來(lái)進(jìn)行教學(xué)：

教師C：既然同學(xué)們了解了幾何體，特別是多面體的概念，那么表面怎么求？

學(xué)生：跟剛才一樣，求出各個(gè)面即可。

教師C：我們來(lái)看下正四面體，如何求表面積？

學(xué)生：每個(gè)面都一樣，一個(gè)面的面積乘以四就可以得到了。

教師C：那正三棱錐呢？

學(xué)生：四個(gè)面算一下。

教師C：每個(gè)面形狀如何？

學(xué)生通過(guò)這樣的比對(duì)，發(fā)現(xiàn)側(cè)面是等腰三角形且全等，底面是正三角形。因此，S正三棱錐=S底面+S側(cè)面1+S側(cè)面2+S側(cè)面3，這時(shí)，可以讓學(xué)生繼續(xù)演算下去。S正三棱錐=邊3×斜高3。

教師C：表達(dá)式能合并嗎？

學(xué)生：因?yàn)閭?cè)面是全等的等腰三角形，所以斜高都相等，底邊都相等。

教師C：還能“合并”嗎？

學(xué)生：提取斜高，底面的和可以寫(xiě)成底面三角形的周長(zhǎng)。

教師C：這里我們可以發(fā)現(xiàn)S正三棱錐高。如果我們?cè)偃フ艺覄e的幾何體，看看哪些也可以用同樣的方式計(jì)算出幾何體的側(cè)面面積？注意，抓住該幾何體的特征。

學(xué)生：正多邊形為底邊的正棱錐可以這樣計(jì)算，因?yàn)楦鱾€(gè)側(cè)面也是全等的等腰三角形。

教師C：那還有沒(méi)有其它的幾何體可以容易計(jì)算出側(cè)面面積的？（側(cè)面看作是全等的多邊形）

學(xué)生：正棱臺(tái)也可以。

教師C：同學(xué)們可以通過(guò)類(lèi)似的方法學(xué)習(xí)如何計(jì)算空間幾何體的表面積。

通過(guò)上述教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生可以通過(guò)對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)，結(jié)合已有的平面圖形的認(rèn)識(shí)，對(duì)幾何體進(jìn)行拆分，整合相關(guān)元素，找到共性。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)中可以提升自我應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，提高判斷能力和遷移能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫四周.思維的起源[M].中國(guó)國(guó)際廣播出版社，2019.05

[2]陶行知.中國(guó)教育改造[M].商務(wù)出版社，2008.12

[3]王尚志，孔啟平.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（02）：43-45